updates

S2/DiffII/VL/DiIIVL1.typ

@@ -2,9 +2,9 @@
 #show: conf.with(num: 1)
 #set heading(numbering: "1.1.")
 
-Tutorium ist immer Mi 2-6pm
+Tutorium ist immer am Mittwoch von 2-6pm.
 
-Tutoren sind Oscar Cossarat und Simon Fischer
+Tutoren sind Oscar Cossarat und Simon Fischer.
 
 Das Hauptziel ist das Wissen aus dem ersten Semester ueber $f: RR ->  RR$ auf meherer Dimensionen zu verallgemeinern.
 
@@ -23,28 +23,36 @@ $==>$ Konvergenz im $RR^n$ ?
 #example[
 	Auf $CC$ haben wir die Abstandsfunktion
 	$
-		d(a, b) = abs(a-b), quad a,b in CC,
+		d(a, b) = abs(a-b), quad a,b in CC
 	$
-	wobei $abs(z) = abs(z_1+i z_2) := sqrt(z_1^2+z_2^2)$, $z_1, z_2 in RR$.
+	definiert, wobei $abs(z) = abs(z_1+i z_2) := sqrt(z_1^2+z_2^2)$,  $.. z_1, z_2 in RR$.
 ]
 
 #definition[
-	Sei $n in NN$. Wir definieren die Euklidische Norm als die Funktion $||dot||: RR^n ->  RR^+, quad (x_1,  ..., x_n) |-> sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2 )$.
+	Sei $n in NN$. Wir definieren die euklidische Norm als die Funktion
+	$||dot||: RR^n ->  RR^+, quad (x_1,  ..., x_n) |-> sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2 )$.
 
 	Wir definieren die euklidische Metrik $d: RR^n times RR^n -> RR, quad x, y |-> d(x, y) = norm(x+y)$.
 ]
 
-Wir schreiben $underline(x)$ fuer einen Vektor $x$. Ich werde einfache Symbole verwenden und nur im Notfall des Kontexts eine Unterscheidung machen.\ Erfuellt $d(x, y) = norm(x - y)$ die Eigenschaften einer Metrik?
+Wir schreiben $underline(x)$ fuer einen Vektor $x$. \
+Ich werde einfache Symbole verwenden und nur im Notfall des Kontexts eine Unterscheidung machen. \
+Q: Erfuellt $d(x, y) = norm(x - y)$ die Eigenschaften einer Metrik?
 
 #definition[
 	Ein metrischer Raum ist ein Tupel $(X, d_x)$ aus einer Menge $X$ und einer Funktion $d_x: X times X ->  R^+$ mit drei Eigenschaften.
 
-	+ $d(x,x) = 0 and d(x,y) != 0, x != y $
+	+ $d(x,y) = 0 <==> x = y$
 	+ Symetrie: $d(x,y) = d(y,x)$
-	+ Dreiecksungleichung
+	+ Dreiecksungleichung: $d (x,y) <= d (x,z) + d (y,z)$
 ]
 
-Wir definieren das *Standard-Skalarprodukt* als $angle.l dot, dot angle.r: CC^n times CC^n -> CC$.
+#definition[
+	Wir definieren das *Standard-Skalarprodukt* als $angle.l dot, dot angle.r: CC^n times CC^n -> CC$ mit
+	$
+		angle.l x \, y angle.r := sum_(i = 1)^(n) x_(i) overline(y_i )
+	$
+]
 
 #lemma[
 	Cauchy-Schwarz Ungleichung
@@ -123,7 +131,7 @@ Sei $x_k, k in NN$ eine Folge im $RR^n$
 #theorem[
 	$RR^n$ mit der euklidischen Metrik ist vollstaendig.
 ]
-
 #proof[
 	Fuer eine Cauchyfolge F von Vektoren im $RR^n$ sind die Folgen der Komponenten wieder Cauchy-Folgen im $RR$. Diese haben wegen der Vollstaendigkeit von $RR$ einen Grenzwert. Nach @lem3 konvergiert also die Folge F.
 ]
+