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S2/AGLA/VL/AgIIVL1.typ

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+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 1,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= 1. Einfuehrung in die Ringtheorie
+
+#definition[
+	Ist auf einer abelschen Gruppe eine weitere Verknuepfung $*: R times R -> R, (x,y) |-> x y$ und fuer alle $x,y in R$ die folgenden Bedingungen
+	erfuellt sind
+	$
+		x (y + z) =  x y +  x z \
+		(y + z) x =  y x +  z x
+	$
+	dann wird $(R, *, +)$ als *Ring* bezeichnet.
+	Falls die Multiplikation kommutativ ist, so wird der Ring als kommutativ bezeichnet.
+	Das Element $1 in R$ heisst Eins falls fuer alle $r in R$ gilt
+	$
+		1 * r = r * 1 = r.
+	$
+]
+
+#lemma[
+	Ist R ein Ring mit kommutativer Multiplikation, so gilt der Binomische Satz der Form
+	$
+		(x + y)^(n) = x^(n) +  y^(n) + sum_(i=1)^(n-1)   vec(n, i) x^(i) y^(n-i).
+	$
+]
+
+#lemma[
+	Ist R ein Ring, so gilt fuer alle $r, x in R$
+	$
+		0 r = r 0 = 0 , space (-x)y =  - (x y) =  x (-y) , space (-x) (-y) =  x y.
+	$
+]
+
+Die Menge aller Matrizen mit eintraegen aus R ist wieder ein Ring. Im Folgenden ist stets R ein kommuativer Ring mit Eins.
+
+Wir defineren den Raum
+$
+	R^(oo) := {(x_n) _(n in N_(0)  ) | forall n in N_(0):  x_(n)  in R } 
+$
+mit den Verknuepfungen zwischen $(a_(n) ), (b_(n) )in R^(oo) $ gegeben durch
+$
+	(a_(n) ) +  (b_(n) ) &:=  (a_(n) +  b_(n) ) \
+	(a_(n) )(b_(n) ) &:= (sum_(j = 0)^(k) a_(k-j)  b_(j)  )_(n in N_(0) ) 
+$
+wird $R^(oo) $ zu einem kommutativen Ring mit Eins.
+
+#definition[
+	Polynom mit Koeffizienten in R.
+
+	Ein Element E aus dem Polynomring $R [X]$ ueber R mit der Unbestimmten X ist gegeben durch
+	$
+		
+		E = sum_(j=0)^(n) r_(j) X^(j) ..  "mit" n in NN, r_(j)  in R space forall j.
+	$
+]
+
+#definition[
+	Seien $S, R$ Ringe und $phi: S -> R$ eine Abbildung. Dann ist $phi$ ein *Ringhomomorphismus* falls gilt
+	$
+		phi (s + r) = phi s +  phi r \
+		phi (s r) =  phi s * phi r.
+	$
+	Jeder Ringhomomorphismus ist so auch ein Gruppenhomomorphismus zwischen $(S, +) "und" (R, +)$.
+	Es folgt so dass
+	$
+		phi (0_(R) ) = 0_(S)  "und" phi (-x) =  - phi x space forall x in R.
+	$
+]
+
+#theorem[
+	Sei $R =  ZZ$ ein Ring. Sei $phi: ZZ -> ZZ$ ein Ringhomomorphismus. Dann fuer alle $x in R$ entweder $phi x = 0$ oder $phi x = 1$.
+]
+#proof[
+	Es gilt, dass $phi 1 = phi (1^2) = (phi 1)^2 $ wodurch folgt, dass $phi 1$ entweder 1 oder 0 sein muss.
+	Dadurch folgt mit $m 1 =  1 + ... + 1$ die Aussage.
+]
+
+#definition[
+	Ein Unterring U von R heisst *Ideal* in R, falls fuer alle $x in U$ und $y in R$ gilt, dass $x y in U$ und $y x in U$.
+]
+#theorem[
+	Der Kern eines Rinhomomorphismus $phi: R -> S$  ist ein Ideal in R.
+]
+#theorem([Homomorphisatz fuer Ringe])[
+	Ist $phi: R -> S$ ein Ringhomomorphismus dann ist durch
+	$
+		Phi: R slash ker phi -> S
+	$
+	ein injektiver Ringhomomorphismus definiert. Es gilt auch dass $phi (R)$ isomorph zu $R slash ker phi$ ist.
+	
+]