cwr first

S2/CWR/CWRVL1.typ

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+= Einleitung
+
+Dozent: marcus.muillr\@uni-goettingen.de
+
+== Pruefungsvorleitstung
+
+- 4 Testat-Aufgaben jeweils eine Woche
+- git repo $-> $ Tutor
+- Pass/Fail 1 Verbesserung pro Testat moeglich
+
+== Pruefung
+
+Projekt + Report eine Woche Zeit
+
+ca. 10 Seiten
+
+1. Periode 4-11 August
+2. Periode 6-13 Oktober
+
+Programmiersprache C. Die Programme muessen lauffaehig im CIP Pool sein.
+
+Graphische Auswertung in Python.
+
+== Literatur
+
+Numerical Recipies Cambridge University Press
+
+== Ziele
+
+$"Probleme"-> "Algorithmen"-> "Programme"-> "Auswertung"$
+
+= Numerische Integration
+
+Das Problem ist ein einfaches Integral auszurechnen
+
+$
+	I = integral_(a)^(b) f(x) d x.
+$
+
+Dafuer kann die *Mittelpunktsregel* verwendet werden
+
+$
+	I = lim_(Delta x -> 0) sum_(i = 0)^(N)  Delta x f(x_(i)) \
+	x_0 = a, x_N = b\
+	Delta x = (b-a) / (N) \
+	x_i = a + i Delta x\
+	"Mittelpunkt": x_(i)  + (Delta x) / (2) l\
+	I approx sum_(i)^(N)  Delta x f(x_i + (Delta x) / (2) ) \.
+$
+
+
+Oder die *Trapez-Regel*
+
+$
+	f_("app") =  f(x_i) + (f(x_(i+1) - f(x_i) ) / (Delta x)  (x - x_i)\
+	I_1 = integral_(x_(i+1) )^(x_i) f(x) d x approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) f_("app")(x) d x = Delta x (f(x_(i+1) )+ f(x_(i)))  / (2 ) .
+$
+
+== Simpson regel
+
+Quadratische Naeherung der Funktion auf dem intervall
+
+$
+	I_(i) = integral_(x_(i+1) )^(x_(i) ) d x f(x) approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) d x f_("app") (x) = (Delta x) / (6) [f(x_(i)) + 4 f(x_(i)) + f(x_(i)) ].
+$
+
+== Fehlerabschaetzung
+
+Berechnung der Ordnungen der Fehler und Abschaetzung des Fehlers.
+
+#highlight[TODO: Literatur lesen und die Kapitel ausbessern]
+
+= Berechnung von Nullstellen
+
++	Intervallschachtelung
+	Pruefen von Intervallen, welche durch die Bedingung $f(a)f(b) < 0$ eine Nullstelle enthalten muessen.
+	Fuer den Algorithmus waelt man dann fuer die neue Intervallgrenze den Mittelpunkt zwischen $a$ und $b$, je nachdem ob die Bedingung fuer eine Nullstelle wieder erfuellt ist faehrt man dann mit dem einen oder dem anderen Intervall fort
++	Approximation durch eine lineare Funktion ($hat(f) = f_("app") $)
+	$
+		hat(f)(x) = f(a) + (f(b) - f(a)) / (b-a) (hat(x)-a)  = 0\
+	hat(x) = a- (b-a) / (f(b) - f(a)) f(a)	
+	$
+
+	Mit der Iterationsvorschrift
+	$
+		x_(n+1) = x_(n-1) (f(x_(n)) - f(x_(n+1))  ) / (x_(n) -x_(n-1) ) f(x_(n-1) ),
+	$
+	wobei die Abbruchbedingung $abs(f(x_(n))) < epsilon$ ist.
++	Newton-Raphson ist ein iteratives Verfahren.
+
+	 #highlight[TODO: understand and implement this]
+
+= Auswahl von Algorithmen
+
++ Rechenzeit/Effizienz
++ Robustheit/Stabilitaet
++ Genauigkeit
+
+== Bewertung der Algorithmen
+
++ Intervallschachtelung\
+	Robustheit ++\
+	Effizient
+
+== Uebung
+
+$f(z) = z^3 -1 = 0, quad  z in CC$ mit Newton.