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S2/AnaMech/VL/AnMeVL13.typ
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196
S2/AnaMech/VL/AnMeVL13.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,196 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 13,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Widerholung
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== Erhaltungsgroessen in Lagrange II hier also Lagrangeformalismus
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Was ist die Lagrangefunktion und wie leite ich aus dieser
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die Bewegungsgleichungen fuer die gen. Koordinaten ab?
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Zyklische Koordinate $q_(k) :<=> $ zugehoeriger kanonischer Impuls ist erhalten.
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Es gilt also
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(partial L) / (partial q_(k) ) = 0 => p_(k) = (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) = "const.".
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$
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Eine weitere Erhaltungsgroesse ist
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(partial L) / (partial t) =0 => sum _(k) dot(q)_(k) p_(k) - L .. "erhalten".
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$
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Falls die Zwangsbedingungen zeitunabhaengig sind, dann ist diese Erhaltungsgroesse gleich der Gesamtenergie.
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Dies bekommt eine tiefere Bedeutung im Hamiltonformalismus.
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= Symetrien und Erhaltungsgroessen
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Ein Kreis hat eine $2 pi$ Rotationssymetrie. Ein Quadrad hat eine 4-fache Symetrie mit $phi_(n) = n pi/2$.
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Ein Dreieck hat eine 3-fache Symetrie.
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== Symetrieoperationen
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- Rotation mit Winkel
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- Translation im Raum mit Vektor
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- Wahl des Inertialsystems mit Vektor
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- Zeittranslation mit der Referenz der Zeit
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- (Spiegelung)
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- (Skalierung)
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Jedes mal wenn ich invarianz unter einer
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dieser Operation ist, dann ist dies eine Erhaltungsgroesse.
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Es lassen sich also so maximal 10 Erhaltungsgroessen in diesem System finden.
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Diese Klasse wird dann als allgemeine Gallileitrafo bezeichnet.
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== Galileitrafo in Inertialsystemen
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Wir betrachten N MP mit den Ortsvektoren mit $n = 1, ..., N$
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arrow(r)_(n) = vec(r_(n 1), r_(n 2) , r_(n 3) )_(x y z).
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Wir bleiben dabei voellig in kartesischen Koordinaten.
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Es gelten die Trafos
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r'_(n, i) = sum_(j=1)^(3) D_(i j) r_(j) + v_("rel", i) t + a_(i) \
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t' = t + t_0.
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Wobei fuer die Drehung gilt
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arrow(r)' = D arrow(r) \
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det D = 1 , space D D^(T) = D^(T) D = E.
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Skalarprodukte sind also invariant unter einer Drehung.
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Wir nehmen uns eine Drehachse
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arrow(n) = arrow(e)_(z).
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Dieser Vektor $arrow(n)$ legt dann die Drehachse fest.
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Es folgt fuer die Drehmatrix
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D_(z) = mat(
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cos phi, -sin phi, 0;
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sin phi, cos phi, 0;
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0, 0, 1;
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).
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Es gilt immer, dass die Rotationsmatrix zerlegt werden kann
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D = D_(alpha arrow(n)_(alpha) ) D_(beta arrow(n)_(beta) ) D _(gamma arrow(n)_(gamma) ).
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= Symetrieinvarianz der Lagrangefkt. unter SYmetrietrafo
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Ellipsengleichung
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(x^2 ) / (a^2 ) + (y^2 ) / (b^2 ) = 1.
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#example[
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Allgemeine Galileitrafos
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- Inertialsystem
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- kart. Koordinaten $==>$ $f = 3 N$
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- Abg. Systeme $(arrow(L), arrow(p), E)$ sind 7 Erhaltungsgroessen
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]
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Exkurs in die Festkoerperphysik unter dem Blickwinkel der Symetrien und der Betrachtung der Phasenuebergaenge von Materie.
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Das Ziel ist hier die Invarianz unter kontinuierlichen Symetrietrafo $==>$ Erhaltungsgroesse.
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Die allgemeine Lagrange lautet
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L = sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 - V (arrow(r)_(n), t ) , space m_(n = m).
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Und in abgeschlossenen Systemen ist sie gegeben durch
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L_(O) = sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 - 1/2 sum _(n, m) v_(n m ) (arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m) ).
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Betrachte die Homogenitaet der Zeit
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arrow(r)'_(n) = arrow(r)_(n) => d arrow(r)' = d arrow(r) \
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t' = t + epsilon => d t' = d t \
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=> dot(arrow(r))'_(n) = arrow(r)_(n)
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Es folgt
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L' = L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n), t' ) = L' (arrow(r)_(n), dot(arrow(r))_(n) , t + epsilon ).
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Fuer eine infinitisimal kleine Symetrietrafo gilt, dass der Parameter $epsilon << 1$.
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Dadurch muss bei einer Entwicklung nur die fuehrende Ordnung betrachtet werden.
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Es gilt natuerlich auch, dass $L' |_(epsilon = 0) = L $.
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Allgemeine Lagrangefunktion Invarianzbedingung
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((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = 0 .. "fuer alle Faelle".
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Zeittrafo der allgemeinen Lagrangefunktion
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((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = ((partial L') / (partial t') (dif t') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = (partial L) / (partial t) * 1.
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Fuer abgeschlossene Systeme gilt dann
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((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = 0.
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Allgemein gilt nur
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((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = dif / (dif t) (sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p) - L).
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Dann wieder fuer die abgeschlossenen
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(partial L_(O) ) / (partial t) = 0 => sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p)_(n) - L = "const." = E = T + V.
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Es gilt also: Homogenitaet der Zeit $<=> $ Gesamtenergie ist erhalten.
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Dies ergibt das Paar $E <--> t_0 $.
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= Homogenitaet des Raumes
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Es gilt fuer die Transformation der Lagrangegleichung
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arrow(r)'_(n) = arrow(r)_(n) + epsilon arrow(a) , space arrow(a): "fest, beliebig" \
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t' = t \
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dot(arrow(r))'_(n) = dot(arrow(r))_(n) \
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=> L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n) , t') = L' (arrow(r)_(n) + epsilon arrow(a), dot(arrow(r))_(n) , t).
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Wieder betrachte fuer die allgemeine Lagrangefunktion
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((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = ((partial L') / (partial arrow(r)'_(n)) (dif arrow(r)'_(n) ) / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = sum_n (partial L) / (partial arrow(r)_(n) ) *arrow(a) = sum _(n)( dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(arrow(r))_(n) )) * arrow(a) \
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=> ((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) = dif / (dif t) (sum _(n) p_(n) * arrow(a)) = dif / (dif t) (arrow(P) * arrow(a)) , space arrow(P): "Gesamtimpuls".
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Im abgeschlossenen System gilt
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((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) ) = 0 => dif / (dif t) (arrow(P) * arrow(a)) = 0 => dif / (dif t) arrow(P) = 0
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wodurch im raeumlich invarianten System der Gesamtimpuls erhalten ist.
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Hier gilt
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arrow(r)'_(n) - arrow(r)'_(m) = arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m).
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=== Nebenrechnungen
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Es gilt
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dif / (dif t) (a b) = (dif a) / (dif t) b + a (dif b) / (dif t) \
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(partial f) / (partial arrow(r)) = arrow(nabla)_(x y z) f \
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arrow(r ) = vec(x, y, z).
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Natuerlich gilt fuer die Lagrangefunktion
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(partial L) / (partial t) = 0 => sum_(i=1)^(f) p_(i) dot(q)_(i) - L .. "erhalten".
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Reference in New Issue
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