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S2/AnaMech/VL/AnMeVL5.typ

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+// Main VL Template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5
+)
+
+= Wiederholung
+
+Zunaechst werden N Massepunkte mit jeweils konstanter Masse betrachtet.
+
+Als Aufgabe ist eine Gleichung fuer jeden Ortsvektor in Abhaengigkeit der Zeit gesucht.
+
+Newton II loest dieses Problem als AWP von 3N DGL 2. Ordnung mit dann 6N Integrationskonstanten.
+
+Kraefte.
+
+= Gesamtenergie
+
+Zunaechst hat jedes Teilchen im System eine kinetische und potentielle Energie.
+
+Ein Kraftfeld ist konservativ wenn es die Ableitung eines Potentials ist. Dadurch ist die Gesamtenergie erhalten.
+
+$
+	arrow(f)=  -arrow(nabla) V (arrow(r))
+$
+
+#example[
+	Zentralkraftfelder.
+
+	$
+		arrow(f)= f (r) arrow(e)_(r), space arrow(e)_(r) =  (arrow(r)) / (abs(arrow(r))) 
+	$
+	Potential:
+	$
+		V (arrow(r)) =  - integral_(r)^(r_0 ) f (r')d r'
+	$
+
+	$j
+		- arrow(nabla) V (arrow(r)) =  f (r) arrow(nabla) r =  f (r) arrow(e)_(r) 
+	$
+]
+
+
+$
+	m_i dot.double(arrow(r))_(i) =  sum_(j != i)^(3 N) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) 
+$
+
+#definition[
+	Zweiteilchenpotentiale.
+
+	$
+		v_(i j) = v (arrow(r)_(i), arrow(r)_(j) ) \
+		arrow(f)_(j i)  = - arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) v_(j i)  \
+		v _(i j)  =  V_(W W) (abs(arrow(r)_(1) - arrow(r)_(j) )), x_(i) -  x _(j)  \
+		arrow(nabla) phi (x,y,z) =  vec(partial / (partial x) phi, partial / (partial y) phi, partial / (partial z)phi )
+	$
+
+
+	Hier ist also der neue Nabla-Operator
+	$
+		arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) =  vec(dif / (dif x_(i) - x_j ) , dif / (dif y_i - y_j ), dif / (dif z_i - z_j )  ).
+	$
+]
+
+Fuer N MP laesst sich die Energie im allgemeinen bestimmen durch
+
+$
+	E =  sum_(i)^(N) m_i/2 (dot(arrow(r)))^2 + 1/2 sum_(i != j)^(N) v_(i j) + sum_(i)^(N) v^("ext") (arrow(r)_i ) \
+	==> (dif E) / (dif t) 
+$
+
+Q: Warum nur die Haelfte des Zweiteilchenpotentials?
+A: Wir bekommen zwei mal von zwei Seiten das gleiche Potential.
+
+=== Grenzfaelle
+
++ $v_(i j) =  0 ==> "N freie Teilchen" ==> "N entkoppelte DGL (jeweils 3)"$
++ Starrerkoerper $abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j))= "const"$
++ Annahme Gleichgewicht $arrow(r)^(0) _(1) , ...$
+
+Q: Wie funkioniert die Reduktion eines zwei Teilchenproblems auf ein Teilchenproblem?
+
+= Zweikoerperprobleme
+
+Wie betrachten zwei Massepunkte mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(1) "und" arrow(r)_(2) $. Es wird angenommen, dass das System abgeschlossen ist.
+
+Die Reduktion auf ein 1 TL Problem erfolgt durch eine Koordinantentransformation
+$
+	M arrow(R) = m_1 arrow(r)_(1) +  m_2 arrow(r)_(2)  \
+	arrow(r) =  arrow(r)_(1) - arrow(r)_(2) 
+$
+
+Was fuer BWGL ergeben sich jetzt?
+
+$
+	m_1 dot.double(arrow(r)) =  arrow(f)_(1 2) \
+	m_2 dot.double(arrow(r)) =  arrow(f)_(1 2) \
+	M (dot.double(arrow(r))_(1) + dot.double(arrow(r))_(2) )=  arrow(f)_(1 2) +  arrow(f)_(2 1) =  arrow(0)\
+	dot.double(arrow(R)) =  arrow(0) \
+	dot.double(arrow(r)) =  dot.double(arrow(r))_(1)  - dot.double(arrow(r))_(2) \
+	= (arrow(f)_(1 2) ) / (m_1 ) - (arrow(f)_(2 1) ) / (m_2 ) \
+	= arrow(f)_(1 2) ((1) / (m_1 ) + (1) / (m_2 )  ) \
+	=  (1) / (mu) 
+$
+