test ci

S2/DiffII/VL/DiIIVL3.typ

@@ -63,4 +63,30 @@ Hier bezeichnet $e_(n) $ den Einheitsvektor in Richtung $n$.
 	Sei $S^(n-1) := {x in RR^(n)  | norm(x)_(2) =1}$ und $c := inf {norm(x) | x in S^(n-1) }$. Behauptung: es gilt $c>0$.
 
 	Angenommen $c=0$. Waehle $x_l in S^(n-1) , l in NN $ mit $lim_(l -> oo) norm(x_l )=0$.
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+	#highlight[TODO: finish this proof]
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+= Stetige Abbildungen und normierte Raeume
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+Wir nennen einen Metrischen Raum vollstaendig, falls jede Cauchy-Folge in $M$  einen Grenzwert in $M$ hat.
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+#example[
+	- $RR^(n) "ist vollstaendig"$
+	- $QQ^(n) "ist nicht vollstaendig"$, da die Folge gegen $sqrt(2)$ keinen Grenzwert in $QQ$ hat
+	- abgeschlossene Teilmengen des $RR^n$ sind vollstaendig (Q: Folgt dies aus Punkt eins?)
+]
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+#definition[
+	Sei $K in {RR,QQ}$ und $V$ ein normierter Vektroraum. Wir nennen $V$  Banachraum, falls $V$ vollstaendig ist.
+]
+
+#example[
+	- $(RR^(n) , norm(dot)_(p) )$ ist fuer jedes $p >= 1$ ein Banachraum (Q: Warum nicht fuer $p = 1/2$?)
+	- Fuer $[a,b]subset.eq RR$ betrachte den Raum der stetigen Funktionen $C ([a,b]) = {f: [a,b]-> RR | f "ist stetig"}$ mit den Normen $norm(f)_(C ([a,b])) := sup_(t in [a,b]) abs(f (t)) $
+	#highlight[TODO: Show that C([a,b]) is complete]
+]
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+#lemma[
+	Sei $V$ ein K-VR mit Skalarprodukt, $K in {CC,RR}$ und $norm(x):= sqrt(angle.l dot\,dot angle.r)$
 ]