anamech to 13

S2/AGLA/VL/AgIIVL1.typ

@@ -0,0 +1,109 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 1,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= 1. Einfuehrung in die Ringtheorie
+
+#definition[
+	Ist auf einer abelschen Gruppe eine weitere Verknuepfung $*: R times R -> R, (x,y) |-> x y$ und fuer alle $x,y in R$ die folgenden Bedingungen
+	erfuellt sind
+	$
+		x (y + z) =  x y +  x z \
+		(y + z) x =  y x +  z x
+	$
+	dann wird $(R, *, +)$ als *Ring* bezeichnet.
+	Falls die Multiplikation kommutativ ist, so wird der Ring als kommutativ bezeichnet.
+	Das Element $1 in R$ heisst Eins falls fuer alle $r in R$ gilt
+	$
+		1 * r = r * 1 = r.
+	$
+]
+
+#lemma[
+	Ist R ein Ring mit kommutativer Multiplikation, so gilt der Binomische Satz der Form
+	$
+		(x + y)^(n) = x^(n) +  y^(n) + sum_(i=1)^(n-1)   vec(n, i) x^(i) y^(n-i).
+	$
+]
+
+#lemma[
+	Ist R ein Ring, so gilt fuer alle $r, x in R$
+	$
+		0 r = r 0 = 0 , space (-x)y =  - (x y) =  x (-y) , space (-x) (-y) =  x y.
+	$
+]
+
+Die Menge aller Matrizen mit eintraegen aus R ist wieder ein Ring. Im Folgenden ist stets R ein kommuativer Ring mit Eins.
+
+Wir defineren den Raum
+$
+	R^(oo) := {(x_n) _(n in N_(0)  ) | forall n in N_(0):  x_(n)  in R } 
+$
+mit den Verknuepfungen zwischen $(a_(n) ), (b_(n) )in R^(oo) $ gegeben durch
+$
+	(a_(n) ) +  (b_(n) ) &:=  (a_(n) +  b_(n) ) \
+	(a_(n) )(b_(n) ) &:= (sum_(j = 0)^(k) a_(k-j)  b_(j)  )_(n in N_(0) ) 
+$
+wird $R^(oo) $ zu einem kommutativen Ring mit Eins.
+
+#definition[
+	Polynom mit Koeffizienten in R.
+
+	Ein Element E aus dem Polynomring $R [X]$ ueber R mit der Unbestimmten X ist gegeben durch
+	$
+		
+		E = sum_(j=0)^(n) r_(j) X^(j) ..  "mit" n in NN, r_(j)  in R space forall j.
+	$
+]
+
+#definition[
+	Seien $S, R$ Ringe und $phi: S -> R$ eine Abbildung. Dann ist $phi$ ein *Ringhomomorphismus* falls gilt
+	$
+		phi (s + r) = phi s +  phi r \
+		phi (s r) =  phi s * phi r.
+	$
+	Jeder Ringhomomorphismus ist so auch ein Gruppenhomomorphismus zwischen $(S, +) "und" (R, +)$.
+	Es folgt so dass
+	$
+		phi (0_(R) ) = 0_(S)  "und" phi (-x) =  - phi x space forall x in R.
+	$
+]
+
+#theorem[
+	Sei $R =  ZZ$ ein Ring. Sei $phi: ZZ -> ZZ$ ein Ringhomomorphismus. Dann fuer alle $x in R$ entweder $phi x = 0$ oder $phi x = 1$.
+]
+#proof[
+	Es gilt, dass $phi 1 = phi (1^2) = (phi 1)^2 $ wodurch folgt, dass $phi 1$ entweder 1 oder 0 sein muss.
+	Dadurch folgt mit $m 1 =  1 + ... + 1$ die Aussage.
+]
+
+#definition[
+	Ein Unterring U von R heisst *Ideal* in R, falls fuer alle $x in U$ und $y in R$ gilt, dass $x y in U$ und $y x in U$.
+]
+#theorem[
+	Der Kern eines Rinhomomorphismus $phi: R -> S$  ist ein Ideal in R.
+]
+#theorem([Homomorphisatz fuer Ringe])[
+	Ist $phi: R -> S$ ein Ringhomomorphismus dann ist durch
+	$
+		Phi: R slash ker phi -> S
+	$
+	ein injektiver Ringhomomorphismus definiert. Es gilt auch dass $phi (R)$ isomorph zu $R slash ker phi$ ist.
+	
+]

S2/AnaMech/VL/AnMeVL11.typ

@@ -0,0 +1,243 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 11,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+E: 26.05.2025
+
+= Wiederholung
+
+Die Hoersaaluebung am 30.5. findet statt.
+
+Naechste Vorlesung VL12 werden die Erhaltungssaetze in Lagrange I und II diskutiert.
+
+Die letzten HA beinhalten nicht alle Themen der Klausur.
+
+Es wird mehr Bonuspunkt geben.
+
+In Lagrange I wird mehr geloest als benoetigt wird.
+
+= Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen 
+
+Einmal mit N MP in 3D. Hier gibt es dann R ZB der Form
+$
+	g_(alpha) =  (arrow(x), t) =  0 , space alpha =  1, ..., R , space arrow(x) in RR^(3 N) .
+$
+
+Die BWGL in Lagrange I lauten dann
+$
+	m_(n) dot.double(x)_(n) =  F_(n) +  sum_(alpha =  1)^(R) lambda_(alpha)  arrow(nabla) g_(alpha) (arrow(x), t).
+$
+Hier sind dann noch 3N Gleichungen zu bestimmen und die R $lambda$ mit dem $arrow(x)$.
+
+Die Zahl der unabhaengigen Koordinaten ist
+$
+	f =  3 N - R.
+$
+
+Dieses Problem mit Zwangsbedingungen wird als ein Problem mit Nebenbedingungen bezeichnet.
+
+= Generalisierte Koordinaten
+
+Die Generaliserten Koordinaten haben die Form und Eigenschaft
+
+$
+	q_(k), space k =  1,...f , space x_(n) =  x_(n) (q, t), \
+	q =  {q_1, q_2, ..., q_(f) }.
+$
+
+Es gilt dann fuer alle Werte von $q_(k) $ und fuer alle Zeiten
+$
+	g_(alpha) (x(q_1, ...,q_(f) ), t) = 0.
+$
+
+#example[
+	Fuer einen MP auf einer Kugeloberflaeche gilt
+	$
+		x_(1) ^2 + y_(1) ^2 +  z_(1) ^2 - R^2 = 0.
+	$
+	Hier gibt es dann die generaliserten Koordinaten
+	$
+		theta "und" phi.
+	$
+]
+
+#example[
+	Das Doppelpendel.
+
+	Hier ist eine Skizze des Pendels in kartesischen Koordinaten. 
+
+	Wir sind in der Ebene $==>$ Es gibt 4 kartesischen Koordinaten..
+
+	Die Zwangsbedingungen sind dann
+	$
+		x_(1) ^2 + y_(1) ^2- l^2 = 0 , space abs(arrow(r_(1) ))= l_(1)  \
+		(x_(1) - x_(2) )^2 +  (y_(1) - y_(2) )^2 - l_(2) ^2 = 0 , space abs(arrow(r)_(1) - arrow(r)_(2)  ) =  l_(2).
+	$
+	Die Generalisierten Koordinaten sind dann die Winkel
+	$
+		phi_(1) "und" phi_(2) 
+	$
+	mit den Trafos
+	$
+		x_(1) =  l_(1) sin phi_(1) \
+		y_(1) =  - l_(1) cos phi_(1) \
+		x_(2)  = x_(1) +  l_(2) sin phi_(2) \
+		y_(2) = - l_(1) cos phi_(1)  - l_(2) cos phi_(2).
+	$
+]
+
+= Elimieren der Zwangskraefte
+
+Es gibt hier $f$ BWGL fuer $q_(k) $.
+
+Lagrange II folgt
+$
+	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0 , space L =  T - V.
+$
+Als Ansatz gilt dass die $g_(alpha) $ nicht varrieren bei Varriation von $q_k $!
+
+Es gilt so
+$
+	forall q_(k): (partial g_(alpha) ) / (partial q_(k) ) =  0 =>^("Kettenregel")  sum_(n = 1)^(3 N) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) = 0 space forall k =  1, ... ,f.
+$
+
+Fixiere $q_(k) $ dann multipliziere alle 3N Gleichungen mit $(partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) $ und dann bilde die Summe
+ueber alle 3N Lagrange I Gleichungen.
+
+Es gibt hier $f$ Moeglichkeiten $==>$ $f$ Gleichungen.
+
+Dadurch folgt
+$
+	sum_(n) m_(n)  dot.double(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) + underbrace( sum _(alpha)  lambda_(alpha)  sum _(n) (partial g_(alpha)  ) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ), = 0).
+$
+So entstehen $f$ Gleichungen.
+
+Beispiel fuer die Notation
+$
+	h (q) &=  g (r (q)) \
+	&= g (f (q_1 ), ..., f_(R) (q_(1) ) ).
+$
+
+= Generaliserte Geschwindigkeiten
+Es gilt fuer die Geschwindigkeiten
+
+$
+	dot(q)_(k) =  (dif q_(k) ) / (dif t) , space k = 1, ..., f \
+	x_(n) =  x_(n) (q,t) => ^(?) dot(x)_(n) = dot(x)_(n) (q, dot(q), t) \
+	dot(x)_(n) =  dif / (dif t) x_(n) (q,t) = sum_(k = 1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) dot(q)_(k) +  (partial x_(n) ) / (partial t)
+	=> (partial dot(x)_(n) ) / (partial dot(q)_(k) ) = (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ).
+$
+
+Erinnerung 1MP
+$
+	T =  sum_(i=1)^(3) m/2 dot(x)_(i) ^2 = sum_(j, k = 1)^(3) m/2 g_(i k) dot(q)_(j) dot(q)_(k) , space g_(j k) =  arrow(g)_(j) * arrow(g)_(k).
+$
+Hier folgt dann
+$
+	T &=  sum_(i=1)^(3 N) m_(n) /2 dot(x)_(n) ^2 = sum_(i=1)^(3 N) m_(n) /2 (sum_(i=1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) +  (partial x_(n) ) / (partial t) ) (sum_(i=1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j) +  (partial x_(n) ) / (partial t) ) \
+	&=  sum_(k, j = 1)^(f) m_(k j) dot(q)_(k) dot(q)_(j) +  underbrace(sum_(k)^(f) b_(k) (q,t) dot(q)_(k) +  c (q,t), "nur wenn" (partial x_(n) ) / (partial t) != 0).
+$
+Hier steht dann insgesamt
+$
+	sum_(k, j) sum_(n)  (m_(n) /2 (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(j) ) )dot(q)_(k) dot(q)_(j).
+$
+
+Ferner gilt
+$
+	g_(alpha) (arrow(x), t)= 0 \
+	=> x_(n) =  x_(n) (q,t).
+$
+= Partielle Ableitungen von der kinetischen Energie
+
+Schreibe
+$
+	T =  sum _(n) m_(n) /2 dot(x)_(n) ^2 = T (q, dot(q), t) \
+	(partial T) / (partial q_(k) ) = sum _(n) m_(n) dot(x)_(n)  (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ).
+$
+Betrachte nun
+$
+	(partial T) / (partial dot(q)_(k) ) =  sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial dot(q)_(k) ) = sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) \
+$
+Nun die totale Zeitableitung
+$
+	dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) = sum_n m_(n) dot.double(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) +  sum _(n) m_(n) dot(x)_(n)  underbrace(dif / (dif t)(partial x_(n) ) / (partial q_(k) ), = (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) )  )
+$
+
+Der Faktor $1/2$ verschwindet hier durch die Kettenregel.
+
+Zusammen ergibt das dann
+$
+	dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial T) / (partial q_(k) ) =  sum _(n) m_(n) dot.double(x)_(n) +  underbrace(sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ) - sum _(n)  dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ), = 0) \
+	= sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) )  , space k = 1, ..., f.
+$
+
+#definition[
+	Generalisierte Kraefte sind gegeben durch
+	$
+		Q_(k)  =  sum_(i=1)^(3 N) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) \
+		=> dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial T) / (partial q_(k) ) = Q_(k) , space k = 1,...,f.
+	$
+]
+
+Es gilt fuer konservative Kraefte mit $L =  L (q, dot(q), t)$
+$
+	F_(n) =  - (partial V) / (partial x_(n) ) => Q_(k) =  sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  - sum _(n) (partial V) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  - (partial V (q, t)) / (partial q_(k) ) \
+	dif / (dif t) (partial (T-V)) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial (T-V)) / (partial q_(k) ) = 0 \
+	 => dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0 , space 1, ..., f.
+$
+
+Die Grundaufgabe ist herrauszufinden welche Aussagen ueber Lagrangefunktionen gemacht werden koenne.
+
+#example[
+	MP auf einer rotierenden Stange.
+
+	Wir geben vor
+	$
+		arrow(omega) =  omega arrow(e)_(z) \
+		=> phi =  omega t \
+		f = 2 -1 = 1 \
+		
+	$
+	Waehle generalisierte Koordinaten
+	$
+		r =  r (t) \
+		x =  x (r, t) =  r cos (omega t) \
+		y =  y (r, t) =  r sin (omega t)
+			
+	$
+	Fuer die Lagrangefunktion ergib sich
+	$
+		V &=  0 => L =  T (r, dot(r), t) \
+		T &=  m/2 (dot(x)^2 +  dot(y)^2 +  dot(z)^2 ) =  m/2 (dot(r)^2 +  omega^2 r^2  ) \
+		&= m/2 (dot(r)^2 + dot(phi)^2 r^2 ).
+	$ 
+	Dann bilde die Ableitungen
+	$
+		(partial L) / (partial dot(r))  =  m dot(r) \
+		(partial L) / (partial r) =  omega ^2 m r \
+		=> m dot.double(r) -  omega^2 m r = 0.
+	$
+	Dadurch folgt fuer die Loesung
+	$
+		r (t) =  a e ^(omega t)  +  b e ^(- omega t).
+	$
+]
+

S2/AnaMech/VL/AnMeVL12.typ

@@ -0,0 +1,200 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 12,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+E: 2.6.25
+
+= Uebersicht
+
++ Ein Beispiel fuer Lagrange II
++ Erhaltungsgroessen in L I und L II
++ Symetrien u. Erhaltungsgroessen
+
+= Lagrange Funktion
+
+Es gilt fuer die Lagrange Funktion
+$
+	L (q_(k) dot(q)_(k), t) =  T (q_(k), dot(q)_(k) , t) -  V (q_(k) , t) , space k =  1, ..., f.
+$
+Lagrange II
+$
+	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) =  0 , space k =  1, ..., f.
+$
+
+#example[
+	MP im Kegel.
+
+	Es wirkt nur die Gravitationskraft.
+
+	Hier gilt fuer die Koordinaten
+	$
+		R = 1 => f = 2 \
+		rho = z tan alpha.
+	$
+
+	Es gilt fuer eine Z.B.
+	$
+		g (x, y, z) =  x ^2 +  y ^2  - z ^2 tan  ^2 alpha = 0 \
+		x =  r sin alpha cos phi , space theta = alpha \
+		y = r sin alpha sin phi \
+		z =  r cos alpha.
+	$
+	Dann waehle fuer die generalisierten Koordinaten
+	$
+		q =  {r, phi}.
+	$
+	Das ergibt fuer die Lagrange-Funktion
+	$
+		L (x,y,z,dot(x),dot(y), dot(z)) =  m/2 (dot(x)^2 + dot(y)^2 + dot(z)^2 ) - m g z \
+		=> L =  m/2 (dot(r)^2 +  r ^2 dot(phi)^2 sin ^2 alpha) - underbrace(m g cos alpha r, V (r)).
+	$
+	Hier gibt es eine zyklische Koordinate
+	$
+		(partial L) / (partial phi) =  0 => p_(phi) =  (partial L) / (partial dot(phi)) =  m r ^2 sin ^2 alpha dot(phi) prop  L_(z) 
+	$
+	#highlight[TODO: berechne Drehimpuls in Kugelkoordinaten]
+]
+
+= Erhaltungsgroessen in L I und L II
+
+Es gilt
+$
+	m_(n) dot.double(x)_(n)  =  F_(n) sum_(alpha = 1)^(R) alpha_(alpha)  (partial g_(alpha) (arrow(x), t)) / (partial x_(n) ) , space n = 1, ..., 3N \
+	g_(alpha)  (arrow(x), t) = 0 , space alpha = 1, ..., R \
+	=> (x_(n) , lambda_(alpha) ).
+$
+
+== Energieerhaltung
+
+=== Lagrange I
+
+Wir betrachten Zwangskraefte
+$
+	g_(alpha) (arrow(x), t) = 0 \
+	arrow(Z)_(alpha)  * d arrow(r) =  0.
+$
+
+Wir wollen Erhaltung von mit $V =  V (x_(n) )$
+$
+	E =  T +  V \
+	(dif T) / (dif t) =  dif / (dif t)  sum_(n) 1/2 m_(n) dot(x)_(n) ^2  = sum _(n)  m_(n) dot(x)_(n) dot.double(x)_(n)  \
+	(dif V) / (dif t)  = sum _(n)  (partial_(n) V)dot(x)_(n) =  - sum _(n) F_(n) dot(x)_(n) , space "Konservativ" =>  partial_(n) V =  - F_(n).
+$ 
+Nebenrechnung
+$
+	(dif g_(alpha) ) / (dif t) = sum _(n) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ) dot(x)_(n) +  (partial g_(alpha) ) / (partial t) = 0.
+$
+Das ergibt dann
+$
+	dif / (dif t)  (T +  V) =  sum _(n) sum _(alpha) lambda_(alpha)  (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ) dot(x)_(n) =  sum _(alpha)  lambda_(alpha) (- (partial g_(alpha) ) / (partial t) ) .
+$
+Wir erwarten die Energieerhaltung nur fuer abg. und kons. Systeme.
+
+Falls die Zwangskraefte sich also nicht mit der Zeit aendern, dann gilt die Energieerhaltung
+$
+	(partial g_(alpha) ) / (partial t) = 0 space forall alpha \
+	=>  E =  T +  V =  "const".
+$
+
+=== Lagrange II
+
+Allgemeine Erhaltungsgroessen.
+
+Erinnerung fuer mechanische Groessen
+$
+	Q =  Q (q, dot(q), t) \
+	(dif Q) / (dif t)  =  0 <=> Q "erhalten".
+$
+
+Wie bekommt man im Lagrangeformalismus erhaltungsgroessen
++ Zyklische Koordinaten
+	$
+		underbrace((partial L) / (partial q_(k) ) =  0, q_(k) "zyklisch") => dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  0 => p_(k) "erhalten" , space p_(k) :=  "gen. Impuls".
+	$
+	Die Frage nach zyklischen Koordinaten darf nur gestellt werden, wenn man schon $f$ unabhaengige Koordinaten hat.
+
+Nun 
+$
+	(partial g_(alpha) ) / (partial t) != 0 <=>^(!)  (partial x_(n) ) / (partial t) !=  0 and (partial L) / (partial t) = 0  \
+	(dif L) / (dif t) = sum _(k) (partial L) / (partial q_(k) ) dot(q)_(k) +  sum _(k) (partial L) / (partial dot(q)_(k) )  dot.double(q)_(k) +  (partial L) / (partial t) \
+	=> 	 dif / (dif t) (sum _(k) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - L) =  - (partial L) / (partial t) 
+$.
+
+Betrachte als Nebenrechnung
+$
+	dif / (dif t) sum_(i=1)^(t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) dot(q)_(i) = sum _(k) dot(q)_(k) dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  sum _(k) dot.double(q)_(k) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =^("L II")   sum _(k) (dot(q)_(k) (partial L) / (partial q_(k) ) +  dot.double(q)_(k) (partial L) / (partial dot(q)_(k) )   ).
+$
+
+Es gilt also
+$
+	(partial L) / (partial t) = 0 <=> sum _(k = 1) ^(f) p_(k) dot(q)_(k) - L "erhalten"
+$ <erh>
+
+Jetzt der Fall, dass
+$
+	(partial g_(alpha) ) / (partial t) &=  0 , space (partial L) / (partial t) = 0 \
+	&=> x_(n)  =  x_(n) (q) \
+	&=> T =  sum _(i, i) m_(i k)  (q) dot(q)_(i) dot(q)_(k)  \
+	&=> sum_(i=1)^(f) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) = sum _(k) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) dot(q)_(k) = 2 T (q, dot(q)) \
+	(partial L) / (partial t) = 0 &=> V (q, t) =  V (q) \
+	sum_(k = 1)^(f) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) dot(q)_(k) - L &=  2 T -  (T -  V) =  T +  V =  E.
+$
+
+Nun der naechste Fall, dass
+$
+	(partial L) / (partial t) != 0 => "keine Erhaltungsgroesse".
+$
+Zuletzt
+$
+	(partial L) / (partial t) =  0 , space (partial g_(alpha) ) / (partial t) != 0 =>  (partial x_(n) ) / (partial t) != 0 \
+	=> "Erhaltungsgroesse durch" #[@erh].
+$
+
+= Beispiele
+
+#example[
+	MP im Kegel.
+
+	Hier gilt fuer die Zwangsbedingung
+	$
+		(partial g_(alpha) ) / (partial t) = 0 => (partial x_(n) ) / (partial t) = 0 \
+		=> (partial L) / (partial t) = 0 => E =  T +  V.
+	$
+]
+
+#example[
+	Perle auf rotierendem Draht.
+
+	Der Draht rotiert in der Ebene mit
+	$
+		phi =  omega t , space omega =  "const." \
+		g (x, g, t) =  tan ^(-1) (y/x) - omega t =  phi -  omega t =  0 \
+		=> (partial g_(alpha) ) / (partial t) !=  0 .. (alpha = 1).
+	$
+	Es gilt fuer die Trafo
+	$
+		x =  r cos (omega t) \
+		y =  r sin (omega t) \
+		=> x_(n)  = x_(n)  (q, t) \
+		=> L =  m/2 (dot(r)^2 +  omega ^2 r ^2 ) , space  V = 0 \
+		(partial L) / (partial t) = 0 => underbrace(sum _(k) p _(k)  dot(q)_(k)  - L, = O) "erhalten" \
+		O = m dot(r) dot(r) -  m/2 dot(r)^2 - m/2 omega^2 r^2 =  m/2 dot(r)^2 - m/2 omega^2 r^2 
+	$
+]
+

S2/AnaMech/VL/AnMeVL13.typ

@@ -0,0 +1,196 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 13,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Widerholung
+
+== Erhaltungsgroessen in Lagrange II hier also Lagrangeformalismus
+
+Was ist die Lagrangefunktion und wie leite ich aus dieser 
+die Bewegungsgleichungen fuer die gen. Koordinaten ab?
+
+Zyklische Koordinate $q_(k) :<=> $ zugehoeriger kanonischer Impuls ist erhalten.
+
+Es gilt also
+$
+	(partial L) / (partial q_(k) ) =  0 => p_(k) =  (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  "const.".
+$
+
+Eine weitere Erhaltungsgroesse ist
+$
+	(partial L) / (partial t) =0  => sum _(k) dot(q)_(k) p_(k) - L .. "erhalten".
+$
+
+Falls die Zwangsbedingungen zeitunabhaengig sind, dann ist diese Erhaltungsgroesse gleich der Gesamtenergie.
+Dies bekommt eine tiefere Bedeutung im Hamiltonformalismus.
+
+= Symetrien und Erhaltungsgroessen
+
+Ein Kreis hat eine $2 pi$ Rotationssymetrie. Ein Quadrad hat eine 4-fache Symetrie mit $phi_(n) =  n pi/2$.
+Ein Dreieck hat eine 3-fache Symetrie.
+
+== Symetrieoperationen
+- Rotation mit Winkel
+- Translation im Raum mit Vektor
+- Wahl des Inertialsystems mit Vektor
+- Zeittranslation mit der Referenz der Zeit
+- (Spiegelung)
+- (Skalierung)
+
+Jedes mal wenn ich invarianz unter einer 
+dieser Operation ist, dann ist dies eine Erhaltungsgroesse.
+Es lassen sich also so maximal 10 Erhaltungsgroessen in diesem System finden.
+Diese Klasse wird dann als allgemeine Gallileitrafo bezeichnet.
+
+== Galileitrafo in Inertialsystemen
+
+Wir betrachten N MP mit den Ortsvektoren mit $n =  1, ..., N$
+$
+	arrow(r)_(n) =  vec(r_(n 1), r_(n 2) , r_(n 3)  )_(x y z).
+$
+Wir bleiben dabei voellig in kartesischen Koordinaten.
+Es gelten die Trafos
+$
+	r'_(n, i) =  sum_(j=1)^(3) D_(i j) r_(j) +  v_("rel", i) t +  a_(i) \
+	t' =  t +  t_0.
+$
+Wobei fuer die Drehung gilt
+$
+	arrow(r)' =  D arrow(r) \
+	det D =  1 , space D D^(T)  =  D^(T) D = E.
+$
+Skalarprodukte sind also invariant unter einer Drehung.
+Wir nehmen uns eine Drehachse
+$
+	arrow(n) =  arrow(e)_(z).
+$
+Dieser Vektor $arrow(n)$ legt dann die Drehachse fest.
+Es folgt fuer die Drehmatrix
+$
+	D_(z)  =  mat(
+		cos phi, -sin phi, 0;
+		sin phi, cos phi, 0;
+		0, 0, 1;
+	).
+$
+Es gilt immer, dass die Rotationsmatrix zerlegt werden kann
+$
+	D =  D_(alpha arrow(n)_(alpha) ) D_(beta arrow(n)_(beta) ) D _(gamma arrow(n)_(gamma) ).
+$
+
+= Symetrieinvarianz der Lagrangefkt. unter SYmetrietrafo
+
+Ellipsengleichung
+$
+	(x^2 ) / (a^2 ) +  (y^2 ) / (b^2 ) = 1.
+$
+
+#example[
+	Allgemeine Galileitrafos
+	- Inertialsystem
+	- kart. Koordinaten $==>$ $f =  3 N$
+	- Abg. Systeme $(arrow(L), arrow(p), E)$ sind 7 Erhaltungsgroessen
+]
+
+Exkurs in die Festkoerperphysik unter dem Blickwinkel der Symetrien und der Betrachtung der Phasenuebergaenge von Materie.
+
+Das Ziel ist hier die Invarianz unter kontinuierlichen Symetrietrafo $==>$ Erhaltungsgroesse.
+Die allgemeine Lagrange lautet
+$
+	L =  sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 - V (arrow(r)_(n), t ) , space  m_(n =  m).
+$
+Und in abgeschlossenen Systemen ist sie gegeben durch
+$
+	L_(O)  =  sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 -  1/2 sum _(n, m) v_(n m ) (arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m) ).
+$
+Betrachte die Homogenitaet der Zeit
+$
+	arrow(r)'_(n) =  arrow(r)_(n) => d arrow(r)' =  d arrow(r) \
+	t' =  t +  epsilon => d t' =  d t \
+	=> dot(arrow(r))'_(n) =  arrow(r)_(n) 
+$
+Es folgt
+$
+	L' =  L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n), t' ) =  L' (arrow(r)_(n), dot(arrow(r))_(n) , t +  epsilon ).
+$
+Fuer eine infinitisimal kleine Symetrietrafo gilt, dass der Parameter $epsilon << 1$.
+Dadurch muss bei einer Entwicklung nur die fuehrende Ordnung betrachtet werden.
+Es gilt natuerlich auch, dass $L' |_(epsilon =  0) = L $.
+
+Allgemeine Lagrangefunktion Invarianzbedingung
+$
+	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  0 .. "fuer alle Faelle".
+$
+Zeittrafo der allgemeinen Lagrangefunktion
+$
+	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  ((partial L') / (partial t') (dif t') / (dif epsilon) )(epsilon =  0) =  (partial L) / (partial t)  * 1.
+$
+Fuer abgeschlossene Systeme gilt dann
+$
+	((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  0.
+$
+Allgemein gilt nur
+$
+	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  dif / (dif t)  (sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p) - L).
+$
+Dann wieder fuer die abgeschlossenen
+$
+	(partial L_(O) ) / (partial t) =  0 => sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p)_(n)  - L =  "const." =  E =  T +  V.
+$
+Es gilt also: Homogenitaet der Zeit $<=> $ Gesamtenergie ist erhalten.
+Dies ergibt das Paar $E <--> t_0 $.
+
+= Homogenitaet des Raumes
+Es gilt fuer die Transformation der Lagrangegleichung
+$
+	arrow(r)'_(n) =  arrow(r)_(n) +  epsilon arrow(a) , space arrow(a): "fest, beliebig" \
+	t' =  t \
+	dot(arrow(r))'_(n)  =  dot(arrow(r))_(n)  \
+	=> L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n) , t') =  L' (arrow(r)_(n) +  epsilon arrow(a), dot(arrow(r))_(n) , t).
+$
+Wieder betrachte fuer die allgemeine Lagrangefunktion
+
+
+$
+	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  ((partial L') / (partial arrow(r)'_(n)) (dif arrow(r)'_(n) ) / (dif epsilon) )(epsilon =  0) =  sum_n (partial L) / (partial arrow(r)_(n) ) *arrow(a) = sum _(n)( dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(arrow(r))_(n) )) * arrow(a) \
+	=> ((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  dif / (dif t) (sum _(n) p_(n)  * arrow(a)) = dif / (dif t) (arrow(P) * arrow(a)) , space arrow(P): "Gesamtimpuls".
+$
+
+Im abgeschlossenen System gilt
+$
+	((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) ) =  0 =>  dif / (dif t)  (arrow(P) * arrow(a)) =  0 => dif / (dif t)  arrow(P) =  0
+$
+wodurch im raeumlich invarianten System der Gesamtimpuls erhalten ist.
+Hier gilt
+$
+	arrow(r)'_(n) - arrow(r)'_(m) =  arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m).
+$
+
+=== Nebenrechnungen
+
+Es gilt
+$
+	dif / (dif t) (a b) =  (dif a) / (dif t) b +  a (dif b) / (dif t) \
+	(partial f) / (partial arrow(r))  =  arrow(nabla)_(x y z) f \
+	arrow(r ) =  vec(x, y, z).
+$
+Natuerlich gilt fuer die Lagrangefunktion
+$
+		(partial L) / (partial t) =  0 => sum_(i=1)^(f) p_(i) dot(q)_(i) - L .. "erhalten".
+$

S2/DiffII/VL/DiIIVL12.typ

@@ -0,0 +1,201 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 12,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+E: 2.6.
+
+Eine Funktion auf einer offenen Menge $U subset RR^n $ wird als diffbar in a bezeichnet falls
+$
+	exists L in L (V, W): f (a +  h) =  f (a) +  L h +  R (h) , space lim_(h -> oo) (R (h)) / (norm(h)) = 0.
+$
+Es gilt hier, dass $L = d f (a)$ und $f: U -> K^(m) $ mit $K in {RR, CC}$.
+
+Es ist also f diffbar in a falls die Funktionen $f_1, ..., f_m $ diffbar in a  sind.
+
+#definition[
+	Richtungsableitung.
+
+	Seien $V,W$ endlichdimensionale normierte Vektorraeume und $U subset V$ offen mit $a in U$ und $f: U -> W$ in a diffbar.
+
+	Fuer $h in V$ definieren wir die Ableitungen von f in Richtung h im Punkt a durch
+	$
+		partial_(h) f (a) =  lim_(t -> 0) (f (a +  t h) -  f (a))/t.
+	$
+	Im Fall von $V =  K^(m) $ schreiben wir auch
+	$
+		partial_(j) f (a) = partial_(e_(j) ) f (a).
+	$
+]
+#remark[
+	Wie aus Satz folgt dann
+	$
+		d f (a) h =  partial_(h) f (a).
+	$
+]
+
+#example[
+	Seien $U =  V =  W =  M^(n times n) (RR)$ und $f: V ->  W$ gegeben durch $A |-> A ^2 $.
+
+	Fuer $A, H in M^(n times n) (RR), t in RR$ gilt
+	$
+		(A +  t H)^2  =  (A + t H) (A +  t H) =  A ^2 +  t A H +  t H A +  t ^2  H ^2 
+	$
+	also
+	$
+		partial_(H) f (A) =  A H +  H A 
+	$
+	und das Differential $d f (A)$ ist gegeben duch
+	$
+		d f (A) H =  H A +  A H space forall H in M^(n times n) (RR).
+	$
+]
+
+#definition[
+	Ist $U subset  RR^(m) $ offen und $f =  (f_1, ..., f_n ): U ->  R^(n) $ eine Abbildung
+	so nennen wir f k-mal stetig differenzierbar, falls jedes der $f_(j) $ k-mal stetig differenzierbar ist. Fuer die Notation gilt dann
+	$
+		C^(k) (U, RR^(n) ) =  {f: U -> RR^(n) | f "ist k-mal stetig diffbar"  }.
+	$
+]
+
+#theorem[
+	Seien $X, Y, Z$ endlich dim. normierte K-VR und zwei offene Teilmengen $U subset X and U' in Y$ und $ a in U$ und $f: U ->  U'$ diffbar in a und $g: U' ->  Z$ diffbar in $f (a)$.
+	Dann ist $g compose f: U ->  Z$ diffbar in a mit
+	$
+		d (g compose f) (a) = d g (f (a)) compose f (a).
+	$
+	Im Fall $X =  K^(l) , Y =  K ^(m) , Z =  K ^(n) $ gilt
+	$
+		J_(g compose f) (a) =  J_(g) (f (a)) J_(f)  (a).
+	$
+] <difc>
+
+#proof[
+	Schreibe $f (a + h) =  f (a) +  d f (a) h +  norm(h) r_(f) (h)$.
+	Betrachte nun
+	$
+		g (f (a)+  k) =  (g compose f) (a) +  d g (f (a))k +  norm(k)r_(g)  (k) , space lim_(h -> 0) r_(f) (h)= 0 , space lim_(k -> 0) r_(g) (k)= 0.
+	$
+	Es folgt dann
+	$
+		(g compose f)(a + h) &=  g (f (a) +  d f (a) h +  norm(h) r_(f)  (h)) \
+		= (g compose f) (a) &+  d g (f (a)) (d f (a) h) +  d g (f (a)) (norm(h) r_(f) (h)) \
+		 &+  norm( d f (a) h +  norm(h) r_(f) (h))r_(g) (d f (a)h +  norm(h)r_(f) (h)).
+	$
+	Fuer $h ->  0$ gilt
+	$
+		norm( d g (f (a))r _(f) (h)) <=  norm( d g (f (a)))norm(r_(f) (h))-> 0 \
+		norm(d f (a) h +  norm( h)r_(f) (h))<= C norm(h)\
+		norm(r_(g) (d f (a) h +  norm(h) r_(g)  (h))) -> 0.
+	$
+	Daraus folgt die Diffbarkeit von $g compose f$ in a und @difc.
+]
+
+#example[
+	Ist $gamma: [0, 1] ->  U subset RR^(m) $ eine diffbare Kurve und $g: U ->  RR^n $ eine diffbare Abbildung, so ist die Bildkurve $tilde(gamma) =  g compose gamma: [0, 1]->  RR^n $ diffbar. Der Tangentialvektor ist dann gegeben durch
+	$
+		dot(tilde(gamma)) (t_0 ) =  d g (gamma (t_0 )) dot(gamma) (t_0 ) =  J _(g) (gamma (t_0 )) dot(gamma) (t_0 ) space forall t_0 in (0, 1).
+	$
+]
+
+= Der Schrankensatz
+
+#definition[
+	 Ist $f: U ->  W, U subset V$ offen eine differenzierbare Abildung zwischen zwei endlich dim. K-VR $V, W$, so nennen wir $f$ steitg diffbar falls die
+	Abbildung $U ->  L (V, W), a |-> d f (a)$ stetig ist.
+]
+#remark[
+	Im Fall $V = K^(m)   W = K^(n)$ dann stimmt die Definition mit der Vorherigen ueberein.
+]
+#theorem[
+	Seien $V, W$ endlich dim. normierte K-VR, $U subset V$ offen und $f: U ->  W$ stetig diffbar und $K subset U$ kompakt und konvex. Dann gilt $forall x, y in K$
+	$
+		norm(f (y) - f (x)) <= norm( d f )_(K)  norm(y - x) "mit" norm(d f)_(K) =  sup_(a in K) norm(d f (a)).
+	$
+]
+#proof[
+	// Dieser Beiweis wird etwas umstaendlicher durch die Komponenten der Funktion o
+	Betrachte die Kurve $gamma: [0, 1]-> K, t |-> x +  t (y-x)$. Sei $epsilon >0$ und schreibe $L :=  norm(d f)_(K) $. Wir definieren $F_(epsilon) : [0, 1] ->  RR$ durch
+	$
+		F_(epsilon)  (t) :=  norm(f (gamma (t)) - f (x)) - t (L +  epsilon) norm(y - x).
+	$
+	Es gilt nun zu zeigen, das $F_(epsilon)  (1) <= 0 space forall  epsilon > 0$. Angenommen $exists  epsilon > 0: F_(epsilon) (1) > 0$. Waehle $0 < c < F_(epsilon) (1)$.
+	Da $F_(epsilon) $ stetig ist und $[0, 1]$ kompakt, ist auch $[0, 1] sect {t: F_(epsilon) <= c }$ kompakt und besitzt ein Maimum $t_0 in (0, 1]$.
+	Es gilt $F_(epsilon)  (t_0 )=  c$ und $F_(epsilon)  (t) > c space forall t > t_0 $. Fuer $t in (t_0 ,t]$ definiere
+	$
+		phi (t) := (F_(epsilon)  (t) - F_(epsilon) (t_0 )) / (t - t_0 ) 
+	$
+	dann ist $phi (t) > 0 space forall t in (t_0 , t]$. 
+	Betrachte fuer $t_0 < t <= 1$ die Ungleichung
+	$
+		phi (t) <= norm((f (gamma (t)) - f (gamma (t_0 )))/(t - t_0 ))  - (L +  epsilon) norm(y - x) \
+		= norm(f (gamma (t)) - f (x) ) -  norm(f (gamma (t_0 )) -  f (x)) .
+	$
+	Fuer $t ->  t_0 $ gilt dann
+	$
+		lim_(t -> t_0 ) norm((f (gamma (t))- f (gamma (t_0 ))) / (t - t_0 ) ) =  norm( d f (gamma (t_0 )) (y -x)) <= L norm(y - x) => exists t_0 < t_1 <= 1 \
+		"mit" phi (t_1 ) <= 0.
+	$
+	Das steht dann im Widerspruch zu $phi (t) > 0 space forall t in (t_0, 1]$.
+
+]
+
+
+#remark[
+	Wir koennen in diesem Beweis nicht den Mittelwertsatz benutzen, da dieser nicht auf hoehere Dimensionen uebertragbar ist.
+	Betrachte z.B. die Abbildung
+	$
+		g: [0, 2 pi] ->  RR ^2 , t |-> (cos t, sin t).
+	$
+	Dann gilt $g (2 pi) =  g (0) =  (0, 1)$ aber $dot(g) (t) != 0$.
+]
+
+= Verschiedene Formen der Differenzierbarkeit
+
+Betrachte eine Funktion $f: U ->  CC, U subset  CC$ offen und $a in U$.
+
+Ist $f $ in $a$ C-diffbar, so gilt fuer alle $h in CC$ hinreichend klein, dass $f (a +  h) =  f (a) +  d f (a) h +  r (h)$ mit $lim_(h -> 0) (r (h)) / (norm(h)) = 0$.
+
+Diese Bedingung ist aequivalent zu $lim_(h -> 0) (f (a + h)- f (a)) / (h) = f' (a)$.
+
+Wir koennen imt einem Isomorphismus $CC tilde.equiv RR^2 $ die Funktion f auch aufassen als Funktion von einer offenen Menge $U subset RR^2 -> RR^2  , (x,y) |-> (Re(f (x +  i y)), Im(f (x +  i y)))$.
+
+Angenommen $f$ ist in $a =  a_1 +  i a_2  $  C-diffbar, ist dann $f$  in $(a_1,  a_2 )$ auch R-diffbar als Funktion $U ->  RR^2 $?
+
+Betrachte
+$
+	f (a_1,  i a_2 +  (h_1 +  i h_2 )) =  f (a_1, i a_2 ) +  f' (a_1 +  i a_2 ) (h_1, i h_2 ) +  r (h_1, h_2 ) \
+	"mit" r (h_1,  h_2 ) =  o (abs(h_1 +  i h_2 )) =  o (norm((h_1,  h_2 ))).
+$
+Hieraus folgt die R-diffbarkeit von $f$ in $(a_1,  a_2  )$ mit 
+$
+	partial_(x) f (a) =  f' (a) "und" partial_(y)  f (a) =  i f' (a).
+$
+Insbesondere gilt hier ein Zusammenhang zwischen der partiellen Ableitung nach x und nach y.
+
+#example[
+	Die Funktion $g: CC ->  CC, z |-> overline(z)$ ist eine lineare Abbildung auf $RR^2 $ mit
+	$
+		(x, y) |-> (x, -y)
+	$
+	ist R-diffbar aber nicht C-diffbar.
+]
+

S2/DiffII/Zettel/Zettel8.typ

@@ -0,0 +1,10 @@
+= Aufgabe 3
+
+Angenommen $f: U ->  W_(1) times W_(2) $ ist diffbar in $a$. Dann wissen wir
+$
+	lim_(h -> 0) (f (a +  h) - f (a)) / (norm(h))  = 0.
+$
+Mit der Norm auf $W_1 times W_2 $ und der Definition von $f = (f_1, f_2 )$ folgt dann
+$
+	lim_(h -> 0) ((f_1 (a +  h), f_2 (a +  h)) - (f_1 (a), f_2 (a))) / (norm(h_1) +  norm(h_2 ) )  = 0
+$

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL12.typ

@@ -0,0 +1,87 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 12,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+=== 2.4.3 Der Kondensator
+
+Der Kondensator kann exponentiell auf- und entladen werden.
+
+=== 2.4.4 Diode und Transistor
+
+Die Diode ist ein Halbleiterbauelement, welches den Strom nur in einer Richtung durchlaesst. Die Erklaerung erfolgt durch die Festkoerperphysik.
+Es gibt drei Arten von Dioden
+- Leuchtdiode (LED)
+- Photodiode
+- Diode
+
+// TODO: learn circuits and fast plots in typst 
+// to write everything that is possible on the board
+
+Die Diode leuchtet nur wenn in die Flussrichtung eine postitive Spannung anliegt. Dementsprechend fliesst auch nur dann Strom.
+
+Der Transitor ist ein Halbleiterbauelement der einen Strom verstaerken oder als elektronischer Schalter eingesetzt werden kann.
+Dieser hat drei Kontakte, welche als Gate, D und S bezeichnet werden.
+
+#highlight[TODO: understand how a diode and a transistor works]
+
+== 2.5 Ionenleitung
+
+=== 2.5.1 Grundversuche Ionenleitung in Loesung
+
+Leitfaehigkeit durch Ionen, z.B. in Wasser.
+
+Fuer normale Leiter ist die spezifische Leitfaehigkeit gegeben
+$
+	sigma =  n q mu.
+$
+
+Hier haengen $n$ und $mu$ von der Konzentration der Ionen in der Loesung ab.
+
+Destiliertes Wasser
+$
+	H_(2) O arrows.lr H_(3) O^(+) +   O H^(- ) , space "bei pH" = 7.
+$
+
+Bei geringer Ionenkonzentration verschwindet die Leitfaehigkeit.
+Natrium Clorid dissoziiert Wasser nach dem Aufloesen.
+Ist troz Energiehaltern fuer Aufloesung des Salzes energetisch guenstig.
+In unpolaren Loesungsmitteln keine Loeslichkeit von Ionen $==>$ keine Leitfaehigkeit.
+
+Beobachtung von Gasblasen im Versuch der Elektrolyse. Dies ist das Resultat der Ionisierung der Salzmolekuele.
+
+An der Kathode reagiert durch zufuhr von Elektronen Natrium und Wasser zu Natriumoxid und Wasserstoff.
+An der Anode reagiert durch Abgabe von Elektronen Clor und Wasser zu Clorid und Sauerstoff.
+
+Es steigt immer mehr Wasserstoff als Sauerstoff auf.
+
+Fuer die Reaktion von atrium und Clorid an den Elektronen wareen andere Bedingugen noetig (z.B. hohere Spannund).
+
+Die Spannung welche Notwendig ist um Ionen ein Elektron wegzuziehen oder zu geben wird als die Galvanische Spannungsreihe bezeichnet. Hier sind einige Metalle, gemessen gegen die Normal-Wasserstoff-Elektrode bei einer Konzentration von 1 Mol Ionen pro LIter Elektrolyfluessigkeit bei $T =  293 "K"$.
+
+=== 2.5.2 Anwendung von Ionentransport in Fluessigkeiten
+
++ Zersetzung von Wasser in Wasserstoff und Sauerstoff
++ *Elektrochemische Abscheidung*\
+	Hier befinden sich zwei Elektroden in einem Bad, gefuellt mit einer Fluessigkeit.
+	An der Kathode sammeln sich die Salzionen an und bilden einen Bleibaum.
+
+Das Prinzip des Li-Ionen Akkus.
+

S2/Neuro/VL/NeuroVL5.typ

@@ -38,3 +38,5 @@ In the brain every cell is oriented to a specific point in space.
 
 Next time we will make applications of convolutions and correlations.
 
+Understand Gabor filters
+

S2/Neuro/VL/NeuroVL6.typ

@@ -0,0 +1,77 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 6,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+E: 26.05.2025
+
+The most important operations are convolution
+$
+	h (x) =  integral_(-oo) ^(oo)  f (u) g (x -u) d u =  f (x) compose g (x) =  g (x) compose f (x),\
+	h (x) =  integral_(-oo) ^(oo)  f (u) g (u - x) d u =  g (x) * f (x).
+$
+
+Auto correlation in contrast to the cross correlation
+$
+	h (x) =  integral_(-oo) ^(oo)  f (u) f (u - x) d u.
+$
+
+The Problem for Stereoskpic ist that eyes and cameras project the 3D World onto a 2D surface.
+
+The Procedure is the search algorithm of cross correlation.
+
+This is slow and non neuronal
+
+We left out the epipolar gemoetry here because the eyes are turning when focussing something nearby.
+
+Understand epipolar geometry in the eye and the resulting cross correlation.
+
+= The algorithm for binocular disparity
+
+We take different gabor function which can be expressed in complex numbers
+$
+	G_(l r) (x) =  (1) / (sqrt(2 pi)sigma)  exp((- (x - x_0 )^2 ) / (2 sigma^2 ) ) e ^(i (k x - phi).
+$
+Calculate the convolution
+$
+	M_(l r) (x) =  G_(l r) (x) * f (x).
+$
+The results from the convolution can be added together and be substracted. This is a bit disorted. Then they are run through
+the square function.
+
+Then we get for the 4 cells
+$
+	S_(1) (x) =  "Real parts added together" \
+	S_(3) (x) =  "Imaginary parts added together".
+$
+
+The total result from the cell is
+$
+	C_(l r) (x) =  M_(l) overline(M_(r)).
+$
+Then the disparity gets calculated as
+$
+	D = (C_(l r) ) / (sqrt(C_(l) C_(r) )) =  (M_(l) overline(M_(r) )) / (sqrt(M_(l) overline(M_(l)) M_(r) overline(M_(r) ) )) prop exp(i (phi_(l) - phi_(r) )) 
+$
+
+#note[
+	To check correlation intuitively.\ To correlate two signals mean to shift one signal back and forth relatively to the other and
+	see how much they are the same.
+]

S2/Neuro/VL/NeuroVL7.typ

@@ -0,0 +1,26 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 7,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+The Perceptron Problem.
+
+The XOR Problem in neuroscience.
+

S2/Neuro/qanda.typ

@@ -0,0 +1,39 @@
+= VL 6
+
+What are the resulting graphs from convolution and correlation?
+
+As the distance towards an object approaches infinity, its binocular disparity approaches zero.
+
+Which of the following are reasons why the huaman visual system relies on processing binocular disapairy?
+	- It supports accurate depth perception Yes
+	- It enables steerospic 3D vision Yes
+	- It aids in motion planning and interaction with objects such as reaching and grasping Yes
+	- It enhances colour discrimination and sharpens visual activity Yes
+	- It contributes to sound localisation through visual spatial integration Yes
+
+What is a key advantage of using phase-based methods compared to traditional window-based cross-correlation?
+	- Phase-based methods allow for faster and more biological plausible computation of image disparity Yes
+	- Phase-based methods completly remove noise from the image data Yes/No
+	- No, window-based cross-corrleation is preferred because it is computatinally more efficient No
+	- phase-based mehtods require no infrmation about local image structure No
+
+What are corrleations (cross or auto) used for
+	- Determining the temporal relation between cell firing Yes
+	- Measuring the self- similarity of cell firing Yes
+	- Descritoi of network operation ssuch sas lateral inhibition No
+	- Modeling tempral filter charactreristics of membranes No
+	- Measuring the strenght of cell-to-cell connections Yes
+	
+Select the correct statements about correlation fucntions
+	- The correlation $h (x) =  g (x) * f (x)$ is equal to $f (x) * g (x)$ mirrored at the Y-Axis Yes
+	- Cross-correlation is sued to deterinme the spatioal realtion between two cells firing No
+	- Cross corellatoin are used b ythe brain to determine motin and soud perception aspects Yes
+	- Auto-correlatoin gives the similatity between bservations of a vairable and its time-shifted version Yes
+	- auto correltaions always have their maximum peak at t=0 Yes
+	- if the psike train has a period of tau then its autocorrletaio nfucntion ahs theirr maximum peak at $t =  tau$ No
+	- Auto corrletaion are approcimatley even functions Yes
+	- the presence of noise can overdamp the amplitude of the oscillations of a given autocorrleation function Yes
+	- auto correlations always show oscillatory patterns No
+
+Which crosscorrelatoin function represents to mutually activating neurons (activating each other)?
+

S2/Other/.unicourse

@@ -0,0 +1,2 @@
+name: Other and different lectures
+short: Oth

S2/Other/VL/OthVL1.typ

@@ -0,0 +1,198 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+Grundlagen des Rechts I
+
+E: 0830 3.6.25
+
+= Einleitung und Recherche
+
+== Wie prueft man einen Anspruch auf Schadensersatz
+
++ Rechtsgutverletzung
++ Verletzungshandlung
++ Objektive Zurechnung (Kausalitaet, Adequants, Schutzrechtszusammenhang)
++ Rechtswidrigkeit
++ Verschulden
++ Haftung und Ausfuellung (wir brauchen einen Schaden)
++ Schadensumfang
+
+Andere Dinge
+- Haftgrund und Tatbestandmaessigkeit
+
+
+= Fall Kuno Schadensersatzansprueche
+
+== Kontext
+
+Kuno betreibt einen Freizeitpark mit Trampolin.
+
+Trampolinanlage
+
+Sichtbare Hinweise
+- Unter 4 jahrige nicht
+- Wer sich nicht sicher fuehlt soll das lassen
+- Slato ausgestreckte beine
+- Keine ellenbogen abstuetzen.
+
+Ungeuebter salto und ist auf dem Ruecken gelandet $==>$ Querschitgelaehmt
+
+== Frage
+
+Q: Welche Ansprueche gibt es gegen Kuno?
+
+== Analyse
+
+- Rechtsgutsverletzung. Koerper ist verletzt.
+- Veletzungshandlung (Akitves Tun oder unterlassen). Kein Aktives tun. Veletzung der Vekehrsicherungspflicht.
+
+Verkehrspflicht $==>$ Man muss beim Trampolin auf Lebensgefahr hinweisen.
+
+Wer einen Verkehr eroeffnet muss diesen sicher gestalten.
+
+Wer Risiko im Verkehr hat kann Warnhinweise austellen.
+
+Es gilt die Vermutung Aufklaerensrichtigens Verhalten.
+Man muss beweisen, dass jemand es trotzdem gemacht haette.
+
+Veltzung der Vekehrspflicht ist rechtswidrig, wenn es keine Rechtfertigung gibt.
+
+Paragraph 276.
+
+= Allgemeine Dinge
+
+Vor den Anspruechen aus dem Deliksrecht muss man vertragliche Ansprueche klaeren.
+Haftungsminderungen gelten fuer das Deliktsrecht.
+
+Tatbestand und Rechtsholge.
+Zuerst die Rechtsholge.
+
+Blanke Vermoegensschaeden sind Faelle wo kein absolutes Recht verletzt ist. Zum Beispiel Betrug.
+
+Untreue schuetzt das Vermoegen.
+
+823 Abs. 2 Zweiter Schadensbestand des Deliktsrechts
+
+Alle Verkehrsicherungspflichten seien Schutzgesetze nach diesem Paragraph.
+Wenn das richtig waere, dann brauchten wir den ersten Absatz nicht mehr.
+
+Schutzzweckzusammenhang $=>$ Pflicht zum Handeln
+
+Gesete sind immer abstrakt und nicht konret
+- Formell (Vom Parlament erlassen)
+- Materiell (Abstrakt generell)
+
+Hilfsnorm ist eine Norn ohne eigene Rechtsfolge aber hilft fuer eine Andere Norm zum Beispiel durch eine Definition.
+
+Alle Normen mit einem Buchstaben sind nachtraeglich eingefuegt worden.
+
+Unterschied Werkvetrag und Dienstvertrag.
+Im Werkvertrag wird ein Erfolg verschuldet und beim Dienstvertrag nur das Taetigwerden.
+
+= Schutzgesetz
+
+Ist "Jede Rechtsnorm, die zumindest auch dem individuellen Schutz eines anderen dient"
+
+- VSP als Schadenfernahltungspflicht nach Verantwortungsbereichen
+- Besondere Ruecksicht auf Kinder
+- Verwandlung nicht Entledigung von VSP durch Einschaltung Dritter
+- Schutzzwesch des Schutzgesetzes
+- Schutzgesetzverletung fuehrt zur Ersatzpflicht nur bei Rechtswidrigkeitszusammenhang
+
+820.2. Verpflichtung zum Schadensersatz
+823.1. Rechtsgutsverletzung
+823.2. Verbindung Schutzgesetz (Vermoegensschutzende Normen)
+826 Sittenwidrige Schaedigung
+
+Scheiben einschlagen $==>$ Sachbeschaedigung
+
+Schutzbereich ist
+- hinsichtlich der Person
+- hinsichtlich des Rechtsgut
+- hinsichtlich der Schaedigung
+
+= Rechtsgueter
+
+- Leben
+- Koerper
+- Gesungheit
+- Eigentum
+- Freiheit
+- Sonstige Rechte
+
+= Fall Polizei
+
+== Kontext
+
+Nach einem Autounfall wird der Flug verpasst und es muss eine Ubernachtung im Hotel bezahlt werden.
+
+== Sachgrundlage
+
+Wir brauchen ein Schutzgesetz fuer 823.2.
+
+== Frage
+
+Werden die Uebernachtungskosten getragen?
+
+= Grundzuege der Arzthaftung
+
+611.
+
+Der Arztvertrag ist ein Dienstvertrag.
+
+Es gilt das Diagramm
+
+Untersuchung $==>^("Einwilligung") $ Einwilligung $==>$ Behandlung
+
+Komplementer Behandlungsvertrag mit dem Patienten durch den Arzt vor der Behandlung?
+
+Die Krankenversicherung verschuldet die Behandlung fuer die Gesundheit.
+
+Die Kasse hat einen Vetrag mit den Vetragsaerzten.
+
+Eine Operation ist im allgemeinen eine Gerechfertigte Koerperverletzung.
+
+== Behandlungsfeher
+
+- Diagnose
+- therapie
+
+== Beweislastumkehr
+
+630h BGB
+
+- Voll beherrschbares Risiko
+- Mangelnde Befaehigung
+- Unzureichende Befaehigung
+- Unzureichende Dokumentation
+- Grober Behandlungsfehler
+
+== Einwilligung ist eine Rechtfertigung der kunstgerechten Behandlung
+
+630d BGB
+
+Keine Einwilligung in Kunstfehledjf
+
+- Einwilligungsfaehigkeit (Problem bei Minderjaehrigen)
+- Es geht nur bei vorrausgehender Aufklaerung 630e BGB
+	- Ueber alle Risiken
+	- Ueber Behandlungsalternaitiven
+	- Ueber Moeglichkeit unbekannter Risiken bei Neulandverfahren
+- Mutmassliche Einwilligung (vom Arzt zu beweisen)
+
+

S2/Other/index.typ

@@ -0,0 +1 @@
+= Other and different lectures

S2/Other/preamble.typ

@@ -0,0 +1,18 @@
+#import "../../data/default.typ": *
+#import "../../data/theorems.typ": *
+
+#let conf(num: none, date: "", type: none, body) = {
+	// Global settings
+	show: default
+
+	// Set the header
+	[Other Lectures \ #(date) \ Jonas Hahn]
+
+	// Make the outline
+	outline()
+
+	// load the document
+	body
+}
+
+

book.typ

@@ -61,6 +61,10 @@
 		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL7.typ")[Gradient]
 		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ")[Zusammenhang]
 		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL9.typ")[Partielle Ableitungen Ordnung]
+		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL10.typ")[Partielle Ableitungen Ordnung]
+		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL11.typ")[Partielle Ableitungen Ordnung]
+		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL12.typ")[Partielle Ableitungen Ordnung]
+		- #chapter("S2/DiffII/VL/DiIIVL13.typ")[Partielle Ableitungen Ordnung]
 
 	- #chapter("S2/Neuro/index.typ")[Computational Neuroscience]
 		- #chapter("S2/Neuro/VL/NeuroVL1.typ")[Verschiedene Ebenen]

data/default.typ

@@ -13,7 +13,7 @@
 	set align(left)
 	// For now no automatic numbering
 	// set heading(numbering: "1.1")
-	set par(justify: true)
+	//set par(justify: true)
 
 	// equation setup
 	show ref: equate
@@ -48,6 +48,9 @@
 #let grad = math.op("grad")
 #let div = math.op("div")
 
+#let Re = math.op("Re")
+#let Im = math.op("Im")
+
 // flashcards
 #let flashcard(id, front, back) = {
 	back