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S2/CWR/VL/CwrVL4.typ

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+ // Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 4,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Stabilitaet des Euleralgorithmus im harmonischen Oszillator
+
+Aussagen ueber die Langazeitstabilitaet.
+
+Beispiel fuer Stabilitaet ist die gedaempfte harmonische Schwingung.
+
+$
+	dot.double(y) + gamma dot(y) + omega_0^2 y =  0.
+$
+
+Auf dieses System kann wieder der Euler-Algorithmus angewendet werden.
+
+Dabei propagiert der Fehler mit $arrow(e) (t + Delta t)$
+
+$
+	(dif T) / (dif e) = mat(
+		1, Delta t;
+		- omega_0 ^2 Delta t, 1- gamma Delta t;
+	).
+$
+Wenn man die EW von dieser Matrix bestimmt, dann ist der Betrag von allen Eigenwerten kleiner als Eins,
+wenn $omega_0 Delta t < gamma < 2 omega_0 $ fuer die unterdaempfte Schwingung.
+
+= Fehlerkontrolle
+
+$
+	y (t + Delta t ) = y ^((0)) (t +  Delta t ) + c Delta t ^(m + 1) +  O (Delta t ^(m + 2) ),
+$
+wobei $m$  die Ordnung des Algoritmus, $m + 1$ der lokale Fehler und $m$ der globale Fehler ist.
+
+== Zweischritt-Verfahren
+
+Neben dem Fehler durch bestimmen von einem Schritt kann der Fehler bei zwei Schritten gebildet werden.
+Dann kann davon die Differenz gebildet werden und es koennen so Aussagen ueber das Verhalten des Systems gewonnen werden.
+
+$
+	y (t) = y^(0) (t) \
+	y (t + (Delta t ) / (2) ) = y^(0) (t + (Delta t ) / (2)  ) +  c (t + (Delta t ) / (2)  )^(m + 1)  +  ...\
+	y_2  (t + Delta t) = y^(0) (t +  Delta t ) + 2 c ((Delta t ) / (2) )^(m + 1)  +  ...
+$
+
+Das Ziel ist hier $Delta t $ so zu waehlen, dass der Fehler kleiner als $s_0 $ wird.
+
+
+// Random calculations need to understand this
+$
+	abs(c) Delta t ^(m + 1) (1 - (1) / (2^(m) )) =  abs(y_1 - y_2 ) \
+	abs(c) tilde(Delta t )^(m + 1)  <= delta_0 \
+	((tilde(Delta t )) / (Delta t ) )^(m + 1)  (1) / (1 - (1) / (2^(m) ) )  <= (delta_0 ) / (abs(y_1 - y_2 ))  \
+	tilde(Delta t )^(m + 1)  <= (delta_0 ) / (abs(y_1 - y_2 )) Delta t ^(m + 1)  (2^(m) - 1) \
+	< (delta_0 ) / (abs(y_1 - y_2 )) Delta t ^(m + 1) \
+	tilde(Delta t )< Delta t ((delta_0 ) / (abs(y_1 - y_2 )))^((1) / (m + 1) ) 
+$
+
+== Der Algorithmus
+
+- Zuerst wird ein $Delta t $ gewaehlt.
+- Dann wird das Einschritt- und das Zweischritt-Verfahren durchgefuehrt
+$
+	tilde(Delta t )_("opt") =  Delta t ((delta_0 ) / (abs(y_1 - y_2 )) )^((1) / (m + 1) ) 
+$
+
++ $tilde(Delta t ) < Delta t $: neue Integration von $t$ nach $t p_l Delta t $ mit dem verkleinerten Zeitschritt $tilde(Delta t )"opt"$
++ $tilde(Delta t ) > Delta t $: behalte Ergebnis $y_2 (t +  Delta t )$ und erhoehe um naechsten Zeitschritt $Delta t$ auf $tilde(Delta t )_("opt") $
+
+Dies ist wichtig fuer Probleme wo es notwendig ist die Zeitschritte an die Konfiguration des Systems anzupassen.
+Zum Beispiel ist dies gut im Keplerproblem, denn dort kann sich das Objekt entweder sehr schnell oder sehr langsam bewegen.
+Dies ist ein Prozess der mitlaufgen gelassen werden kann.
+Molekulardynamik Simulationen brauchen dies nicht so wie Astrophysik Simulationen.
+
+Beispiel des Fussballtors mit verschiedenen Kraeften
+- Wind
+- Gravitation
+- Reibung
+- Magnus
+
+Fuer die Modellbildung werden dann verschiedene Prameter des Systems und die Wirkung auf die Umwelt aufgeschrieben.
+- Wechselwirkungen
+- Erhaltungssaetze
+- Gleichungen
+
+Entdimensionalisierung fuer den Computer.
+