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183
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ
Normal file
183
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,183 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 9,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Wiederholung zum Kondensator
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W = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d \
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d W = U d q.
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$
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=== 1.6.3 nichtleitende Stoffe Dilektrika im E-Feld
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Beim Versuch wurde ein Dielektrikum zwischen einen Plattenkondensator gebracht.
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- Lade den Kondensator auf $U_0 $ auf, dann nehme den Kondensator vom Netz
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- $U_0 = (Q) / (C) $
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- Bringe das Dielektrikum in den Kondensator
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- $U > U^("Diel") -> "Da" Q "gleich" -> C "muss mit Dielektrikum groesser als ohne werden"$
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Dabei laesst sich feststellen, dass
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E_("Diel") = (E) / (epsilon_(r) ) \
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C = epsilon_(r) C_0.
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Verschiedene Materialien haben verschiedene relative Dielektrizitaetskonstanten.
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Ein Metall ist der Extremfall eines Isolators.
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==== 1.6.3.1 Dielektrische Polarisation
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Wie bei der Influenz im aeusseren E-Feld werden Ladungen im Dielektrikum verschoben. Da Dielektrikum ein Nichtleiter ist erfolgt nur eine Verschiebung der Ladung
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auf mikroskopischer Ebene. Dies wird induzierte Polarisation genannt.
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Die *atomare Polarisierarbeit* verschiebt die Elektronenwolke um ein Atom.
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Fuer das Dipolmoment gilt bekanntlicherweise
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arrow(p) = d arrow(d) \
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arrow(p) = alpha arrow(E),
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wobei $alpha$ die Polarisierbarkeit (ein Mass fuer die Rueckstellkraefte im Atom, welche der Verschiebung entgegenwirken) ist.
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Die Verschiebung geht so weit bis die Rueckstellkraefte die verschobene Ladung kompensieren
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arrow(F) = q arrow(E).
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Auch gibt es die *Orientierungspolarisation*, welches die Ausrichtung vorhandener Dipole beschreibt.
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Als Beispiel wird hier Wasser angefuehrt mit einem Dipolmoment $arrow(p)$. Durch ein elektrisches Feld erfahren die Molekuele keine Translation
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wohl aber richten sie sich aus.
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#definition[
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Die Polarisation ist gegeben durch
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arrow(P) = 1/V sum_(i=1)^(n) arrow(p) , space arrow(p): "Dipol im Molekuel".
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]
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Falls alle Dipole parallel zum E-Feld sind
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arrow(p) = N arrow(p) = N q arrow(d), N = "Anzahl der Dipole pro Volumen".
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==== 1.6.3.2 Polarisationsladungen
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Dies Orientiert sich am Giffiths.
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Durch die Ausrichtung von Dipolen oder induzierten Dipolen enstehen sogenannte Polarisationsladungen z.B. an den Stirnflaechen eines
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Dielektrikums.
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Der spezialfall vom homogenen elektrischen Feld und einem homogenen Dielektrikum.
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Welches zusatzliche E-Feld wird von der polarisierten Materie erzeugt? Hier befindet sich die Materie im externen E-Feld.
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Berechne zunaechst Potential $Phi_(d) $ an Stelle $arrow(r)$ fuer den allgemeinen Fall eines inhomogenen E-Feldes
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Phi_(d) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(p) (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ).
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$
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Hier ist $arrow(r)$ irgendein Punkt im Raum und $arrow(r)'$ die Position der einzelenen Dipole $arrow(p)$.
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Das Potential fuer alle Dipole ist gegeben durch
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Phi_(D) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' (arrow(P) (arrow(r)') (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ),
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mit
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arrow(p) = arrow(P) d arrow(r)' =^(?) arrow(P) (arrow(r)').
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Mit
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arrow(nabla)' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ) = (abs(arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 )
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folgt
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$
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Phi_(D) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' arrow(P) (arrow(r)') * arrow(nabla) ' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ).
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Verwende nun die Produktregel $(f g)' = f' g + f g'$
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Phi_(D) (arrow(r)) &= (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' [arrow(nabla) ' ((arrow(P) (arrow(r)'))/(abs(arrow(r)- arrow(r)'))) - (1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) (arrow(nabla) ' * P (arrow(r)'))] \
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&= (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.cont _(A) d arrow(A)' (arrow(P) (arrow(A)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')), "I") - (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.vol d arrow(r)' (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) (arrow(nabla) ' arrow(P) (arrow(r)')), "II").
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Dabei sieht I aus wie das Potentaial einer Oberflaechenladung
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d arrow(A) = d a * hat(n).
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#definition[
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Gebundene Oberflaechenpolarisation
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sigma_(g) = arrow(P) * hat(n).
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Gebundene Volumenpolarisation
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rho_(g) = - arrow(nabla) * arrow(P).
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]
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Und II sieht aus wie das Potential eines Volumenladung
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==> Phi_(D) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.surf (sigma_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)' + (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol (rho_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)'
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== 1.7 Die dielektrische Verschiebung und Suszeptibilitaet
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Q: Wie gross ist das E-Feld im Dielektrikum?
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Die gesamte Ladungsdichte im Dielektrikum ist gegeben durch
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rho = rho_(g) + rho_(f) , space rho_(f): "freie Ladungen keine Folge der Polarisation".
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Mit dem Gausschen Gesetz folgt
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epsilon_0 arrow(nabla) arrow(E) = rho = rho_(g) + rho_(f) = - arrow(nabla) * arrow(P) + rho_(f) \
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==> arrow(nabla) (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) = rho_(f).
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#definition[
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Dielektrische Verschiebung
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arrow(D) = epsilon_0 arrow(E) + arrow(P).
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]
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Dann folgt das Gaussche Gesetz fuer diese dielektrische Verschiebung
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arrow(nabla) arrow(D) = phi_(f) ==> integral.cont arrow(D) d arrow(A) = Q_("feing").
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Die dielektrische Verschiebung $arrow(D)$ haengt nur von den freien Ladungstraegern ab, welche oft bekannt sind.
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Verbindung zur mikroskopischen Groessen
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arrow(P) = epsilon_0 chi_(e) arrow(E) , space chi_(e) = (N alpha) / (epsilon_0 ) : "elektrische Suszeptibilitaet".
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Wir koennen auch umschreiben
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arrow(D) &= epsilon_0 arrow(E) + arrow(P) = epsilon_0 arrow(E) + epsilon_0 chi_(e) arrow(E) = epsilon_0 underbrace((1 + chi_(e) ), epsilon_(r) )arrow(E)\
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&= epsilon_0 epsilon_(r) arrow(E) = epsilon arrow(E).
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Im allgemeinen gilt nicht, dass $arrow(D) = arrow(E) $, da nicht $rot(arrow(P)) = 0$ gelten muss.
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Reference in New Issue
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