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S2/CWR/VL/CwrVL2.typ

@@ -0,0 +1,161 @@
+// Diff template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 2)
+
+= Differentialgleichungen
+
+ODEs
+
+Mechankik: $dot.double(x) + omega_0 ^2 x=0$ ist eine ODE der Ordnung 2
+
+$m dot.double(x) = F(x, dot(x), t)$ Newtons'sche Mechanik
+
+zuruck fueren auf ein System von ODEs 1. Ordnung
+
+Hamilton'sche Mechanik:
+
+$
+(partial HH(q, p)) / (partial d) = p/m, HH(q, p) = (p^2 ) / (2m) + V(q)\
+dot(p)=-(partial HH) / (partial q) = - (partial V) / (partial q) 
+$
+
+Anfangsbedingungen $q(t=0) = q_0 "und" p(t=0) = p_0 $.\
+Beispiele sind Ratengleichungen, radioaktiver Zerfall und Populationsdynamik.
+
+== Pearl-Unschulat Modell
+
+$n(t): "Anzahl der Individuen"$
+
+$
+	(dif n) / (dif t) = sqrt(n)n\
+	sqrt(n)="const"\
+	n(t) = n(0)exp(sqrt(t)) \
+	sqrt(n)=r_0 (1-k_n ), k="const">0
+$
+
+allgemeine Formulierung: $y^((n)) (t)=g (y, y', ..., y^((n+1)), t )$
+
+$
+	y_(n)=y^((n)) \
+	y^((n+1))+y^((n)) = g(y,y_1 , ..., y_(n-1), t)\
+	y'_(n-2) =y_(n-1) \
+	y'=g_1 
+$
+
+$
+	dot(arrow(y)) = arrow(g)(y_1,  ..., y_(n-1) )\
+	(dif y) / (dif t) = g(y, t)
+$
+
+Diskretisierung der Zeit $[0, T], t_0 = 0, t_1 =Delta t, t_n =n Delta t=T$
+
+$
+y (t_i ) =y(t_(i-1)) +integral_(t_i )^(t_(i-1)) d t g (y (t), t) approx^("Euler-Cauchy")  y (t_(i-1))+g (y (t_(i-1) , t_(i-1) )) Delta t + O(Delta t^2 )\
+$
+
+mit globalem Fehler bei Integration ueber $[Q, T]$
+
+$
+	E ~ (T) / (Delta t)  Delta t^2 ~ T Delta t ~ O(Delta t)
+$
+
+Beispiel Ratengleichung $r (n)=r- (1-k_n )$
+
+$
+	n (t_i ) = n (t_(i-1) )+r_0 (1-k_n / t_(i-1) )n (t_(i-1) Delta t)\
+	n (t_i )=(1+Delta t r_0 )n (t_(i-1) ) (1- (Delta t r_0 k) / (1+ Delta t r_0 ) n (t_(i-1) ))
+$
+
+Variable $x (t_(i-1))=(Delta t r_0 k) / (1+Delta t r_0 ) n (t_(i-1) )$
+
+$
+	x (t_i )=4 mu x (t_(i-1) ) (1- x (t_(i-1) )), 4 mu=1+Delta t r_0 
+$
+
+Zuletzt: $Delta t$ klein
+
+$
+	n (t)=1/k, x (t)=(Delta t r_0 ) / (1+ r_0 Delta t)=(4 mu-1) / (4 mu) 
+$
+
+Pointcarre Abbildung mit Bifurkation.
+
+== Leapfrog Algorithmus
+
+// TODO: implement nl and Delta t in tyupstar as well as + 
+
+$
+	y'=g (y,t), y' (t_i ) (y (t_i )-y (t_(i-1) ) ) / (Delta t) + O (Delta t)\
+	y' (t_i )=(y (t_(i+1)) -y (t_(i-1) )) / (Delta t)  + O (Delta t) 
+$
+
+#highlight[TODO: Implement this algorithmus as well as the global error]
+
+== Velocity-Verlet Algorithmus fuer klassische Mechanik
+
+$
+	dot(arrow(t))=vec(dot(x) (t),dot(v) (t))=vec(v (t),a (x_(i)  t))\ 
+	v (t_(i+1) )=x (t_(i-1) )+2v (t_i )Delta t+O (Delta t^3 )\
+	v (t_(i_1) )=v (t_(i-1) )+2a (x (t_i ),t_1 )Delta t+O(Delta t^3 )
+$
+
+Umschreiben der zweiten Gleichung: 
+
+Es wird von $t_(i-1) "nach" t_(i+1)$ gegangen. 
+
+$
+	v (t_i )=v (t_(i-1) )+a (x (t_(i_1) ), t_(i-1) )Delta t\
+	x (i_(i+1) )= x (t_(i-1) )+2v (t_i ) Delta t \
+	v (t_(i+1) )=v (t_i )+a (x (t_(i+1) ),t_(i+1))Delta t
+$
+
+Das ergibt
+
+$
+	v (t_(i+2) )=v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) )t_(i+1) )Delta t
+$
+
+$==>$ $v (t_(i+2) )=v (t_i )+2a (x (t_(i+1) ), t_(i+1) )Delta t$
+
+$2 Delta t = delta t$
+
+$
+	v (t+(delta t) / (alpha) )=v (t)+a (x (t),t) (delta t) / (2) \
+	x (t+delta t)=x (t)+v (t+(delta t) / (2))delta t\
+	v (t+delta t)=v (t+(delta t) / (s))+a (x (t+delta t),t+delta t)(delta t) / (2) \
+$
+
+== Forderungen an einen guten Integrator der klassischen Mechanik
+- Energieerhaltung
+- Zeitumkehrinvarianz
+	+ der Bewegungsgleichungen sind zeitumkehrbar invariant. Jeder vernuenftige Algorithmus erfuellt dies zu der Ordnung $O(delta t^2 )$\
+		$
+			vec(x_0, v_0 )=vec(x (t),v (t))->^(T (Delta t)) vec(x (t+Delta t),v (t+Delta t))->  $
+	+ des Algorithmus $x_0 -x_1 =0, v_0 -v_1 = 0$
+- Phasenraumerhaltung symplektisch
+
+$t_(i-1) -> t_(i+1) $
+
+Zeitumkehr 
+$
+	arrow(x)' (t_(i+1) )=arrow(x) (t_(i+1) )\
+	arrow(v)' (t_(i+1) )= - arrow(v) (t_(i+1) )
+$
+
+$t_(i+1) -> t_(i+3) $
+
+$
+	v' (t_(i+2))= v' (t_(i+1) )+a (x' (t_(i+1) ),t_(i+1) ) Delta t =-v (t_(i+1)) +a (x (t_(i-1) ))Delta t \ 
+	x' (t_(i+1) )= x' (t_(i+1) )+2v' (t_(i+1) )Delta t\
+	= x (t_(i+1) )+2 [-v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) ))Delta t]Delta t \ 
+	= x (t_(i-1) )+2 Delta t [v (t_i )-v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) ))Delta t]\
+	= x (t_(i-1) )
+$
+
+
+=== Takeways
+- Ableitung diskretisierung
+- Taylorentwicklung der Ableitung
+- Mit Euler-Cauchy kann am einfachsten nach vorne integriert werden
+

S2/CWR/preamble.typ

@@ -0,0 +1,14 @@
+#import "../../default.typ": *
+
+#let conf(num: none, ueb: false, body) = {
+	// Global settings
+	show: default
+
+	// Set the header
+	[CWR \ Vorlesung #(num)]
+	// Make tcahe outline
+	outline()
+
+	// load the document
+	body
+}

S2/CWR/template.typ

@@ -1,3 +1,7 @@
+// Diff template
+#import "./preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 1)
 
 = Uebersicht