new week

S2/AGLA/VL/AgIIVL1.typ

@@ -1,7 +0,0 @@
-// AGLA template
-#import "../preamble.typ": *
- 
-#show: conf.with(num: 1)
-
-= Uebersicht
-

S2/AGLA/VL/AgIIVL7.typ

@@ -0,0 +1,160 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 7,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+#theorem()[
+	Sei $F,M$ unitaere R-Moduln, und $F$ sei frei (mit Basis erzeugt).
+	Sei $phi: M -> F$ surjektiv Modul-Hom.
+	Dann gibt es einen Hom. $psi: F -> M$ mit $phi compose psi =  "Id"$, und es gilt $M =  ker phi plus.circle psi (F)$.
+]
+
+#proof[
+	Sei $S$ eine Basis von $F$. Zu jedem $s in S$ gibt es $m_(s) in M$ mit $phi (m_(s) ) =  s$.
+	$
+		psi (s) := m_(s) space forall s in S ==> exists! "Hom." psi: F -> M "mit diesen Eigenschaften" \
+		phi compose psi (s) =  s space forall s in S ==> phi compose psi =  id_(F) 
+	$
+	Fuer jedes $m in M$ schreibe
+	$
+		m = underbrace(psi compose phi (m), psi (F)) +  (m -  psi compose  phi (m)).
+	$
+	Aber
+	$
+		phi (m - psi compose phi (m)) =  phi (m) - phi compose psi compose phi (m) =  phi (m) - phi (m) =  0,
+	$
+	also
+	$
+		M =  ker phi +  psi (F).
+	$
+	Wir wollen jetzt zeigen, dass die Summe direkt ist, also
+	$
+		ker phi sect psi (F) =  {0}.
+	$
+	Sei $x in ker phi sect psi (F)$. Dann gibt es $y in F$ mit $x = psi (y)$. Wegen $x in ker phi$ ist
+	$
+		0 =  phi (x) =  phi compose psi (y) =  y, "dann" x =  psi (0) =  0.
+	$
+	
+]
+
+#theorem[
+	Ist $U$ Untermodul des R-Moduls $M$ und $M slash U$ frei, dann gibt es Untermodul $V$ von $M$  mit $M =  U plus.circle V$.
+]
+
+= 5 Moduln ueber HIR
+
+#theorem[
+	Sei $M$ endlich erzeugter freier Modul ueber dem HIR $R$. Sei $U$ ein Untermodul von $M$. Dann ist $U$ frei und der Rang von $U <= "Rang von" M$ .
+]
+#proof[
+	Induktion nach $n = "Rang" M$. Ist $n = 0$, dann $M = {0}$, $U = {0}$.
+	Jetzt sei $n >= 1$, und Satz sei bekannt fuer alle M mit $"Rang" M < n$.
+	Sei $M$ mit $"Rang" M = n$ gegeben, $U subset M$ U-Modul. Zu zeigen ist jetzt, dann U frei ist.
+	Sei $e_1,  ..., e_n $ eine Basis fuer M. jedes $u in U$ schreibe als Linearkombination der Basisvektoren.
+	Beobachten die Koeffizienten vor den Basisvektoren
+	$
+		alpha = {beta in R: exists beta_2, ... ,beta_n in R: beta e_1 + beta_2 e_2 +  ... + beta_n e_n in U}
+	$
+	ist ein Ideal in R.
+	Ist $beta in alpha$ und $r in R$, dann ist $r beta in alpha$, weil $U$ Modul ist.
+	$
+		beta, beta' in alpha ==> exists beta_j, beta'_j in R "mit" beta e_1 + beta_2 e_2 + ... + beta_n e_n in U, beta' e_1 + beta'_2 e_2 + ... + beta'_n e_n in U, \
+		==> (beta - beta') e_1 + (beta_2 - beta'_2) e_1 + ... in U, "also" beta - beta' in alpha.
+
+	$
+	R ist also ein HIR, d.h. $exists gamma in R$ mit $alpha = (gamma) =  gamma R$. Es gitb wegen $gamma in alpha$ ein $u in U$ mit
+	$
+		u =  gamma e_1 + gamma_2 e_2 + ... + gamma_n e_n, gamma_j in R "geeignet".
+
+		==> "jedes" v in V$ ist von der Form $v =  rho gamma e_1 + beta_2 e_2 +  ... +  beta_n e_n "mit" rho in R, beta_j in R "geeignet". \
+		==> v -  rho u in angle.l e_2 \, ... \, e_n  angle.r := M', "ist U-Modul, frei, Rang" M' = n-1.
+	$
+	Aber es gilt auch
+	$
+		v - rho u in U, "also" v - rho u in M' sect U =  U', "ist U-Modul von" M'.
+	$
+	Nach Induktionsvorraussetzung ist $U'$ frei mit $"Rang" M' <= n-1$. Ist $gamma = 0$, dann ist $U' =  U$, also sind wir fertig.
+
+	Also nehmen wir an, dass $gamma != 0$. Ist $y_1,  ..., y_(t) $ eine Basis von $U'$, dann ist $u, y_1 , ... y_t $ Basis von U.
+	Die Begruendung dafuer ist
+	$
+		v - rho u in U', v - rho u =  mu_1 y_1 +  ... + mu_(t) y_(t) , v =  rho u +  mu_1 y_(t)  in angle.l u \, y_1 \, ... \, y_(t)  angle.r =  U.
+	$
+	Das kleine u und alle $y_j $ sind linear unabhaengig.
+	Auch sind die $y_j $ Linearkombinationen der Basiselemente ohne $e$. Aber alle Basisvektoren sind linear unabhaengig.
+	Nur $u$ hat einen Anteil $e_i ==> gamma = 0$. Dann $mu_(j)  =  0$, weil Basis von $U'$ bilden.
+]
+
+#theorem[
+	Endlich erzeugte torsionsfreie Moduln uber HIR sind frei.
+]
+#proof[
+	Sei $M$ ein torsionsfreies R-Modul, mit R HIR und es gelte $M =  angle.l x_1 \, ... \, x_(s)  angle.r , space x_j in M$.
+
+	Jedes $x_j $ ist linear unabhaengig, denn $r x_j =  0 ==> r = 0, "da" x_j "kein Torsionselement ist."$
+	In der Menge ${x_1,  ..., x_(s) }$ waehle eine nach der Anzahl der Elemente groesste Teilmenge, die linear unabhaengig ist.
+	Hat diese $t$ Elemente, dann nimm an, diese sind $x_1,  ..., x_(t) $.
+
+	Ist $s =  t$, dann ist diese Menge eine Basis $==>$ M ist frei. Bleibt also $t < s$.
+	Dann ist ${x_1,  ..., x_(t), x_(j)  }, t < j <= s$ linear abhaengig. Es gibt also $alpha_(j)  in R$, nicht alle Null, mit
+	$
+		alpha_j x_j =  sum_(i = 1)^(t)  alpha_i x_(i).
+	$
+	Es gilt ist $alpha_j != 0, "weil" x_1,  ..., x_(t) "lin. abhaengig sind." $
+	Def. $alpha =  alpha_(s) alpha_(s - 1), ..., alpha_(t + 1) != 0$. Es folgt $alpha x_j in R x_1 plus.circle R x_2 plus.circle ... plus.circle R x_(t) =: F, t < j <= s  $.\
+	$==>$ $alpha x_(i) in F space forall 1 <= i <= s$, also sogar $alpha x in F space forall x in M$. Also hat $- alpha M$ in F eine Basis.
+	Da M torsionsfrei ist, gilt $M ->  alpha M, m |-> alpha m$ ein Isomorphismus, also M frei.
+]
+
+M endl. erz. ueber HIR R $==>$ $M\/"Tor"M$ frei.
+$==>$ $M =  ("Tor"M)plus.circle U, "mit" U "geeignetes U-Modul"$.
+$
+	M \/ "Tor"M =  "Tor"M + U \/ "Tor"M tilde.equiv U \/ U sect "Tor"M.
+$
+
+#theorem[
+	Sei R HIR, M endl. erz. R-Modul. Dann gibt es einen freien Modul $F subset M$ mit
+	$
+		M =  ("Tor"M) plus.circle F, "und" F tilde.equiv M \/ "Tor"M.
+	$
+]
+
+Gegeben sei ein Torsionsmodul M (d.h. jedes Element ist Torsionsmodul).
+
+Q: Lassen sich diese klassifizieren?
+
+= 6. Torsionsmoduln
+
+Stets sei R ein HIR, M ein unitaeres R-Modul. Weil R kommutativ ist, ist $"Ann"(m) =  {r in R: r m =  0}$ in R ein Ideal, also gibt es $delta (m) "mit" "Ann"(m) =  (delta (m)) =  R delta (m)$. Die $delta (m)$ heisst Ordnung von $m$, des Ideal $delta (m)$ heisst Ordnugngsideal und steht eindeutig fest.
+
+Ist U Untermodulvon M, dann gibt es $"Ann"(U) =  sect.big_(u in U) "Ann"(u) =  sect.big_(u in U) delta (u) R =  (delta (U)) $. \
+Dabei heisst $delta (U)$ die Ordnung von U, es gilt $(delta (U)) subset (delta (u)), "also" delta (u) | delta (U) space forall u in U$.
+
+Ist M Torsionsmodul, dann $delta (u) !=  0 space forall u in M$, und $delta (U) " der ggT"_(u in U)  delta (u) $.
+
+Es gibt auch $delta (M) != 0$ fuer Torsionsmoduln M.
+
+#example[
+	G abelsch Gruppe aufgefasst als Modul der ganzen Zahlen. Sei $\# G < oo$.
+	Fuer jedes $g in G$ gibt es ein $n in NN$ mit $n g =  0$. Die $n in NN$ mit $n g =  0$ bilden ideal in $ZZ$,
+	also ${n in ZZ: n g =  0} = k ZZ$, $k>0$ minimal, $k g =  0$. Hier heisst $k$ die Ordnung von $g$.
+	]
+

S2/AGLA/Zettel4.typ

@@ -0,0 +1,79 @@
+AGLA Zettel 4
+
+18.05.2025
+
+Max Offermann
+
+Jonas Hahn
+
+Horst Kretschmer
+
+= Aufgabe 1
+
+== Teil a
+
+Angenommen $QQ$ ist endlich erzeugt. Dann gilt
+$
+	QQ =  (q_1, ..., q_n ), q_i =  (a_i ) / (b_i ).
+$
+
+Waehle $q_0 = (1) / (b) in QQ $ mit $b > product_(i)  b_i$ und $b$ eine Primzahl. Da $b_i >= 1, space forall 1 <= i <= n$ gilt folgt
+aus der Konstruktion von $b$, dass
+$
+	b != b_i, space forall 1 <= i <= n.
+$
+
+Erlaubte Operationen, um das Erzeugnis in diesem $ZZ$-Modul zu bilden, sind
+1. Multiplikation mit $ZZ$ $==>$ Variation von $a$
+2. Addition innerhalb des Moduls mit
+	$
+		(a_1 , b_1 ) + (a_2, b_2 ) =  (a_1 b_2 + a_2 b_1 ) / (b_1 b_2 )
+	$
+	$==>$ der Nenner innerhalb des Ereugnis kann nur Vielfache der $b_i $ aus dem Erzeugendensystem annehmen
+
+Nun ist $b$ eine Primzahl ist und nicht in ${b_i: 1 <= i <= n }$ enthalten, also auch kein Vielfaches der $b_i $. Somit gilt $1/b in.not QQ$. Widerspruch.
+Also ist $QQ$ nicht endlich erzeugt.
+
+== Teil b
+
+Es gilt zu zeigen, dass $QQ$ torsionsfrei und nicht frei ist.
+
+=== $QQ$ ist nicht frei
+
+Angenommen $QQ$ ist frei. Dadurch ist $QQ$ durch eine Basis erzeugt, von welcher jede endliche Teilmenge linear unabhaengig ist.
+
+Da die Basis B von $Q$ nicht endlich sein kann, also auch mehr als ein Element enthaelt, waehle
+$
+	q_1, q_2 in B , space q_1 = a/b "und" q_2 = c/d.
+$
+
+Betrachte $n,m in ZZ$
+
+$
+	n a/b + m c/d = (n overbrace(a d,u) + m overbrace(c b, v)) / (d b).
+$
+
+Waehle $n = v "und" m = -u$, dann folgt
+$
+	v u -  u v = 0 \
+	==> v a/b + (-u) c/d = 0 \
+	==> q_1 "und" q_2 "sind linear abhaengig."
+$
+
+Widerspruch.
+Also ist $QQ$ nicht frei.
+
+=== $QQ$ ist torsionsfrei
+
+
+Sei $m in QQ \\ {0}$ beliebig, mit $m =  a/b$, dann gilt $a,b in ZZ \\ {0}$. \
+Sei $z in ZZ \\ {0}$ beliebig. 
+
+Betrachte
+$
+	a dot z = c in ZZ.
+$
+
+Es gilt durch $a,z != 0$, dass $c != 0$, da $ZZ$ Nullteilterfrei ist. \
+Somit folgt $m r !=  0$, womit $QQ$ torsionsfrei ist.
+

S2/AnaMech/VL/AnMeVL10.typ

@@ -0,0 +1,226 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 10,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Bei der Lagrange II fuer einen MP mit $arrow(r) in RR^(3) $ gilt die Trafo: $x_(i) =  x_(i) (q_1, q_2, q_3 )$, wobei $q_i $ beliebige Koordinaten sind.
+Und die $x_(i) $ die kartesischen Koordinaten sind.
+
+Mit Newton gilt
+$
+	m dot.double(x)_(i) =  f_i , space arrow(f) =  vec(f_1, f_2, f_3 ) \
+	<=> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) )- (partial T) / (partial q_i) =  arrow(g)_(i) * arrow(f) , space i =  1,2,3.
+$
+
+= Konservative Systeme
+
+Es gilt
+$
+	arrow(f) =  - arrow(nabla) V (arrow(r)) <=> f_i =  - partial_(i) V , space partial_(i)  =  partial / (partial x_(i) ).
+$
+
+Lagrangefunktion
+$
+	L (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) =  T (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) - V (q_1, q_2, q_3 ).
+$
+
+Lagrange BWGL II
+$
+	p_(i) =  (partial L) / (partial dot(q)_(i) )  \
+	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) - (partial L) / (partial q_(i) ) =  0 , space i = 1,2,3
+$
+ist forminvariant.
+
+Die skalare Funktion der Lagrangefunktion ist eine Hilfsgroesse, wobei sie beliebigen $q_i "und" dot(q)_(i) $, welche unabhaengige Variablen sind
+einen skalaren Wert zuordnet.
+Wobei gilt
+$
+	dot(q) =  (dif q) / (dif t).
+$
+
+= Vorgehen
+
+1. Transformation in allgemeine Koordinaten auf deren Bewegung keine Kraefte wirken. Diese muss man Raten oder sie sind vorgegeben
+2. Die kinetische und potentielle Energie als Funktion von kartesischen Korrdinaten aufstellen
+3. Diese Energien in allgemeine Koordinaten transformieren
+
+Dabei gilt
+$
+	T =  m/2 dot(x)_(i) , space dot(x) =  m/2 g_(i j) dot(q)_(i) dot(q)_(j) , space g_(i j)  =  g_(i j) (q).
+	
+$
+
+#example[
+	Zentralpotential mit konstantem Drehimpuls
+	$
+		dif / (dif t) arrow(L) =  0 => 2"D".
+	$
+	Waehle die generalisierten Koordinaten
+	$
+		q_(1)  = r, \
+		q_(2) = phi.
+	$
+	Berechne Transformationen
+	$
+		x_1 =  r cos phi \
+		x_2 =  r sin phi \
+		dot(x)_(1)  =  dot(r) cos phi - r sin phi dot(phi) \
+		dot(x)_(2)  =  dot(r) sin phi + r cos phi dot(phi) \
+	$
+	Berechne die kinetische Energie
+	$
+		T &=  m/2 (dot(x)_(1) ^2 +  dot(x)_(2) ^2 ) =  m/2 vec(dot(q)_(1), dot(q)_(2) )^(T)  mat(
+			1, 0;
+			0, r^2 ;
+		) vec(dot(q)_(1) , dot(q)_(2) ) \
+		&= m/2 (dot(r)^2 + r^2 dot(phi)^2 ).
+	$
+	Dann folgt fuer die Lagrangefunktion
+	$
+		L =  T - V, \
+		V =  -alpha/r.
+	$
+	Berechne die Partiellen Ableitungen
+	$
+		(partial L) / (partial dot(r) ) =  m dot(r) \
+		(partial L) / (partial r) =  m r dot(phi)^2 - V' (r) \
+		(partial L) / (partial dot(phi))  = m r^2 dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) =  0
+		=> m dot.double(r) -  m r dot(phi)^2 + V' (r) = 0 \
+		dif / (dif t) (m r^2 dot(phi)) =  0 \
+		=> m r^2 dot(phi) =  "const." =  L_(z) =  abs(arrow(L)) =  p_(phi).
+	$
+]
+
+#example[
+Das Mathematische Pendel.
+
+Hier gilt die Transformation
+$
+	vec(x,y)=  l vec(sin phi, - cos phi)
+$
+wobei $l$ die Laenge des Pendels ist.
+
+Hier gibt es zwei Zwangsbedingungen, denn es muss immer gelten
+$
+	g_(2) (x,y,z,t) = x^2 + y^2 - l^2 = 0 \
+	g_(1) (x,y,z,t) =  z =  0.
+$
+Die Zahl der unabhaengigen Koordinaten ist gegeben durch
+$
+	f =  N - R =  1.
+$
+
+Die Lagrange Funktion in kartesischen Koordinaten
+$
+	L =  T - V =  m/2 (dot(x)^2 +  dot(y)^2 ) - m g y \
+	L =  L (phi, dot(phi)) =  m/2 dot(l)^2  dot(phi)^2 + m g l cos phi \
+	(partial L) / (partial dot(phi))  =  l^2 m dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) =  - m g l sin phi \
+	=> l^2 m dot.double(phi) +  m g l sin phi =  0.
+$
+	Fuer die Zwangskraefte gilt dann
+	$
+		arrow(Z)_(1) prop	arrow(e)_(z)  \
+		arrow(Z)_(2) =  - arrow(f)_(perp).
+	$
+]
+
+Von den generalisierten Koordinaten wird erwartet, dass sie die Zwangsbedingungen immer erfuellen.
+
+Das Ziel ist nun die Forminvarianz der BWGL fuer N Massepunkte.
+
+#definition[
+	Zwangsbedingungen koennen holonom und skeleronom sein.
+	Dabei gilt dann fuer die skalare Funktion
+	$
+		g_(alpha) (arrow(x), t) =  0 , space alpha =  1, ..., R
+	$
+	wobei $R$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist.
+	Es gilt
+	$
+		arrow(x), arrow(F), m in RR^(3 N).
+	$
+]
+
+Im allgeinen ist die Anzahl der unabhaengigen Koordinaten gegeben durch
+$
+	f =  3 N - R.
+$
+
+#definition[
+	Fuer jede Zwangsbedingung $g_(alpha) $ gibt es eine Zwangskraft $arrow(Z)_(alpha) $, welche diese Zwangsbedingung physikalisch realisiert.
+	Diese sind im allgemeinen nicht zeitlich konstant.
+]
+
+Als Loesungsansatz gilt dann
+$
+	arrow(Z)_(alpha) = lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) => "skalare Groesse" lambda_(alpha). 
+$
+
+= Lagrangegleichung I fuer N MP
+
+Zunaechst sei angenommen $R <= 2$ und
+$
+	m dot.double(arrow(r)) =  arrow(f) +  sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) \
+	g_(alpha) (arrow(r), t) =  0.
+$
+
+Im Allgemeinen gilt dann
+$
+	m_(n) dot.double(x)_(n) =  F_(n) +  sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) )  , space n =  1, ..., 3 N \
+	g_(alpha)  (arrow(x), t) =  0 , space alpha 1, ..., R \
+	arrow(nabla) _(n) g_(alpha)  =  (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ).
+$
+
+=== Allgemeines Loesungsverfahren
+1. Zwangsbedingungen aufstellen
+2. Lagrangegleichung I
+3. Man muss die $lambda_(alpha) $ aus den BWGL eleminieren $==>$ $lambda_(alpha)  =  lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $: funktional
+4. Loese die 3N BWGL mit 6N Integrationskonstanten
+5. Die 2R Integrationskonstanten sind schon durch die Zwangsbedingungen fixiert
+6. Die konrete Loesung $==>$ $arrow(x), dot(arrow(x)) -> lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $ $==>$ $Z_(n) =  lambda_(alpha) partial_(x_(n) ) g_(alpha)  $
+
+#example[
+	Schiefe Ebene.
+
+	Skizze der Schiefen Ebene mit relevanten Groessen.
+
+	Zuerst die elementare Loesung
+	$
+		m dot.double(s) =  - m g sin alpha => s (t) =  - g/2 r^2 + v_0 t +  s_0 \
+		arrow(r) =  vec(s cos alpha, 0 , s sin alpha).
+	$
+	Lagrange I liefert
+	$
+		g_(2) (x,y,z,t) =  y =  0 \
+		g_(1) (x,y,z,t) =  x sin alpha -  z cos alpha =  0 \
+		m dot.double(arrow(r)) =  - m g arrow(e)_(z) +  lambda_(1) arrow(nabla) g_(1)   +  lambda_(2) arrow(nabla) g_(2).
+	$
+
+	Dann muessen wir die (zweimal) Zwangsbedingungen ableiten
+	$
+		dot.double(y) =  0 , space dot.double(x) sin alpha - dot.double(z) cos alpha =  0 \
+		m dot.double(x) =  lambda_1 sin alpha \
+		m dot.double(y) =  lambda_2 => lambda_2 = 0 => dot.double(z) =  arrow(0) \
+		m dot.double(z) =  - m g - lambda_1 cos alpha => lambda_1 =  - cos alpha m g
+	$
+]
+
+Technisch kompliziert kann die richtige Beruecksichtigung der Kettenregel sein.
+

S2/AnaMech/VL/AnMeVL9.typ

@@ -0,0 +1,169 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 9,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Exkurs in die Geometrie
+
+Zunaechst betrachten wir einen Massepunkt $m$  in $arrow(r) in RR^(3) $.
+
+Wir kennen die kartesischen Raumkoordinaten.
+Der Ursprung bleibt bei der Transformation gleich.
+
+Es gilt fuer die Basisvektoren 
+$
+	arrow(e)_(i) * arrow(e)_(j) = delta_(i j).
+$
+
+Die Koordinatentransformation muss umkehrbar sein in fast jedem Punkt
+$
+	x_(i)  =  x_(i) (q_1, q_2, ..., q_n ).
+$
+
+Theoretische Physik geht los wenn alle griechischen Buchstabe fuer Indizes verbraucht sind.
+
+$
+	arrow(r) = underbrace(x_(i)  arrow(e)_(i), forall P)  =  x_(i)  (q_1, q_2, q_3 ) arrow(e)_(i)  =^(!) q_j arrow(q)_(j)  <- "haengen von" P "ab".
+$
+
+Die $q_i $ Kurven koennen krummlinieg verlaufen. Die Basisvektoren im Punkt $P$ sind gegeben durch
+$
+	arrow(q)_(i)  =  (partial arrow(r) (p)) / (partial q_i) , arrow(r) =  x_(i) (q_1, q_2, q_3) arrow(e)_(i), \
+	arrow(q)_(i)  =  (partial x_(j) ) / (partial q_i ) arrow(e)_(arrow(j)) , arrow(e)_(i)  =  (partial q_j ) / (partial x_(i) ) arrow(q)_(j).
+$
+
+In fast jedem Punkt sind diese linear unabhaengig. Dreibein ${arrow(q)_(1) , arrow(q)_(2) , arrow(q)_(3) }$.
+
+#example[
+	Kugelkoordinaten.
+
+	$
+		x_1 = r cos phi sin theta \
+		x_2 =  r sin phi sin theta \
+		x_3 = r cos theta \
+		r >0 , space  theta in [0, pi] , space  phi in [0, 2 pi)
+	$
+
+	Durch Ableiten kann so das Dreibein gebildet werden. Dieses erfuellt die gefordeten Eigenschaften von linearer Unabhaengigkeit.
+]
+
+Es gilt
+$
+	d arrow(r) &=  (partial arrow(r)) / (partial r) d r +  (partial arrow(r)) / (partial theta) d theta + (partial arrow(r)) / (partial phi) d phi ==> d arrow(r) * d arrow(r) = d^2  r + r^2 d^2 theta +  r^2 sin^2 theta d^2 phi  \
+	&= d x_1 arrow(e)_(2)  + d x_2 arrow(e)_(2)  + d x_3 arrow(e)_(3).
+$
+
+= Metrischer Tensor
+
+Wird auch metrisches Dings genannt.
+
+Es gilt
+$
+	g_(i j)  &=  arrow(g)_(i)  * arrow(g)_(j),  \
+	g_(i j) &= mat(
+		1, 0, 0;
+		0, r^2 , 0;
+		0, 0, r^2 sin^2 theta;
+	), \
+	g_(i j) &= (partial x_m ) / (partial q_i ) arrow(e)_(m) * (partial x_k ) / (partial q_(j) ) arrow(e)_(k)  =  (partial x_(m) ) / (partial q_(i) ) (partial x_(k) ) / (partial q_(j) ) underbrace(arrow(e)_(m)  * arrow(e)_(k), =  delta_(m k) )  =  (partial x_k ) / (partial q_i ) (partial x_k ) / (partial q_j ).
+$
+
+= Bewegungsgleichung fuer $q_i $
+
+Hier sind $dot(q)_(j)$ die verallgemeinerten Geschwindigkeiten.
+
+Berechne
+$
+	dif / (dif t) T =  m dot(x)_(i)  dot.double(x)_(i)  \
+	T = m/2 dot(arrow(r)) * dot(arrow(r)) =  m/2 dot(x)_(i)  dot(x)_(i)  \
+	dot(arrow(r)) (t) =  (partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j)  =  dot(q)_(j)  arrow(g)_(j) , space dot(q)_(j) "verallgemeinerte Geschwindigkeiten" \
+	(partial dot(arrow(r))) / (partial dot(q)_(j) ) =  arrow(g)_(i); quad arrow(g)_(i)  =  (partial arrow(r)) / (partial q_(i) )  \
+	arrow(r) = x_(i)  arrow(e)_(i) \
+	(dif arrow(r)) / (dif t) = dot(x)_(i) arrow(e)_(i)  = (partial x_(i) ) / (partial q_j ) dot(q)_(j)  arrow(e)_(i)  = (partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j).
+$
+
+Wir starten von Newton II
+$
+	m dot.double(arrow(r)) =  arrow(f) \
+	<==> m arrow(e)_(i)  * dot.double(arrow(r)) =  arrow(e)_(i) * arrow(f) \
+	m dot.double(x)_(i)  =  f_(i) , i =  1,2.3.
+$
+
+Jetzt werden beliebige Koordinaten gewaehlt
+$
+	m arrow(g)_(i)  * dot.double(arrow(r)) =  arrow(g)_(i)  * arrow(f) \
+	<==> m (arrow(g)_(i)  * dot.double(arrow(r)) +  dot(arrow(g))_(i) * dot(arrow(r))) =  arrow(g)_(i)  * arrow(f) +  m dot(arrow(g))_(i)  * dot(arrow(r)) \
+	<==> m dif / (dif t)  (arrow(g)_(i)  * dot(arrow(r))_(i) ) = arrow(g)_(i) * arrow(f) + m dot(arrow(r)) * (partial dot(arrow(r))) / (partial q_(i) )   \
+	<==> m partial / (partial t) ((partial dot(arrow(r))_(i) ) / (partial q_(i) ) * dot(arrow(r))_(i)  ) =  arrow(g)_(i)  arrow(f) +  m dot(arrow(r))* (partial dot(arrow(r))) / (partial q_(i) ) 
+$
+
+Nebenrechung
+
+$
+	dot(arrow(g))_(i)  = dif / (dif t) (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) =  partial / (partial q_(j) ) ((partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) )dot(q)_(j)  \
+	=  (partial ^2 arrow(r)) / (partial q_(j) q_(i) ) dot(q)_(j) partial / (partial q_(i) ) ((partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j) ) = partial / (partial q_i ) dot(arrow(r)) "und" arrow(q)_(i) = (partial dot(arrow(r))) / (partial dot(q)_(i) )  = (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) 
+$
+
+Betrachtung der kinetischen Energie
+$
+	T =  T (dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) =  T (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) \
+	==> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) ) =  (partial T) / (partial q_(i)  )  + arrow(g)_(i)  * arrow(f).
+$
+
+
+Allgemein gilt fuer die Produktregel
+$
+	(partial T) / (partial dot(q)_(j) ) =  m/2 ((partial dot(x)_(i) ) / (partial dot(q)_(j) ) dot(x)_(i)  +  dot(x)_(i)  (partial dot(x)_(i) ) / (partial dot(q)_(j) ) ).
+$
+
+Skalarprodukt ist eine Projektion.
+
+Verallgemeinere die kinetische Energie
+
+$
+	T &=  m/2 dot(arrow(r))^2 = m/2 (dot(x)_(i) * dot(x)_(i) ) = m/2 (dot(q)_(i) arrow(g)_(i) ) * (dot(q)_(j) arrow(g)_(j)) =  m/2 dot(q)_(i) dot(q)_(j)  space   arrow(g)_(i) * arrow(g)_(j) \
+	&=  m/2 sum_(i,j) g_(i j) dot(q)_(i) dot(q)_(j), \
+	&g_(i j) =  g _(i j) (q_1, q_2, q_3 ).
+$
+
+= Konservative Kraftfelder
+
+Betrachte die Kraft mit $V =  V (x_1, x_2, x_3 ) =  V (x_1 (q_1, q_2, q_3), ...) = V (q_1, q_2, q_3 )$ und der Lagrangefunktion als $L (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) := T (q_(i) , dot(q)_(i) ) - V (q_(i) )$
+$
+	arrow(f) (arrow(r)) =  - arrow(nabla) V (arrow(r)) =  - (partial V) / (partial arrow(r))  \
+	arrow(f) * arrow(g)_(i)  =  - (partial V) / (partial arrow(r)) * (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) =  - (partial V) / (partial x_(j) )  (partial x_(j) ) / (partial q_(i) ) =  - (partial V) / (partial q_(i) ) \
+	==>  dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) ) - (partial T) / (partial q_(i) ) +  (partial V) / (partial dot(q)_(i) ) =^(!)   0 \
+	V =  V (q_1, q_2, q_3 ) ==>  (partial V) / (partial dot(q)_(i) )  =  0 \
+	==> dif / (dif t)  (partial L) / (partial dot(q)_(i) )  - (partial L) / (partial q_(i) )  =  0
+$
+
+Diese Lagrangegleichung der II Art ist
+- Forminvariant
+- Nicht messbar
+- Nicht eindeutig
+
+Das meschanische System ist so definiert durch $q_(i) "und" L$.
+Der *verallgemeinerte Impuls* ist gegeben durch
+$
+	p_(i)  := (partial L) / (partial dot(q)_(i) ).
+$
+Eine *zyklische verallgemeinerte Koordinate* $q_(i) $ erfuellt
+$
+	(partial L) / (partial q_(i) )  =  0 ==> dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) =  0 <==> (dif p_(i) ) / (dif t) = 0 <==> p_(i) "erhalten"
+$
+

S2/AnaMech/other/Hahn_Blatt5A5.py

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Hilfreiche Pakete
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+theta = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
+cs = 1 / np.sin(theta/2)**4
+
+plt.semilogy(theta*180/np.pi, cs)
+plt.xlabel(r"Streuwinkel $\theta$ [deg]")
+plt.ylabel(r"$\csc^4(\theta/2)$")
+plt.title("Differentieller Wirkungsquerschnitt für $U(r) = \\alpha/r^2$")
+plt.show()
+
+# Task
+# Calculate the differential Wirkungsquerschnitt ds/dOm fuer das repulsive
+# Potential V(r) = a/r^2, a > 0
+
+# Plotte den Wirkungsquerschnitt als funktion des Raumwinkels theta
+

S2/AnaMech/preamble.typ

@@ -4,7 +4,7 @@
 #let rot = math.op("rot")
 #let grad = math.op("grad")
 
-#let conf(num: none, date: "", type: none, body, ueb: false) = {
+#let conf(num: none, date: "", type: none, ueb: false, body) = {
 	// Global settings
 	show: default
 

S2/CWR/VL/CwrVL5.typ

@@ -0,0 +1,110 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Weiter in der Diskussion ueber den Fussball
+
+Velocity Verlet lautet im allgemeinen
+$
+	x (t + Delta t ) =  x (t) +  v (t) Delta t + 1/2 (F (x (t))) / (m) Delta t ^2 \
+	V (t +  Delta t ) =  V (t) +  (F (x (t +  Delta t )) + F (x (t))) / (2) Delta t.
+$
+Aus der letzten Stunde wissen wir, dass die Kraft, welche auf den Ball wirkt gegeben ist durch
+$
+	arrow(F) =  - m g hat(e)_(z) -  c_(W) 1/2 rho A abs(arrow(v))^2 hat(e )_(v) - c_(M) 1/2 rho A R arrow(omega)times arrow(v).
+$
+
+Wir wahlen die Zeit als $tau =  1"s"$ und die Laenge als $L =  1"m"$ in den skalierten Einheitgen folgt dann
+$
+	dot.double(x) =  - tilde(g) hat(e)_(z) - tilde(c)_(W) abs(dot(x))^2 hat(e)_(x)  + tilde(c)_(M)  arrow(omega)times dot(arrow(x)).
+$
+Q: Wie schiesst man en Ball in die linke obere Ecke des Tors?
+
+Wir betrachten die Situation als ein AWP mit
+$
+	arrow(x) (0) =  vec(x (0), y (0), z (0)), \
+	arrow(v) (0) =  vec(v_(x) (0), v_(y) (0), v_(z) (0)), \
+	arrow(omega) =  vec(omega_(x) , omega_(y) , omega_(z) ).
+$
+
+Nach einer Zeit $T$ soll unser System die Konfiguration
+$
+	x (T) = L, y (T) =  B/2, z (T) =  H
+$
+annehmen.
+
+Dabei gibt es 10 Pramenter, 3 Bedingungen fuer die Endposition und nochmal 3 fuer den Start $==>$ 4 dimensionale Loesung.
+
+Eine eindeutige Loesung $(v_(y) (0),v_(z) (0))$ soll aus gegebenem $arrow(omega)  and v_(x)  (0)$ bestimmt werden.
+T wird dabei aus $x (T) =  L$ (durch simulation) bestimmt.
+
+Methoden Nullstellen zu finden.
+
+Ein Problem fuer Newton in mehreren Dimensionen ist die Invertierung der Matrix der Ableitung.
+
+Q: Wie wird bei dem Torbeispiel die Ableitung gebildet?
+
+Muss bei dem gradientenfreien Newton-Verfahren nicht auch die Simulation mehrmals durchlaufen werden? Wie soll es sonst funktionieren?
+
+= Mehr Dimensionen
+
+Tricks fuer mehrere Dimensionen (Molekulare Dynamik und Vielteilchensimulationen)
++ Parallelisierung der Kraftberechnung
++ Symetrisierung von Rechnungen (symetrische Kraefte)
++ Wechselwirkungen in Simuationen haben nur endliche Reichweite
++ Bei kleinen Simulationsboxen sind die Randbedingungen wichtig (z.B. Wasser in einem Nanometer)
+	+ Besser sollten die Randbedingungen periodisch sein
+
+Idee der Paralleliseriung ist verschiedene Schleifenkoerper auf unterschiedliche Cores zu verteilen.
+Dies funktioniert ueber den shared memory (jeder Core kann auf den gesamten Speicher zugreifen) der CPU.
+
+#example[
+	Betrachte das Integral
+	$
+		I =  integral_(0)^(1) d x sin^2 (pi x) =  1/2 \
+		=  sum_(i = 1)^(N) 1/N sin^2  ( i/N).
+	$
+
+	Diese kann nun auf den verschiedenen
+
+	+ Sequential
+	+ Just distribute the loop with reduction
+	+ Distribute all without reduction
+	+ Distrubute just the partial sums over the cores
+
+	// Q: what does OMP stand for?
+	// Open MP
+	// link with -fopenmp
+	// C code to parralleize loops
+	// #pramga omp parallel for default(shared) reducion (+:sum)
+]
+
+#example[
+	Typische Wechselwirkungen zwischen Teilchen koennen durch ein Lennert-Jones Potential dargestellt werden
+	$
+		V (r) =  4 epsilon (1/r^(12) - 1/r^(6) )
+	$
+	wobei der erste Term der Volumenausschluss ist und der zweite Term van der Waals ist. 
+	Der Abstand kann mittels eines Trees oder eines spatial Hashes schneller berechnet werden.
+
+	Auch kann man den Raum im Gitterzellen aufteilen und dann nur noch den Abstand zu jeder Zelle berechnen.
+]
+
+Bei der Abstandsberechnung mit periodischen Randbedingungen muss die minimum image convention beachtet werden.
+

S2/CWR/VL/CwrVL6.typ

@@ -0,0 +1,57 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+= Partielle Differentialgleichungen
+
+ODE
+$
+	arrow(x) (t) => m (dif ^2 arrow(x)) / (dif t^2 )  =  F (arrow(x), dot(arrow(x))).
+$
+PDE
+$
+	(partial ^2 psi) / (partial t^2 ) =  u^2 (partial ^2 psi) / (partial x^2 ) , space psi (x,t) \
+	(partial T) / (partial t) =  D (partial ^2 T) / (partial x^2 ) , space "Fourier Gesetz" arrow(j) =  kappa arrow(nabla) T.
+$
+Poisson-Gleichung
+$
+	Delta phi =  - (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ).
+$
+Lineare partielle DGL
+$
+	L [phi (arrow(x))] =  rho (arrow(x)) \
+	phi (arrow(x)) =  phi_0 (arrow(x)) "auf Rand" partial Omega \
+	"gesucht ist die Loesung von Gebiet" Omega.
+$
+
+#example[
+	Poisson-Gleichung.
+
+	Fuehre eine Diffferenzdiskretisierung durch
+	$
+		phi (x,y) tilde.equiv phi (I_(x) , I_(y) ) \
+		Delta phi =  (partial ^2 phi) / (partial x^2 ) +  (partial ^2 phi) / (partial y^2 ) =  (phi (i_(x) + 1 , i_(y) ) - 2 phi (i_(x) , i_() )) / () 
+	$
+]
+
+Doolittle Verfahren
+Gauss-Elimination Verfahren
+

S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ

@@ -0,0 +1,196 @@
+// Main VL template
+
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 8,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Wiederholung
+
+Betrachte eine Funktion $f: U subset RR^n ->  RR$ und $a,b in U$.
+Angenommen ${a+t (b -a), 0 <= t <= 1} subset U$ und $g: [0, 1] ->  RR$ mit $g' (xi) =  arrow(nabla) f (gamma (xi)) dot(gamma) (xi)$.
+
+Betrachte 
+$
+	f (b) - f (a) =  d f (xi) (b - a).
+$
+
+Es ist bereits bekannt, dass wenn $n = 1 and f' (c) =  0 space forall c in I$ fuer eine Funktion $f: I -> RR$, dann ist $f$ konstant.
+
+Gilt dies auch fuer $RR^n $, also ist $f: U -> RR$ diffbar $and d f (xi) =  0 space forall xi in U ==> f "konstant"$?
+Ein Problem kann bei nicht zusammenhaengenden Mengen enstehen.
+
+= Zusammenhaengend
+
+#definition[
+	Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *zusammenhaengend* falls es nicht zwei offene Mengen gibt, welche eine Zerlegung von $X$ mit $U union V = X$ mit $U,V != emptyset $ offen und $U sect V = emptyset $ bilden.
+]
+
+#definition[
+	Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *wegzusammenhaengend* falls es fuer zwei Punkte $a,b in X$ eine stetige Abbildung $gamma: [0, 1] ->  X$ mit $gamma (0) = a$ und $gamma (1) =  b$ gibt.
+]
+
+Diese Begriffe sind im allgemeinen nicht aequivalent, wobei der Zusammenhang staerker ist.
+
+#theorem[
+	Sei $(X, n)$ ein normierter Raum und $U subset X$ offen. Dann ist $U$ genau dann zusammenhaengend wenn $U$ wegzusammenhaengend ist.
+] <s8>
+
+Fuer $a,b in X$ schreibe $[a,b] =  {a + t (b -a): 0 <= t <= 1} $ fuer das Stueck was $a$ und $b$ verbindet. Dies wird *Streckenzug* genannt.
+Im allgemeinen muss dies nicht ein gerader Streckenzug sein sondern kann beliebig gekruennt sein. Dieser ist eine Folge von Punkten mit $a_0 = a, a_n = b$, sodass $[a_j, a_(j +1) ] subset U$.
+
+#proof[
+	Wie zeigen, dass Zusammenhang auch Wegzusammenhang impliziert.
+
+	Sei $U subset X$ offen und zusammenhaengend. Ist $U != subset $, so waehle $a in U$ und $tilde(U) =  {x in U: "es gibt einen Streckenzug in" U "von" a "nach" x}$. Sei $y in tilde(U)$, dann existiert eine Kugel mit $epsilon>0$ um $y$ welche eine Teilmenge von $U$ ist durch deren Offenheit. Nun kann ein Streckenzug von allen Elementen in der Kugel zu $x$ gebildet werden und so gibt es einen Streckenzug von $a$ zu allen Elementen aus $B_(epsilon) (y)$.
+
+	Betrachte nun $y in U\\tilde(U)$ und $r>0$ mit $B_(r) (y) subset U$. Angenommen $B_(r) (y) sect tilde(U) !=  emptyset $, so folgt wie zuvor, dass $B_(r) (y) subset  tilde(U)$ $==>$ $y in.not tilde(U)$. Widerspruch.
+
+	Es gilt also $U =  tilde(U) union (U\\tilde(U))$ mit $tilde(U), U\\tilde(U)$ offen und $tilde(U) != subset $ d.h. $U\\tilde(U) = emptyset $ $==>$ $tilde(U) =  U$.
+]
+
+#remark[
+	Wir haben in @s8 gezeigt, dass zwei Punkte in einer offenen zusammenhaengenden Menge in einem normierten Raum mit einem Streckenzug
+	verbunden werden koennen.
+]
+
+Betrachte auf dem Uebungsblatt die oszilierende Funktion, welche immer schneller oszilliert $sin (1/x)$ um etwas zu zeigen mit zusammenhaengend.
+
+#theorem[
+	Sei $U subset RR^n $ zusammenhaengend $<==> $ wegzusammenhaengend und offen und $f: U ->  CC$ diffbar mit $arrow(nabla) f (a) =  0 space forall u in U$. Dann ist $f$ konstant.
+]
+
+#proof[
+	Betrachte $R (f)$ und $I (f)$ separat, d.h. wir koennen annehmen, dass $f: U ->  RR$ reell ist. Fuer $a,b in U$ waehle einen Streckenzug $[a, a_1 ]union ... union [a_n , b] subset U$. Nach Satz wahle $xi in [a_i,  a_(i+1) ], 0 <= i <= n$ mit
+	$
+		f (a_(i+1) ) -  f (a_(i) ) =  underbrace(d f (xi_(i) ), =0) (a_(i + 1) - a_(i) ) space forall 0 <= i <= n.
+	$
+	Es folgt, dass $f (a) =  f (a_(1) ) =  f (a_(2) ) =  ... =  f (a_n ) =  f (b)$.
+	Hier wurde ausgenutzt, dass sich die Funktionswerte auf dem Streckenzug nicht veraendern.
+]
+
+#definition[
+	Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ differenzierbar, so nennen wir $f$ *stetig differenzierbar* (auf $U$) falls  die Abbildung
+	$
+		f': U ->  CC^(n), x |-> (partial / (partial x_1 ) f (x), ..., partial / (partial x_(n) ) f (x) )
+	$
+	stetig ist.
+]
+
+Wir schreiben $C^(1) (U)$ fuer den $CC$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen $f: U ->  CC$.
+
+Differenzierbarkeit wird nur auf offenen Mengen diskutiert.
+
+#theorem[
+	Sei $U subset RR^n $ offen mit $f in C^(1) (U)$ und $K subset U$ eine kompakte und konvexe Teilmenge. Setze
+	$
+		norm(f')_(K) := max_(x in K) (abs(partial / (partial x_1 ) f (x)) + ... + abs(partial / (partial x_n) f (x))).
+	$
+	Fuer $x,y in K$ gilt dann
+	$
+		abs( f (y) -  f (x)) <=  norm(f')_(K) norm(y - x)_(oo).
+	$
+]
+#proof[
+	Da $K$ konvex ist, dgilt fuer $x, y in K$ auch $[a,b] subset K$. Wende den bekannten an Schrankensatz auf die Funktion
+	$
+		g: [0, 1] ->  CC, t |-> f(x + t (y -x)).
+	$
+	Es folgt
+	$
+		abs(f (y) - f (x)) =  abs( g (1) - g (0)) <= sup_(t in [0, 1]) abs(g' (t)).
+	$
+	Verwende fuer $0 <= t <= 1$ die Abschaetzung
+	$
+		abs(g' (t)) &=  abs(d f (x + t (y - x)) (y-x)) \
+		&= abs(sum_(k = 1)^(n) partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))(y_k - x_k )) \
+		&<= norm(y-x)_(oo) underbrace(sum_(k = 1)^(n)  abs(partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))), <= norm(f')_(K) ).
+	$
+]
+
+= Hoehere Ableitungen
+
+Sei $f: U ->  CC$ diffbar mit $U subset RR^n $ offen. Wie koennen wir den Begriff einer zweiten Ableitung definieren?
+
++ Betrachte $U -> L (RR^n, CC ), a |-> d f (a)$
++ Betrachte fuer $1 <=  k <=  n$ die partiellen Ableitungen $partial / (partial x_k )  f: U -> CC, a |-> partial / (partial x_k ) f (a)$
+
+#definition[
+	Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ sodass
+	$
+		partial / (partial x_(i)  ) f: U ->  CC
+	$
+	existiert fuer ein $1 <= i <= n$ und partiell in Richtung $x_j $ diffbar ist. Dann definieren wir
+	$
+		partial^2  / (partial x_j x_(i) ) f := partial / (partial x_j) (partial / (partial x_(i) ) f) 
+	$
+	und nennen dann $partial^2  / (partial x_(i) x_(j) ) $ eine partielle Ableitung zweiter Ordnung von $f$.
+
+	Ist $k in NN$, so definieren wir die
+	partielle Ableitung $k$-ter Ordnung als
+	$
+		partial / (partial x_(i_1) ) ... partial / (partial x_(i_k) ) f :=  "Hintereinanderausfuehrung der partiellen Ableitungen".
+	$
+]
+
+Jetzt koennen wir nach der Vertauschbarkeit fragen.
+
+#example[
+	Fuer die nichtvertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.
+	Betrachte 
+	$
+		f: RR^2 -> RR, (x,y) |-> cases(x y (x^2 - y^2 ) / (x^2 + y^2 ) \, (x, y) != (0,0), 0 \, (x,y) = (0,0)).
+	$
+	Diese Abbildung hat verschiedene Werte fuer die Ableitung zweiter Ordnung an der Stelle $(0, y) "bzw." (x, 0)$.
+
+	#highlight[TODO: calculate this]
+]
+#theorem[
+	Satz von Schwarz.
+
+	Sei $U subset RR^n $ und $a in U$ und $f: U ->  CC$ eine Funktion sodass die partiellen Ableitungen auf U existieren und
+	$partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f$ in $a$ stetig ist. Dann exisitiert $partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a)$ und es gilt
+	$
+		partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) )  f (a) =  partial / (partial x_(i) )  partial / (partial x_j ) f (a).
+	$
+]
+
+#proof[
+	Betrachten wir den Realteil und den Imaginaerteil von $f$ separat und die Abbildung
+	$
+		g: RR^2 ->  RR, V subset R^2, (x,y) |-> f (a + x e_i +  y e_j )  
+	$
+	fuer $(0, 0) in V$ offen und hinreichend klein, so genuegt es dem Satz fuer $n =  2, a =  (0, 0), g: V -> RR, (x.y)|-> g (x,y), i =  2, j = 1$ zu beweisen. Da $partial / (partial x_(1) x_2  )  g$ in 0 stetig ist, gibt es fuer jedes $epsilon > 0$ eine Umgebung $B_(delta) (0) subset V$ sodass 
+	$
+		abs(partial_(2 1) g (x,y) - partial_(2 1) g (0,0)) < epsilon space forall (x,y) in B_(delta) (0).
+	$
+	Seien $h, k != 0$ mit $Q_(h, k) := {(t h, s k), 0 <= t, s <= 1} <=  B_(delta)  (0)$.
+	Setze $phi (x) =  g (x,y) - g (x, 0)$. Dann ist
+	$
+		D_(Q h, k)  g := g (h, k) - g (h, 0) -  g (0, k) +  g (0, 0) \
+		= phi (h) - phi (0).
+	$
+	Nach dem Mittelwertsatz gibt es $xi in {t h: 0 <= t <= 1}$ auf $phi (h) - phi (0) =  h phi' (xi)$. 
+	Es folgt $D_(Q h, k) g =  h (partial_(1) g (xi,  k) -  partial_(1) g (xi,  0))$.
+	Genauso gibt es $nu in {s k: 0 <= s <= 1}$ mit
+	$
+		 D_(Q h k )  g =  h k (partial_(2) partial_(1) g (xi,  nu)).
+	$
+
+	#highlight[TODO: finish and understand this proof]
+]
+

S2/DiffII/VL/DiIIVL9.typ

@@ -0,0 +1,194 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 9,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Wiederholung Schwarz
+
+Wir betrachten eine Funtion $f: U subset RR^(n) ->  CC $ wobei die partiellen Ableitungen exisiieren und die
+zweiten partiellen Ableitungen in einem Punkt a stetig sind. Dann gilt auch
+$
+	partial_(j i) f (a) =  partial_(i j) f (a).
+$
+
+#definition[
+	Sei $k >= 1$. ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ eine Funtktion fuer welche alle partiellen Ableitungen
+	der Ordnung k auf der Menge U existieren uns stetig sind, so nennen wir f k-Mal stetig differenzierbar und setzen
+	$
+		C^(k)  (U) :=  {f: U ->  CC | f "k-Mal stetig differenzierbar"}
+	$
+	sowie
+	$
+		C^(oo) (U):= sect.big _(k = 1) ^(oo) C^(k)  (U).
+	$
+]
+
+Partielle Ableitungen sind unsere Definition der Richtungsableitung.
+
+= Differentiale hoeheren Ordnungen
+
+Ist eine Funktion $f: U subset RR^n  ->  CC$ stetig diffbar, so erhalten wir das Differential $d f (a)$ fuer $a in U$ aus den partiellen Ableitungen von f wie folgt
+$
+	d f (a) h =  sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (a) h_(i) =  partial_(h) f (a) , space h in RR^n 
+$
+das bedeutet das Differential beschreibt die lineare Abbildung $d f (a): RR^n ->  CC, h |-> partial_(h) f (a)$.
+
+Ist f zwei mal stetig differenzierbar und $h,k in RR^n $ so exisitert $partial_(h) (partial_(k ) f) (a)$ fuer ein $a in U$ und es gilt
+$
+	partial_(h)  (partial_(k) f) (a) &=  partial_(h) (sum_(i=1)^(n) k_i partial_(i) f)(a) =  sum_(i=1)^(n) k_i partial_(h) (partial_(i) f)(a) \
+	&=  sum_(i=1)^(n) k_i sum_(j = 1)^(n) h_(j) partial_(j i ) f (a) =  underbrace(sum_(i, j = 1)^(n) partial_(j) partial_(i) f (a) h_(j) k_(i), "Bilinearform in h,k").
+$
+
+Q: Koennen die Differentiale in Integralen und der Alternativen schreibweise auch als diese Differentiale aufgefasst werden und wenn ja
+wie genau funktioniert das, bzw. wie sehen diese aus?
+
+#definition[
+	Ist $U subset RR^n $ offen, $f in C^(2) (U)$ und $a in U$, so definieren wir das Differential zweiter Ordnung $d^((2)) f (a)$ als die symetrische bilieare Abbildung
+	$
+		d^((2)) f (a) : RR^n times RR^n -> CC, (h,k)|-> partial_(h) partial_(k) f (a)
+	$
+	und die Hesse-Matrix $H_(f) (a)$ von f in a durch
+	$
+		H_(f) (a) :=    mat(
+			partial_(1) partial_(1) f (a), partial_(1) partial_(2) f (a), ..., partial_(1) partial_(n) f (a);
+			partial_(2) partial_(1) f (a),   , ;
+			 ,  , ,  ;
+			 ,  ,  , partial_(n) partial_(n) f (a);
+		).
+	$
+]
+
+#remark[
+	Nach dem Satz von Schwarz gilt dann
+	$
+		H_(f)  (a)^(t) =  H_(f)  (a)
+	$
+	und fuer $h, k in RR^n $ ist
+	$
+		d ^((n))  f (h,k) =  h^(t) H_(f)  (a) k.
+	$
+]
+
+#example[
+	Betrachte die symetrische komplexe Matrix A und $f: RR^n ->  CC, x |-> x^(t) A x =  sum_(i, j = 1)^(n) a_(i j) x_(i) x_j $. \ Dann gilt $H_(f) (x_0 ) =  2 A$ fuer $x_0 in RR^n $.
+]
+#definition[
+	Sei $k >=  1$ und $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k) (U)$ und $a in U$. Wir definieren das Differential k-ter Ordnung $d ^((k)) f (a)$ von f in a durch die Abbildung
+	$
+		d^((k)) f (a): RR^n times ... times  RR^n, (h^((1)), ..., h^((k)) ) |-> partial_(h^((1)) ) ... partial_(h^((k)) ) f (a).
+	$
+]
+
+#remark[
+	Wie im Fall $n =  2$ gilt
+	$
+		d ^((k))  f (a) (h^((1)) , ..., h ^((k)) ) =  sum_(i_(1) \,  ...,  i_(k) =  1)^(n) h_(i_(1) ) ^((1))  ... h_(i_(k) ) ^((k))  partial_(i_1 ... i_k )  f (a).
+	$
+	Nach dem Satz von Schwarz ist dies eine symetrische Mutlilinearform.
+]
+
+= Satz von Taylor
+
+Das Ziel ist hier eine Verallgemeinerung der Taylor-Approximation aus der Diff I fuer Funktionen $f in C^(k) (U), U subset RR^n, k in NN$.
+
+Die Idee ist, dass im Fall von $n =  1$ f im Punkt $x_0 $ durch ein Polynom vom Grad $k$ approximiert werden kann. Diese Methode ist bereits bekannt.
+
+Nun kann die Funktion durch ein multidimensionales Polynom angenaehert werden. Dabei sind die ersten drei Terme zuerst der konstante Funktionswert, dann der Gradient und dann die Quadrik.
+
+=== Reduktion auf den eindimensionalen Fall
+
+Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U)$ fuer ein $k in NN, x_0 in U $ und $h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$.
+Betrachte fuer $t in [0, 1]$ die Funktion $g (t) := f (x_0 +  t h$.
+
+Da dieses Funktion g hinreichend oft diffbar ist kann dort der Satz von Taylor angwendet werden es existiert also $xi in [0, 1]$ sodass gilt
+$
+	g (1) =  sum_(j = 0)^(k) (1) / (j!)  g^((j))  (0) + underbrace((g^(k + 1) ) / ((k + 1)!), "Restterm").
+$
+
+Nach der Kettenregel aus Satz gilt dann noch
+$
+	g' (t) &=  arrow(nabla) f (x_0 +  t h) * h =  sum_(i=1)^(n) partial_(i ) f (x_0 +  t h) h_(i) \
+	g ^((2)) (t)  &=  sum_(i=1)^(n) (arrow(nabla) partial_(i) f (x_0 +  t h) h) h_i =  sum_(i=1)^(n) sum_(k = 1)^(n) partial_(k) partial_(i) f (x_0 +  t h) h_(i) h_(j)  \
+	g ^((j)) (t) &= sum_(i_(1) )^(n) ... sum_(i_(j) )^(n) partial_(i_1 ) ... partial_(i_j) f (x_0 +  t h) h_(i_(1) ) ... h_(i_(j) )   , space 1 <= j <= k \
+	&= d ^((j)) f (x_0 +  t h) (h, ..., h) :=   d ^((j)) f (a) h^(j) .
+$
+#theorem[
+	Verallgemeinerter Taylor.
+
+	Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U), k in NN, x_0 in U, h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$. Dann gilt es ein $xi in [x_0, x_0 + h]$ sodass gilt
+	$
+		f (x_0 + h) =  sum_(i=1)^(k) (1) / (i!) d ^((i)) f (x_0 )h^(i) +  (d ^(k + 1) f (xi) h ^(k + 1) ) / ((k + 1)!).
+	$
+	
+]
+
+#remark[
+	Wie nennen das Polynom
+	$
+		T_(k)  f (x_0 , h):= sum_(i=1)^(n) 1/i! d ^((i))  f (x_0 ) h^(i) 
+	$
+	das *Taylorpolynom* von f in $x_0 $ von Ordnung $k$.
+]
+
+#example[
+	Im Fall $k =  2$ erhalten wir
+	$
+		T_(2) f (x_0, h) =  f (x_0 ) +  underbrace(sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (x_0 ) h_(i), arrow(nabla) f (x_0 ) h)  + 1/2 underbrace(sum_(i,j=1)^(n)  partial_(j) partial_(i) f (x_0 )h_(i) h_(j), h^(t) H_(f) (x_0 ) h )
+	$
+]
+
+#corollary([ohne Beweis])[
+	Ist $U subset RR^n $ offen $f in C^(k) (U)$ fuer ein $k in NN$ und $x_0 in U$ so gilt fuer $h in RR^n, h -> 0 $, dass
+	$
+		f (x_0 + h) =  T_(k) f (x_0 , h) +  o (norm(h)^(k) ).
+	$
+	Wenn zwei Funktionen $f, g: U ->  RR$ auf einer offenen Umgebung von der Null und $g >= 0$, so schreiben wir, dass 
+	$
+		f (x) =  o ((g x)) "fuer" x -> 0
+	$
+	falls es fuer jedes $epsilon > 0: exists delta > 0: abs(f (x)) <  epsilon g (x) space forall x :  norm(x) < delta$.
+]
+
+== Anwendung fuer Maxima und Minima
+
+#definition[
+	Ist $X subset RR^n , f: X -> RR$ eine Funktion und $a in X$ so nennen wir $a$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum falls
+	$
+		exists U subset X: a in U: f (x) >=  f (a) space forall x in U "bzw." f (x) <=  f (a) space forall x in V.
+	$
+	Der Punkt $a$ wird dann auch als lokales Extremum bezeichnet.
+]
+
+Lemmas sind auch Beobachtungen.
+
+#lemma[
+	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  R$ in $a in U$ diffbar und $a$ ein lokales Extremum von f. Dann gilt
+	$
+		arrow(nabla) f (a) =  0.
+	$
+]
+
+#proof[
+	Fuer $h in RR^n $ betrachte die Funktion $g (t) =  f (a +  t h), t in RR$. Dann
+	ist $a$ lokales Extremum von $g$ und es ist bekannt, dass $g' (0) =  0$. Nach der Kettenregel
+	erhalten wir
+	$
+		arrow(nabla)  f (a) h =  0 space forall h in RR^n => arrow(nabla) f (a) =  arrow(0).
+	$
+]
+

S2/DiffII/preamble.typ

@@ -1,8 +1,6 @@
 #import "../../data/default.typ": *
 #import "../../data/theorems.typ": *
 
-#let rot = math.op("rot")
-#let grad = math.op("grad")
 
 #let conf(num: none, date: "", type: none, body) = {
 	// Global settings

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL6.typ

@@ -0,0 +1,101 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 6,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Es gilt
+$
+	integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A =  integral.cont arrow(E) d arrow(r), \
+	Phi (arrow(r)) =  integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(s)) d arrow(s).
+$
+
+== Exkurs Computer
+
+Die Beschleunigung von Elektronen im Vakuum ist von grosser Relevanz fuer die Entwicklung.
+
+Entweder werden Elektronen durch ein Streugitter durchgelassen, sodass die Elektronen bis zur Anode fliegen (1) oder die Elektronen werden abgelenkt,
+sodass kein Strom fliesst (0).
+
+== 1.5 Spezielle Ladungsverteilungen
+
+=== 1.5.1 Elektrisches Feld einer Punktladung
+
+Bekanntlicher Weise ist das elektrische Feld einer Punktladung gegeben durch:
+$
+	arrow(E) = (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^3 ).
+$
+
+Doch wie stellt man korrekt die Punktladung als Ladungsverteilung dar?
+Man verwendet 
+$
+	integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  (Q) / (epsilon_0 ) \
+	integral_(-oo)^(oo) delta (x) d x =  1 \
+	integral_(-oo)^(oo) f (x) delta (x) d x =  f (0)
+	
+$
+Die Punktladung hat die Ladungsdichte
+$
+	rho (arrow(r)) =  q delta (arrow(r)) =  q delta (x) delta (y) delta (z).
+$
+Verwende die Poissongleichung zur Berechnung von $Phi (arrow(r)) +  arrow(E) (arrow(r))$.
+
+=== 1.5.2 Das elektrische Feld einer Hohlkugel
+
+Es gilt, dass die Feldlinien immer Senkrecht auf der Oberflaeche stehen, da sonst die Ladungen so lange verschoben werden wuerden
+bis diese verschiebende Komponente verschwindet. Also gilt $arrow(E) || arrow(n)$, wobei $arrow(n)$ der Flaechennormalenvektor ist
+$
+	==> integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  (Q) / (epsilon_0 ).
+$
+Angenommen die Gesamtladung ist $Q$. Betrachte das Feld ausserhalb der Kugel $r>R_0 $.
+Hier werden Kugelkoordinaten verwendet mit einer kugelsymetrischen Ladungsverteilung $rho$. $arrow(E)$ weist in Richtung von $arrow(r)$ ($arrow(E) || arrow(n)$).
+Auch ist $r$ konstant, da wir eine Kugel betrachten.
+
+Berechne das Feld ausserhalb der Kugel
+$
+	integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  abs(arrow(E)) integral.cont _(A) d arrow(A), \
+	integral.cont _(A) d arrow(A) =  integral_(0 = phi)^(2 pi) integral_(0 = psi)^(pi) r^2 sin (psi) d psi d phi =  4 pi r^2,  \
+	==> E = 4 pi r^2 =  (Q) / (epsilon_0 ) ==> E = k (Q) / (r^2 ), space r > R_0.
+$
+
+Nun betrachten wir einen Punkt, welcher innerhalb der Kugel liegt.
+
+Q: Wie elektrisches Feld mit einem Oberflaechenintergral im Raum (e.g. Kugelobeflaeche) bestimmen?
+
+Die eingeschlossene Ladung einer Kugel mit dem selben Mittelpunkt als die Ladungskugel aber mit kleinerem Radius ist Null 
+$
+	==> ^(?) E = 0.
+$
+
+Ausserhalb der Kugel gilt
+$
+	Phi (r) =  integral_(r)^(oo) E (arrow(s))d arrow(s) =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral_(r)^(oo) (1) / (s^2 ) d s =  k (Q) / (r) =  Phi (r).
+$
+
+Innerhalb gilt
+$
+	Phi (r) =  integral_(r)^(R_0 ) 0 d s + integral_(R_(0) )^(oo) k (Q) / (s ^2 ) d s = 0 + k (Q) / (R_(0) ), \
+	==> "Potential innerhalb der Kugel ist" Phi =  k (Q) / (R_(0) ).
+$
+
+Allgemein gilt, dass in jeder komplett geschlossenen leitenden Huelle das elektrische Feld Null ist. Dies gilt auch fuer elektromagnetische Wellen. Dieser Zusammenhang kann mithilfe
+eines Faraday'schen-Kaefigs demonstriert werden.
+
+Auch ist es so, dass die Ladungen in einem Kaefig nur auf er Aussenseite sitzen und auf der Innenseite alles neutral ist.
+

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL7.typ

@@ -0,0 +1,98 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 7,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+Literatur: Feynman lectures on physics
+
+= Uebersicht
+
+Beantworten der Frage von letzter Stunde.
+
+Mit dem Gesetz von Gauss koennen wir innerhalb eines Kondensators keine Aussage uber das elektrische Feld machen.
+
+Q: Wie kann das elektrische Feld eines Faradaykaefigs mit bestimmter Lochgroesse 
+im Vergleich zum elektrischen Feld in einer voll geschlossenen Oberflaeche berechnet werden?
+
+$
+	abs(E) integral.cont d arrow(A) =  (Q_("ein") ) / (epsilon_0 )  =  0 \
+	==> arrow(E) =  0
+$
+
+Q: Wie kann ich mir vorstellen, dass $E =  0$ in geladener Kugel?
+
+Konstruiere den Schnitt von gegenueberligenden Kegeln mit der Kugeloberflaeche.
+
+Diese heben sich genau weg. Das geht nur wegen der $1/r^2 $ abhaengigkeit der staerke des elektrischen Feldes. 
+
+Bedeutung der *Abschirmlaenge* bei gladenen Oberflaechen.
+
+Was ist die maximale Aufladung eines metallischen Objekts (z.B. Becher)?
+
+Auf das Aeussere des Bechers koennen keine Ladungen aufgebracht
+werden falls das Potentials des Bechers gleich dem Potential der Stromquelle ist.
+
+Im Inneren verteilen sich die Ladungen immer nach Aussen, da das elektrische Feld im Innern immer Null sein muss.
+
+= Van de Graaf Generator
+
+Situation bei leitender Vollkugel.
+
+Ladungen bewegen sihch in leitern frei $==>$ Ladungen bewegen sich so lange bis keine 
+Kraft mehr auf sie wirkt d.h. kein Feld mehr vorhanden ist.
+
+Feld treibt Ladungen auf Oberflaeche $==>$ im Innern ist $E = 0 and Q =  0$, da in Leitern keine Potentialdifferenz $phi =  "const"$ sonst.
+
+Gesamte Ladung auf sammelt sich auf der aeusseren Oberflaeche.
+
+#remark[
+	Geladene nicht leitfaehige Vollkugel ist nicht feldfrei.
+]
+
+=== 1.5.3 Der elektrische Dipol
+
+Zwei entegegengesetzte Ladungen mit $Q_(1) =  - Q_(2)  $ sind gegeben.
+
+Das Dipolmoment ist gegeben durch
+$
+	arrow(p) =  Q * arrow(d) , space arrow(d) "zeigt von - nach plus".
+$
+
+Im $arrow(E)$-Feld wirkt auf Dipol ein Drehmoment
+$
+	arrow(D) =  arrow(p) times arrow(E).
+$
+
+Ein Dipol erfaehrt im homogenen Feld keine tranlatorische Aenderung. Die potentielle Energie $E_("pot") =  Q phi_1 - Q phi_2 $ kann mit $(phi_1 - phi_2)/(arrow(d)) = arrow(nabla) phi "und" arrow(E) = -arrow(nabla) phi$ umgeschrieben werden
+$
+	E_("pot") =  -  arrow(p) arrow(E).
+$
+
+=== 1.5.4 Feldstaerke von einer gladenen Spitze
+
+Im Modell sind zwei verbundene Kugeln geladen mit den Radien $R_(1) and R_(2) $ und den Ladungen $Q_(1) and Q_(2) $, mit Flaechenladungsdichten.
+
+Kugeln sind verbunden 
+$
+	==> phi_1 =  phi_2 ==> (Q_(1) ) / (4 pi epsilon_0 R_(1) ) =  (Q_(2) ) / (4 pi epsilon_0 R_(2) ) and E = sigma/epsilon_0  ==> sigma_1 R_(1) = sigma_2 R_(2) \
+	==> E_1 R_(1) =  phi =  E_(2) R_(2) ==> E_2 =  phi/R_(2). 
+$
+
+Der *elektrostatische Wind* treibt Flugrad. Dieser entsteht durch Entladung an einer scharfen Spitze.
+Dieser Wind kann mit einer Kerze sichtbar gemacht werden.
+

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL8.typ

@@ -0,0 +1,156 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 8,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+== Dipol im elektrischen Feld
+
+Das Dipolmoment ist gegeben durch
+$
+	arrow(p) =  d q.
+$
+Dieses haengt im allgemeinen vom Bezugssystem ab.
+Im homogenen Feld wird keine translatorische Kraft auf den Ladungsschwerpunkt.
+
+=== 1.5.5 Elektrisches Feld vor unendlich grosser geladener Platte
+
+Wir haben schon betrachtet, dass $E = (sigma) / (2 epsilon_0 ) $ vor einer unendlich ausgedehnten Platte.
+Diese Rechnung kann einfach mit Gauss ueberprueft werden
+
+$
+	Phi =  integral.cont arrow(E) d arrow(A) =  integral _(d A) (sigma) / (epsilon_0 ) d A =  integral_(0)^(R) r d r =  integral_(0)^(2 pi) d phi (sigma) / (epsilon_0 ) \
+	= 1/2 4 pi R^2 E =  1/2 (sigma) / (epsilon_0 ).
+$
+
+=== 1.5.6 Zwei parallelen Platten unendlich ausgedehnt
+
+Mit dem Superpositionsprinzip addieren sich die Felder der beiden Platten auf.
+Dadurch ist das Feld im 
+
+=== 1.6.1 Influenz
+
+Dies beschreibt den Einfluss eines E-Feldes auf Materie.
+Im Feld wirkt eine Kraft von
+$
+	arrow(F) =  q * arrow(E).
+$
+Diese Kraft wirkt so lange wie sich die Ladungen verschieben lassen und sich ein
+Gleichgewicht einstellt. Dies gilt nur bei Leitern.
+
+=== 1.6.2 Kondensator
+
+Zwei gegenuebliegende leitende Platten, welche durch eine isolierende Schicht getrennt sind bilden
+einen sogenannten *Kondensator*. Das isolierende Medium wird Dielektrikum genannt.
+
+Es ergibt sich dann (auch experimentell) der Zusammenhang
+$
+	C =  Q/U.
+$
+
+Ladungen zu speichern wird Kapazitaet genannt. Eine typische Kapazitaet ist
+$
+	"pF" =  10^(-12) F "und" "nF" =  10^(-9) F.
+$
+
+Ein typischer Kondensatortyp ist der Plattenkondensator.
+
+Hier gilt wie gezeigt (beide platten haben betragsmaessig die gleiche Flaechenladungsdichte)
+$
+	E = (sigma) / (epsilon_0 ). 
+$
+Der Spannungsabfall ueber dem Kondensator ist gegeben durch
+$
+	U =  integral_(0)^(d) E (x) d x = (sigma) / (epsilon_0 ) d.
+$
+Mit $sigma =  Q/A ==> U = (Q) / (epsilon_0 A) $ ergibt sich fuer die Kapazitaet des P-Kondensators
+$
+	C = Q/U =  (A) / (epsilon_0 d).
+$
+Diese Rechnung gilt nur fuer $A >> d$.
+
+Im elektrischen Feld ist Energie gespeichert (wie ist das zu verstehen)
+$
+	W =  U Q.
+$
+Bringe eine Ladung $d q$ auf eine Platte 
+$
+==> d W = U d q ==> W = integral_(0)^(Q) U d q =  integral_(0)^(Q) (q) / (C) d q =  1/2 Q^2 /C.
+$
+Im Plattenkondesator ist $C =  (epsilon_0 A) / (d) , U =  E d$ ferner ist
+$
+	W_("el")  =  1/2 epsilon_0 E^2 * V \
+	==> sigma_(K) =  W/V =  1/2 epsilon_0 E^2,
+$
+wobei $sigma_(K) $ die Energiedichte des Kondensators ist.
+
+Experimentell kann getestet werden wie sich ein Plattenkondensator bei Veraenderung des Plattenabstands verhaelt.
+
+Dabei nutzen wir
+$
+	W =  1/2 (Q^2 ) / (C) =  1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d , space C =  (epsilon_0 A) / (d) \
+	U =  Q/C.
+$
+
+Die Energie ist wirklich im elektrischen Feld gespeichert (Trennungsenergie). Fuer beliebige Geometrien gilt
+$
+	w_("el") =  1/2 epsilon_0 E^2.
+$
+
+== Anwendung Kondensator
+
+Ein Smartphone hat rund $10^(9) $ Kondensatoren (diese sind im DRAM verbaut).
+
+Q: Wie viele Elektronen sind in all diesen Kondensatoren gespeichert?
+
+Berechne
+$
+	Q =  n * e =  C * U ==> n =  (C U) / (e).
+$
+
+Q: Wie lange wuerde eine Fahrradlampe mit $I = 0.2 A$ leuchten (wenige Pikosekunden)?
+
+Berechne
+$
+	t =  Q/I =  (n * e) / (I).
+$
+
+Es gibt Messgeraete mit welchen einzelene Photonen gemessen werden koennen.
+
+Nur wenn man einen Kondensator kurzschliesst, dann gibt es eine schnelle Entladung.
+
+= Schaltungen
+
+Parallelschaltung
+
+$
+	Q = Q_(1)  + Q_(2)  =  C_(1) U + C_(2) U = (C_(1) + C_(2) ) U
+$
+
+Reiehnschaltung
+
+$
+	U =  U_1 + U_2 =  
+$
+
+=== 1.6.3 nichtleitende Stoffe (Dielektrika)
+
+$
+	C =  epsilon _(r)  C_0 
+$

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ

@@ -0,0 +1,183 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 9,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wiederholung zum Kondensator
+
+$
+	W = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d \
+	d W =  U d q.
+$
+
+=== 1.6.3 nichtleitende Stoffe Dilektrika im E-Feld
+
+Beim Versuch wurde ein Dielektrikum zwischen einen Plattenkondensator gebracht.
+- Lade den Kondensator auf $U_0 $ auf, dann nehme den Kondensator vom Netz
+- $U_0 = (Q) / (C) $
+- Bringe das Dielektrikum in den Kondensator
+- $U > U^("Diel") -> "Da" Q "gleich" -> C "muss mit Dielektrikum groesser als ohne werden"$
+
+Dabei laesst sich feststellen, dass
+$
+	E_("Diel")  =  (E) / (epsilon_(r) ) \
+	C =  epsilon_(r) C_0.
+$
+
+Verschiedene Materialien haben verschiedene relative Dielektrizitaetskonstanten.
+Ein Metall ist der Extremfall eines Isolators.
+
+==== 1.6.3.1 Dielektrische Polarisation
+
+Wie bei der Influenz im aeusseren E-Feld werden Ladungen im Dielektrikum verschoben. Da Dielektrikum ein Nichtleiter ist erfolgt nur eine Verschiebung der Ladung
+auf mikroskopischer Ebene. Dies wird induzierte Polarisation genannt.
+
+Die *atomare Polarisierarbeit* verschiebt die Elektronenwolke um ein Atom.
+Fuer das Dipolmoment gilt bekanntlicherweise
+$
+	arrow(p) =  d arrow(d) \
+	arrow(p) =  alpha arrow(E),
+$
+wobei $alpha$ die Polarisierbarkeit (ein Mass fuer die Rueckstellkraefte im Atom, welche der Verschiebung entgegenwirken) ist.
+
+Die Verschiebung geht so weit bis die Rueckstellkraefte die verschobene Ladung kompensieren
+$
+	arrow(F) =  q arrow(E).
+$
+
+Auch gibt es die *Orientierungspolarisation*, welches die Ausrichtung vorhandener Dipole beschreibt.
+
+Als Beispiel wird hier Wasser angefuehrt mit einem Dipolmoment $arrow(p)$. Durch ein elektrisches Feld erfahren die Molekuele keine Translation
+wohl aber richten sie sich aus.
+
+#definition[
+	Die Polarisation ist gegeben durch
+	$
+		arrow(P) =  1/V sum_(i=1)^(n) arrow(p) , space  arrow(p): "Dipol im Molekuel".
+	$
+]
+Falls alle Dipole parallel zum E-Feld sind
+$
+	arrow(p) =  N arrow(p) =  N q arrow(d), N = "Anzahl der Dipole pro Volumen".
+$
+
+==== 1.6.3.2 Polarisationsladungen
+
+Dies Orientiert sich am Giffiths.
+
+Durch die Ausrichtung von Dipolen oder induzierten Dipolen enstehen sogenannte Polarisationsladungen z.B. an den Stirnflaechen eines
+Dielektrikums.
+
+Der spezialfall vom homogenen elektrischen Feld und einem homogenen Dielektrikum.
+
+Welches zusatzliche E-Feld wird von der polarisierten Materie erzeugt? Hier befindet sich die Materie im externen E-Feld.
+
+Berechne zunaechst Potential $Phi_(d) $ an Stelle $arrow(r)$ fuer den allgemeinen Fall eines inhomogenen E-Feldes
+$
+	Phi_(d) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(p) (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ).
+$
+Hier ist $arrow(r)$ irgendein Punkt im Raum und $arrow(r)'$ die Position der einzelenen Dipole $arrow(p)$.
+
+Das Potential fuer alle Dipole ist gegeben durch
+$
+	Phi_(D) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol  d arrow(r)' (arrow(P) (arrow(r)') (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ),
+$
+mit
+$
+	arrow(p) =  arrow(P) d arrow(r)' =^(?)  arrow(P) (arrow(r)').
+$
+
+Mit
+$
+	arrow(nabla)' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ) =  (abs(arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ) 
+$
+folgt
+$
+	Phi_(D) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol  d arrow(r)' arrow(P) (arrow(r)') * arrow(nabla) ' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ).
+$
+Verwende nun die Produktregel $(f g)' =  f' g + f g'$
+$
+	Phi_(D)  (arrow(r)) &=  (1) / (4 pi epsilon_0  ) integral.vol d arrow(r)'  [arrow(nabla) ' ((arrow(P) (arrow(r)'))/(abs(arrow(r)- arrow(r)'))) - (1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) (arrow(nabla) ' * P (arrow(r)'))] \
+	&= (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.cont _(A) d arrow(A)' (arrow(P) (arrow(A)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')), "I") - (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.vol d arrow(r)' (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) (arrow(nabla) ' arrow(P) (arrow(r)')), "II").
+$
+
+Dabei sieht I aus wie das Potentaial einer Oberflaechenladung
+$
+	d arrow(A) =  d a * hat(n).
+$
+#definition[
+	Gebundene Oberflaechenpolarisation
+	$
+		sigma_(g)  =  arrow(P) * hat(n).
+	$
+	Gebundene Volumenpolarisation
+	$
+		rho_(g)  =  - arrow(nabla) * arrow(P).
+	$
+	
+]
+
+Und II sieht aus wie das Potential eines Volumenladung
+$
+	==> Phi_(D) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.surf   (sigma_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)'))  d arrow(r)' + (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol (rho_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)'
+$
+
+== 1.7 Die dielektrische Verschiebung und Suszeptibilitaet
+
+Q: Wie gross ist das E-Feld im Dielektrikum?
+
+Die gesamte Ladungsdichte im Dielektrikum ist gegeben durch
+$
+	rho = rho_(g) +  rho_(f) , space rho_(f): "freie Ladungen keine Folge der Polarisation".
+$
+
+Mit dem Gausschen Gesetz folgt
+$
+	epsilon_0 arrow(nabla) arrow(E) =  rho =  rho_(g)  + rho_(f) =  - arrow(nabla)  * arrow(P) + rho_(f) \
+	==> arrow(nabla) (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) =  rho_(f).
+$
+
+#definition[
+	Dielektrische Verschiebung
+	$
+		arrow(D) =  epsilon_0 arrow(E) + arrow(P).
+	$
+]
+
+Dann folgt das Gaussche Gesetz fuer diese dielektrische Verschiebung
+$
+	arrow(nabla) arrow(D) = phi_(f) ==>  integral.cont arrow(D) d arrow(A) =  Q_("feing").
+$
+
+Die dielektrische Verschiebung $arrow(D)$ haengt nur von den freien Ladungstraegern ab, welche oft bekannt sind.
+
+Verbindung zur mikroskopischen Groessen
+$
+	arrow(P) =  epsilon_0 chi_(e)  arrow(E) , space chi_(e)  = (N alpha) / (epsilon_0 ) : "elektrische Suszeptibilitaet".
+$
+
+Wir koennen auch umschreiben
+$
+	arrow(D) &=  epsilon_0 arrow(E) +  arrow(P) =  epsilon_0 arrow(E) +  epsilon_0 chi_(e) arrow(E) =  epsilon_0 underbrace((1 + chi_(e) ), epsilon_(r) )arrow(E)\
+	&= epsilon_0 epsilon_(r) arrow(E) =  epsilon arrow(E).
+$
+
+Im allgemeinen gilt nicht, dass $arrow(D) = arrow(E) $, da nicht $rot(arrow(P)) = 0$ gelten muss. 
+

S2/Neuro/VL/NeuroVL4.typ

@@ -0,0 +1,40 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+- Convolution
+- Correlation
+- Linearity and its problems
+
+Linearization of problems is used for saving energy also by the brain.
+
+Gabor functions look like
+$
+	g (x) =  (1) / (sqrt(2 pi sigma)) exp((- (x - x_0 )^2 ) / (2 pi sigma)) "trig"(k x).
+$
+Those can be used to model response patterns of some tissues.
+
+Filter operation is always a convulution.
+
+In the brain every cell is oriented to a specific point in space.
+
+Next time we will make applications of convolutions and correlations.
+

S2/PyCourse/input.txt

@@ -1 +0,0 @@
-Have to find out when and what will be done in the Uebung.

book.typ

@@ -25,6 +25,13 @@
 	- #chapter("S2/ExPhyII/index.typ")[ExPhy II]
 		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL1.typ")[Einleitung und Historisches]
 		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL2.typ")[Elektrostatik]
+		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL3.typ")[Elektrostatik]
+		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL4.typ")[Elektrostatik]
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+		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL6.typ")[Elektrostatik]
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+		- #chapter("S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ")[Elektrostatik]
 
 	- #chapter("S2/CWR/index.typ")[CWR]
 		- #chapter("S2/CWR/VL/CwrVL1.typ")[Nullstellen und Integration]
@@ -43,6 +50,9 @@
 	- #chapter("S2/Neuro/index.typ")[Computational Neuroscience]
 		- #chapter("S2/Neuro/VL/NeuroVL1.typ")[Verschiedene Ebenen]
 
+	- #chapter("S2/AGLA/index.typ")[AGLA II]
+		- #chapter("S2/AGLA/VL/AgIIVL7.typ")[Moduln]
+
 	= Semester III
 		
 ]

data/default.typ

@@ -15,8 +15,6 @@
 	// set heading(numbering: "1.1")
 	set par(justify: true)
 
-	// set par(justify: true)
-
 	// equation setup
 	show ref: equate
 	show: equate.with(number-mode: "label", breakable: false)
@@ -34,7 +32,6 @@
 		($..$, $quad$),
 	)
 
-	// shiroa/zeta setup
 	body
 }
 
@@ -45,7 +42,14 @@
 #let lin = math.op("lin")
 #let arccot = math.op("arccot")
 
+// custom operators
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+
 // flashcards
 #let flashcard(id, front, back) = {
 	back
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data/theorems.typ

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 // Other boxes and fields
 
-#let note = thmbox( //nte
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 	"note",
-	"Note",
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-	// Just make the text normally formatted
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+	none,
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