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S2/ExPhyII/VL/ExIIVL6.typ

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+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 6,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Es gilt
+$
+	integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A =  integral.cont arrow(E) d arrow(r), \
+	Phi (arrow(r)) =  integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(s)) d arrow(s).
+$
+
+== Exkurs Computer
+
+Die Beschleunigung von Elektronen im Vakuum ist von grosser Relevanz fuer die Entwicklung.
+
+Entweder werden Elektronen durch ein Streugitter durchgelassen, sodass die Elektronen bis zur Anode fliegen (1) oder die Elektronen werden abgelenkt,
+sodass kein Strom fliesst (0).
+
+== 1.5 Spezielle Ladungsverteilungen
+
+=== 1.5.1 Elektrisches Feld einer Punktladung
+
+Bekanntlicher Weise ist das elektrische Feld einer Punktladung gegeben durch:
+$
+	arrow(E) = (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^3 ).
+$
+
+Doch wie stellt man korrekt die Punktladung als Ladungsverteilung dar?
+Man verwendet 
+$
+	integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  (Q) / (epsilon_0 ) \
+	integral_(-oo)^(oo) delta (x) d x =  1 \
+	integral_(-oo)^(oo) f (x) delta (x) d x =  f (0)
+	
+$
+Die Punktladung hat die Ladungsdichte
+$
+	rho (arrow(r)) =  q delta (arrow(r)) =  q delta (x) delta (y) delta (z).
+$
+Verwende die Poissongleichung zur Berechnung von $Phi (arrow(r)) +  arrow(E) (arrow(r))$.
+
+=== 1.5.2 Das elektrische Feld einer Hohlkugel
+
+Es gilt, dass die Feldlinien immer Senkrecht auf der Oberflaeche stehen, da sonst die Ladungen so lange verschoben werden wuerden
+bis diese verschiebende Komponente verschwindet. Also gilt $arrow(E) || arrow(n)$, wobei $arrow(n)$ der Flaechennormalenvektor ist
+$
+	==> integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  (Q) / (epsilon_0 ).
+$
+Angenommen die Gesamtladung ist $Q$. Betrachte das Feld ausserhalb der Kugel $r>R_0 $.
+Hier werden Kugelkoordinaten verwendet mit einer kugelsymetrischen Ladungsverteilung $rho$. $arrow(E)$ weist in Richtung von $arrow(r)$ ($arrow(E) || arrow(n)$).
+Auch ist $r$ konstant, da wir eine Kugel betrachten.
+
+Berechne das Feld ausserhalb der Kugel
+$
+	integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) =  abs(arrow(E)) integral.cont _(A) d arrow(A), \
+	integral.cont _(A) d arrow(A) =  integral_(0 = phi)^(2 pi) integral_(0 = psi)^(pi) r^2 sin (psi) d psi d phi =  4 pi r^2,  \
+	==> E = 4 pi r^2 =  (Q) / (epsilon_0 ) ==> E = k (Q) / (r^2 ), space r > R_0.
+$
+
+Nun betrachten wir einen Punkt, welcher innerhalb der Kugel liegt.
+
+Q: Wie elektrisches Feld mit einem Oberflaechenintergral im Raum (e.g. Kugelobeflaeche) bestimmen?
+
+Die eingeschlossene Ladung einer Kugel mit dem selben Mittelpunkt als die Ladungskugel aber mit kleinerem Radius ist Null 
+$
+	==> ^(?) E = 0.
+$
+
+Ausserhalb der Kugel gilt
+$
+	Phi (r) =  integral_(r)^(oo) E (arrow(s))d arrow(s) =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral_(r)^(oo) (1) / (s^2 ) d s =  k (Q) / (r) =  Phi (r).
+$
+
+Innerhalb gilt
+$
+	Phi (r) =  integral_(r)^(R_0 ) 0 d s + integral_(R_(0) )^(oo) k (Q) / (s ^2 ) d s = 0 + k (Q) / (R_(0) ), \
+	==> "Potential innerhalb der Kugel ist" Phi =  k (Q) / (R_(0) ).
+$
+
+Allgemein gilt, dass in jeder komplett geschlossenen leitenden Huelle das elektrische Feld Null ist. Dies gilt auch fuer elektromagnetische Wellen. Dieser Zusammenhang kann mithilfe
+eines Faraday'schen-Kaefigs demonstriert werden.
+
+Auch ist es so, dass die Ladungen in einem Kaefig nur auf er Aussenseite sitzen und auf der Innenseite alles neutral ist.
+