Wednesday

S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ

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+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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+	//	year: 2025,
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+)
+
+= Uebersicht
+
+Ultraschall in festen und fluessigen Median oder in Gewebe fuer die medizinische Diagnostik.
+
+Fuer die medizinische Diagnostik sind vor allem Frequenzen im Bereich von einigen MHz interessant unterhalb 2 MHz ist die Aufloesung zu gering oberhalb ist die Absorption zu stark.
+
+Die BWGL fuer Schall muss linearisiert werden, da sich die Dichte veraendert.
+
+== Schallwellen in Festkoerpern
+
+Im Festkoerper haben wir noch weniger Dichteaenderung. 
+Auslenkung $xi (z, t)$ im Volumenelement $dif V =  A dif z$ mit der Spannung $sigma =  E (diff xi) / (diff z) $ und der Spannungsdifferenz $sigma (z +  dif z, t) -  sigma (z, t)$ und eine Kraftdifferenz $dif F$ bedingt eine Beschleunigung des Volumenelements 
+$
+  dif F =  A dif sigma =  A (diff sigma) / (diff z ) dif z \ 
+  rho (diff ^2 xi) / (diff t^2 )  dif V =  A E (diff ^2 xi) / (diff z^2 )  dif z ==> (diff ^2 xi) / (diff t^2 )  =  sqrt(E/rho) ^2  (diff ^2 xi) / (diff x^2 )  \ 
+  c =  sqrt(E/rho) \, space sqrt(T/s).
+$
+Es gibt noch mehr Freiheitsgerade also die Polarisation. Fluessigkeiten koennen nicht geschert werden.
+
+Klassifizierende Variablen fuer einen Festkoerper.
+
+Alle moeglichen Geometrien koennen beim Schwingen eines Festkoerpers eine Rolle spielen. Zustaende sind im Verzerrungsfeld dargestellt und die Elastizitaet in einem Tensor hoher Stufe.
+
+Die stationaere Wellengleichung haengt nicht von der Zeit ab 
+$
+  arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) +  k^2 u (arrow(r)) =  0 \ 
+  u : RR^3 ->  RR \ 
+  phi =  (arrow(r), t).
+$
+
+Hier ist $u$ die Amplitude. Diese folgt aus dem Sperarationsansatz.
+
+= Fourier Zerlegung
+
+Es gilt fuer eine periodische Funktion 
+$
+  psi (t) =  C cos (omega t +  phi) =  Re (C e ^(i omega t +  phi) ) =  A cos (omega t ) +  B sin (omega t) =  Re [Z e ^(i omega t ) ] \ 
+  A =  C cos phi \, space  B =  -  C sin phi \, space  C ^2  =  A ^2  +  B ^2  \, space Z =  A -  i B  \ 
+  f =  440"Hz" \, space  phi =  110 degree \, space  C = 2.
+$
+Als Ueberlagerung 
+$
+  psi (t) =  Re [Z_(1) e ^(i omega_1 t) +  Z_(2) e^(i omega_2 t) ] \, space f_1  = 440"Hz" \, space f_2 =  610"Hz".
+$
+$Z$ sind die Fourierkoeffizienten und lassen sich aus $psi (t)$ bestimmen durch eine Fourierzerlegung.
+
+$
+  psi (t) =  Re [sum_(n=1)^(N) Z_(n) e ^(i omega_(n) t) ]
+$
+
+Falls wir eine beliebige Kombination haben. Das Signal $f (t)$sei periodisch mit Periode $T$, dann gilt mit $omega_1 =  (2 p)/T$ und $omega_(n) =  n omega_(1) $
+$
+  f (t) =  sum_(n = - oo)^(oo)  c_(n) e ^(i omega_(n) t) \ 
+  "reele" f ==> f (t) =  a_0 +  sum_(n=1)^(oo) {a_(n) cos (omega_(n) t) +  b_(n) sin (omega_(n) t) } \ 
+  c_(n)  =  1/T integral _(t_0 ) ^(t_0 + T) f (t) e ^(i n omega_(n) t) dif t.
+$
+Addieren von Zeigern 
+$
+  psi (t) =  C cos (omega t +  phi) =  1/2 {Z e ^(i omega t) +  Z^(star ) e^(- i omega t )   }.
+$
+Der Phasor erlaubt auch eine Darstellung durch negative Frequenzen.
+
+= Physik der Musikinstrumente
+
+Falls Toene in einem ganzzahligen Verhaeltnis stehen, dann hoert sich der Ton harmonisch an.
+
+Typen von Instrumenten
+- Idiophone
+- Resonante
+- Aerophone
+
+Man kann sich die Eigenmoden des Resonanzkoerpers einer Geige anschauen.
+
+Wir definieren die Tor-Funktion durch 
+$
+  Pi (x) =  cases(
+    0 .. abs(x) > 1/2, 1 .. abs(x) <= 1/2.
+  )\
+$
+
+$
+  tilde(Pi) (nu) =  integral_(- oo)^(oo) dif x Pi (x) e ^( -  i 2 pi nu x)  \ 
+  integral_(- 1/22)^(1/2) dif x e ^(-  i 2 pi nu x) =  [(1) / (- i 2 pi nu) e ^( -  i 2 pi nu x) ]^(1/2) _(- 1/2)  = 1/(pi nu) sin (pi nu) = sinc (pi nu) "Sinus Cardinalis".
+$
+
+= Dispersionsgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit
+
+Die Phasengeschwindigkeit $c$ beschreibt die Bewegung der Orte gleicher Phase bei einer monochromen Welle 
+$
+  e ^(i (k x -  omega t))  =  e ^(i k (x - c t))  \, space  omega_i  =  c k_i.
+$
+Betrachte jetzt eine Ueberlagerung
+$
+  psi prop e ^(i (k_1 x -  omega_1 t)) +  e ^(i (k_2 x -  omega_2 t)) \ 
+  overline(k):= (k_1 +  k_2 ) / (2) \, space Delta k =  (k_1 -  k_2 ) / (2)  \, space overline(omega) := (omega_1 +  omega_2 ) / (2)  \, space Delta omega :=  (omega_1 -  omega_2 ) / (2)  \ 
+  psi = e ^(i( (overline(k) +  Delta  k)x -  ( overline(omega)+  Delta  omega))t) + e ^(i( (overline(k) -  Delta  k)x -  ( overline(omega)-  Delta  omega))t) \ 
+  = underbrace(e ^(i (overline(k)x -  overline(w) t)), "Traeger-Welle") * underbrace(2 cos (Delta k x -  Delta omega t), "Einhuellende-Welle") \, space "fuer" Delta k << overline(k) \, space  Delta omega << overline(omega) "aehnlich wie bei Schwebung".
+$
+Phasen von TW bewegen sich mit $c_("phase") =  overline(omega)/overline(k) approx (omega_1 ) / (k_1 ) approx   omega_2 /k_2   $.
+Phasen von EW bewegen sich mit $c_("group") = (Delta omega) / (Delta k) approx (diff omega) / (diff k) $. Bei linearer Dispersionsrelation 
+$
+  omega = omega (k) \, space omega =  c k ==> (diff omega) / (diff k) = c.
+$
+Nur bei dieser ist $c_("phase") = c_("group") $.
+
+Die Phasengeschwindigkeit kann groesser als die Lichtgeschwindigkeit sein?