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S2/ExPhyII/VL/ExIIVL5.typ

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+// Main VL Template
+#import "../preamble.typ": *
+
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+== 1.4. Das elektrostatische Potential und die Arbeit im elektrischen Feld
+
+==== Vorbemergungen zur Roration eines Vektorfeldes
+
+Fuer Vektorfelder gilt der Satz von Stokes.
+
+#theorem([Stoke'scher Satz])[
+	 Es gilt fuer jedes Vektorfeld
+	$
+		integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A =  integral_(C)  arrow(E) d arrow(s).
+	$
+	Das Integral einer Ableitung ueber ein Geiebt gleich dem Funktionswert an seinen Grenzen (der Rand der Flaeche).
+]
+
+$
+	integral _(A) arrow(nabla) times d arrow(A) = integral.cont arrow(E) d arrow(s).
+$
+
+Rotation misst die Verdrillung eines Vektorfeldes; Gebiet mit hoher Rotation ist ein Wirbel.\
+Der Fluss der Rotation durch eine Oberflaeche ist gleich
+dem Gesamtbetrag des Wirbels um die Flaeche an der Kante herum.
+
+Das Flaechenintegral ueber die Rotation des elektrischen Feldes
+$integral arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A)$
+haengt nur von der Randlinie und nicht von der Flaeche ab.
+
+Fuer jede geschlossene Oberflaeche gilt
+$
+	integral.cont arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A) =  0,
+$
+da eine Kugel so gewaehlt werden kann dass Begrenzungslinie verschwindet (beziehungsweise sie ist nicht existent) $integral.cont arrow(E) d arrow(s)$.
+
+Beim elektrischen Feld $arrow(E) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (q) / (r^2 ) hat(r)$ wie wir es bisher besprochen hattan (elektrostatisches Feld) laesst sich zeigen
+$
+	integral.cont arrow(E) d arrow(s) ==>   arrow(nabla) times arrow(E) =  0.
+$
+
+Es kann bewiesen werden, dass
+$
+	arrow(nabla) times arrow(E) <==> arrow(E) =  - arrow(nabla) phi.
+$
+
+=== 1.4.1 Arbeit im elektrischen Feld
+
+Um eine Testladung $q_("test") $ im Feld $arrow(E) (arrow(r))$ entlang der Kurve C zu verschieben
+wird die folgende Arbeit verrichtet
+$
+	W = integral.cont arrow(F) d arrow(s) = q_("test")  integral.cont arrow(E) d arrow(s),
+$
+falls $W>0$ dann gewinnt die Ladung Energie (hier potentielle Energie), sonst verliert die Ladung Energie (bzw. bleibt konstant).
+
+#example([Punktladung am Ursprung])[
+	Betrachte ein elektrisches Kraftfeld der Form
+	$
+		arrow(E) (arrow(r)) =  (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^2 ).
+	$
+	Nun wird die Arbeit um von Punkt $A$ zu Punkt $B$ zu kommen auf zwei verschiedenen Wegen ermittelt.
+	Dabei kommt raus, dass die Arbeit nur von Start und Endpunkt abhaengt $==>$ konservatives Kraftfeld.
+]
+
+=== 1.4.2 Elektrisches Potential und Spannung
+
+Da Linienintegral Wegunabhaengig kann die skalare Funktion $Phi$ (das elektrische Potential) definiert werden
+$
+	Phi (arrow(r)) := integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(r)) d arrow(s).
+$
+Es wird die Normierung $Phi (oo) = 0$ verwendet.
+Hier kann $arrow(E)$ als Gradient des Potentials geschrieen werden
+$
+	arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi (arrow(r)), space Phi (r) =  (q_1 ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(r - r_1 )), r_1: "Position der Ladung"
+$
+
+#remark[
+	Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.
+]
+
+Falls das Linienintegral vom Weg abhaengen wuerde, dann wuerde die Definition eines allgemeinen Potentials nicht wohldefiniert sein.
+Fuer Potentiale gilt auch das Superpositionsprinzip
+$
+	Phi (arrow(r)) =  sum_(i=0)^(N) (q_i ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r'))) .
+$
+Eine Aequipotentialsflaeche ist eine Flaeche auf der $Phi$ konstant ist.
+Die Geometrie dieser haengt von der Form der Ladung ab.
+
+Dabei faellt auf, dass die Feldlinien immer $perp$ auf Aequipotentialflaechen sind.
+Ware das nicht so gaebe es Vektorkomponenten von $arrow(E)$ in der Aequipotentialflaeche dann wegen
+$
+	arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi
+$
+auch Komponente von $arrow(nabla) Phi ==> Phi$ wuerde dann innerhalb der Aequipotentialfaleche aendern. Widerspruch.
+
+#definition[
+	Die *elektrische Spannung* $U$ ist als die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im Raum definiert
+	$
+		U_(1 2) := Phi (arrow(r)_(2) - Phi (arrow(r)_(1)) ), space [U] =  1 ("Nm") / ("As") = 1"V".
+	$
+	Arbeit im $arrow(E)$-Feld kann so auch durch die Spannung charakterisiert werden
+	$
+		W_(1 2) =  q integral_(r_1 )^(r_2 ) arrow(E) d arrow(s) =  q U_(1 2).
+	$
+]
+
+Die Energie die ein Elektron braucht um eine Potentaldifferenz von $1"V"$ zu ueberqueren betraegt ein elektron Volt $["eV"]$.
+
+== 1. Maxwellgleichung
+
+$
+	arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ), space "da" arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi \
+	==> arrow(nabla) * arrow(nabla)  * Phi =  - (rho) / (epsilon_0 ), space arrow(nabla) arrow(nabla) = Delta "Laplace Operator"
+$
+
+#theorem[
+	Poisson Gleichung.
+	Es gilt fuer ein gegebenes elektrisches Potential
+	$
+		Delta Phi =  - (rho) / (epsilon_0 ).
+	$
+]
+