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synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
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101
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL6.typ
Normal file
101
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,101 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 6,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Es gilt
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$
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integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A = integral.cont arrow(E) d arrow(r), \
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Phi (arrow(r)) = integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(s)) d arrow(s).
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$
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== Exkurs Computer
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Die Beschleunigung von Elektronen im Vakuum ist von grosser Relevanz fuer die Entwicklung.
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Entweder werden Elektronen durch ein Streugitter durchgelassen, sodass die Elektronen bis zur Anode fliegen (1) oder die Elektronen werden abgelenkt,
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sodass kein Strom fliesst (0).
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== 1.5 Spezielle Ladungsverteilungen
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=== 1.5.1 Elektrisches Feld einer Punktladung
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Bekanntlicher Weise ist das elektrische Feld einer Punktladung gegeben durch:
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$
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arrow(E) = (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^3 ).
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$
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Doch wie stellt man korrekt die Punktladung als Ladungsverteilung dar?
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Man verwendet
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$
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integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = (Q) / (epsilon_0 ) \
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integral_(-oo)^(oo) delta (x) d x = 1 \
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integral_(-oo)^(oo) f (x) delta (x) d x = f (0)
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$
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Die Punktladung hat die Ladungsdichte
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$
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rho (arrow(r)) = q delta (arrow(r)) = q delta (x) delta (y) delta (z).
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$
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Verwende die Poissongleichung zur Berechnung von $Phi (arrow(r)) + arrow(E) (arrow(r))$.
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=== 1.5.2 Das elektrische Feld einer Hohlkugel
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Es gilt, dass die Feldlinien immer Senkrecht auf der Oberflaeche stehen, da sonst die Ladungen so lange verschoben werden wuerden
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bis diese verschiebende Komponente verschwindet. Also gilt $arrow(E) || arrow(n)$, wobei $arrow(n)$ der Flaechennormalenvektor ist
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$
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==> integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = (Q) / (epsilon_0 ).
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$
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Angenommen die Gesamtladung ist $Q$. Betrachte das Feld ausserhalb der Kugel $r>R_0 $.
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Hier werden Kugelkoordinaten verwendet mit einer kugelsymetrischen Ladungsverteilung $rho$. $arrow(E)$ weist in Richtung von $arrow(r)$ ($arrow(E) || arrow(n)$).
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Auch ist $r$ konstant, da wir eine Kugel betrachten.
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Berechne das Feld ausserhalb der Kugel
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$
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integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = abs(arrow(E)) integral.cont _(A) d arrow(A), \
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integral.cont _(A) d arrow(A) = integral_(0 = phi)^(2 pi) integral_(0 = psi)^(pi) r^2 sin (psi) d psi d phi = 4 pi r^2, \
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==> E = 4 pi r^2 = (Q) / (epsilon_0 ) ==> E = k (Q) / (r^2 ), space r > R_0.
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$
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Nun betrachten wir einen Punkt, welcher innerhalb der Kugel liegt.
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Q: Wie elektrisches Feld mit einem Oberflaechenintergral im Raum (e.g. Kugelobeflaeche) bestimmen?
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Die eingeschlossene Ladung einer Kugel mit dem selben Mittelpunkt als die Ladungskugel aber mit kleinerem Radius ist Null
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$
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==> ^(?) E = 0.
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$
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Ausserhalb der Kugel gilt
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$
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Phi (r) = integral_(r)^(oo) E (arrow(s))d arrow(s) = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral_(r)^(oo) (1) / (s^2 ) d s = k (Q) / (r) = Phi (r).
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$
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Innerhalb gilt
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$
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Phi (r) = integral_(r)^(R_0 ) 0 d s + integral_(R_(0) )^(oo) k (Q) / (s ^2 ) d s = 0 + k (Q) / (R_(0) ), \
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==> "Potential innerhalb der Kugel ist" Phi = k (Q) / (R_(0) ).
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$
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Allgemein gilt, dass in jeder komplett geschlossenen leitenden Huelle das elektrische Feld Null ist. Dies gilt auch fuer elektromagnetische Wellen. Dieser Zusammenhang kann mithilfe
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eines Faraday'schen-Kaefigs demonstriert werden.
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Auch ist es so, dass die Ladungen in einem Kaefig nur auf er Aussenseite sitzen und auf der Innenseite alles neutral ist.
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98
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL7.typ
Normal file
98
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,98 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 7,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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Literatur: Feynman lectures on physics
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= Uebersicht
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Beantworten der Frage von letzter Stunde.
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Mit dem Gesetz von Gauss koennen wir innerhalb eines Kondensators keine Aussage uber das elektrische Feld machen.
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Q: Wie kann das elektrische Feld eines Faradaykaefigs mit bestimmter Lochgroesse
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im Vergleich zum elektrischen Feld in einer voll geschlossenen Oberflaeche berechnet werden?
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$
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abs(E) integral.cont d arrow(A) = (Q_("ein") ) / (epsilon_0 ) = 0 \
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==> arrow(E) = 0
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$
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Q: Wie kann ich mir vorstellen, dass $E = 0$ in geladener Kugel?
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Konstruiere den Schnitt von gegenueberligenden Kegeln mit der Kugeloberflaeche.
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Diese heben sich genau weg. Das geht nur wegen der $1/r^2 $ abhaengigkeit der staerke des elektrischen Feldes.
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Bedeutung der *Abschirmlaenge* bei gladenen Oberflaechen.
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Was ist die maximale Aufladung eines metallischen Objekts (z.B. Becher)?
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Auf das Aeussere des Bechers koennen keine Ladungen aufgebracht
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werden falls das Potentials des Bechers gleich dem Potential der Stromquelle ist.
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Im Inneren verteilen sich die Ladungen immer nach Aussen, da das elektrische Feld im Innern immer Null sein muss.
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= Van de Graaf Generator
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Situation bei leitender Vollkugel.
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Ladungen bewegen sihch in leitern frei $==>$ Ladungen bewegen sich so lange bis keine
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Kraft mehr auf sie wirkt d.h. kein Feld mehr vorhanden ist.
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Feld treibt Ladungen auf Oberflaeche $==>$ im Innern ist $E = 0 and Q = 0$, da in Leitern keine Potentialdifferenz $phi = "const"$ sonst.
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Gesamte Ladung auf sammelt sich auf der aeusseren Oberflaeche.
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#remark[
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Geladene nicht leitfaehige Vollkugel ist nicht feldfrei.
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]
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=== 1.5.3 Der elektrische Dipol
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Zwei entegegengesetzte Ladungen mit $Q_(1) = - Q_(2) $ sind gegeben.
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Das Dipolmoment ist gegeben durch
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$
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arrow(p) = Q * arrow(d) , space arrow(d) "zeigt von - nach plus".
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$
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Im $arrow(E)$-Feld wirkt auf Dipol ein Drehmoment
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$
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arrow(D) = arrow(p) times arrow(E).
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$
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Ein Dipol erfaehrt im homogenen Feld keine tranlatorische Aenderung. Die potentielle Energie $E_("pot") = Q phi_1 - Q phi_2 $ kann mit $(phi_1 - phi_2)/(arrow(d)) = arrow(nabla) phi "und" arrow(E) = -arrow(nabla) phi$ umgeschrieben werden
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$
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E_("pot") = - arrow(p) arrow(E).
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$
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=== 1.5.4 Feldstaerke von einer gladenen Spitze
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Im Modell sind zwei verbundene Kugeln geladen mit den Radien $R_(1) and R_(2) $ und den Ladungen $Q_(1) and Q_(2) $, mit Flaechenladungsdichten.
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Kugeln sind verbunden
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$
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==> phi_1 = phi_2 ==> (Q_(1) ) / (4 pi epsilon_0 R_(1) ) = (Q_(2) ) / (4 pi epsilon_0 R_(2) ) and E = sigma/epsilon_0 ==> sigma_1 R_(1) = sigma_2 R_(2) \
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==> E_1 R_(1) = phi = E_(2) R_(2) ==> E_2 = phi/R_(2).
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$
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Der *elektrostatische Wind* treibt Flugrad. Dieser entsteht durch Entladung an einer scharfen Spitze.
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Dieser Wind kann mit einer Kerze sichtbar gemacht werden.
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156
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL8.typ
Normal file
156
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,156 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 8,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== Dipol im elektrischen Feld
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Das Dipolmoment ist gegeben durch
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$
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arrow(p) = d q.
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$
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Dieses haengt im allgemeinen vom Bezugssystem ab.
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Im homogenen Feld wird keine translatorische Kraft auf den Ladungsschwerpunkt.
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=== 1.5.5 Elektrisches Feld vor unendlich grosser geladener Platte
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Wir haben schon betrachtet, dass $E = (sigma) / (2 epsilon_0 ) $ vor einer unendlich ausgedehnten Platte.
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Diese Rechnung kann einfach mit Gauss ueberprueft werden
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$
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Phi = integral.cont arrow(E) d arrow(A) = integral _(d A) (sigma) / (epsilon_0 ) d A = integral_(0)^(R) r d r = integral_(0)^(2 pi) d phi (sigma) / (epsilon_0 ) \
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= 1/2 4 pi R^2 E = 1/2 (sigma) / (epsilon_0 ).
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$
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=== 1.5.6 Zwei parallelen Platten unendlich ausgedehnt
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Mit dem Superpositionsprinzip addieren sich die Felder der beiden Platten auf.
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Dadurch ist das Feld im
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=== 1.6.1 Influenz
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Dies beschreibt den Einfluss eines E-Feldes auf Materie.
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Im Feld wirkt eine Kraft von
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$
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arrow(F) = q * arrow(E).
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$
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Diese Kraft wirkt so lange wie sich die Ladungen verschieben lassen und sich ein
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Gleichgewicht einstellt. Dies gilt nur bei Leitern.
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=== 1.6.2 Kondensator
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Zwei gegenuebliegende leitende Platten, welche durch eine isolierende Schicht getrennt sind bilden
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einen sogenannten *Kondensator*. Das isolierende Medium wird Dielektrikum genannt.
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Es ergibt sich dann (auch experimentell) der Zusammenhang
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$
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C = Q/U.
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$
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Ladungen zu speichern wird Kapazitaet genannt. Eine typische Kapazitaet ist
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$
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"pF" = 10^(-12) F "und" "nF" = 10^(-9) F.
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Ein typischer Kondensatortyp ist der Plattenkondensator.
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Hier gilt wie gezeigt (beide platten haben betragsmaessig die gleiche Flaechenladungsdichte)
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$
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E = (sigma) / (epsilon_0 ).
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$
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Der Spannungsabfall ueber dem Kondensator ist gegeben durch
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$
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U = integral_(0)^(d) E (x) d x = (sigma) / (epsilon_0 ) d.
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$
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Mit $sigma = Q/A ==> U = (Q) / (epsilon_0 A) $ ergibt sich fuer die Kapazitaet des P-Kondensators
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$
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C = Q/U = (A) / (epsilon_0 d).
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$
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Diese Rechnung gilt nur fuer $A >> d$.
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Im elektrischen Feld ist Energie gespeichert (wie ist das zu verstehen)
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W = U Q.
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Bringe eine Ladung $d q$ auf eine Platte
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==> d W = U d q ==> W = integral_(0)^(Q) U d q = integral_(0)^(Q) (q) / (C) d q = 1/2 Q^2 /C.
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$
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Im Plattenkondesator ist $C = (epsilon_0 A) / (d) , U = E d$ ferner ist
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$
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W_("el") = 1/2 epsilon_0 E^2 * V \
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==> sigma_(K) = W/V = 1/2 epsilon_0 E^2,
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$
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wobei $sigma_(K) $ die Energiedichte des Kondensators ist.
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Experimentell kann getestet werden wie sich ein Plattenkondensator bei Veraenderung des Plattenabstands verhaelt.
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Dabei nutzen wir
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$
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W = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d , space C = (epsilon_0 A) / (d) \
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U = Q/C.
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$
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Die Energie ist wirklich im elektrischen Feld gespeichert (Trennungsenergie). Fuer beliebige Geometrien gilt
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$
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w_("el") = 1/2 epsilon_0 E^2.
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== Anwendung Kondensator
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Ein Smartphone hat rund $10^(9) $ Kondensatoren (diese sind im DRAM verbaut).
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Q: Wie viele Elektronen sind in all diesen Kondensatoren gespeichert?
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Berechne
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$
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Q = n * e = C * U ==> n = (C U) / (e).
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$
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Q: Wie lange wuerde eine Fahrradlampe mit $I = 0.2 A$ leuchten (wenige Pikosekunden)?
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Berechne
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$
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t = Q/I = (n * e) / (I).
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$
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Es gibt Messgeraete mit welchen einzelene Photonen gemessen werden koennen.
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Nur wenn man einen Kondensator kurzschliesst, dann gibt es eine schnelle Entladung.
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= Schaltungen
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Parallelschaltung
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$
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Q = Q_(1) + Q_(2) = C_(1) U + C_(2) U = (C_(1) + C_(2) ) U
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$
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Reiehnschaltung
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$
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U = U_1 + U_2 =
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$
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=== 1.6.3 nichtleitende Stoffe (Dielektrika)
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$
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C = epsilon _(r) C_0
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$
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||||
183
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ
Normal file
183
S2/ExPhyII/VL/ExIIVL9.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,183 @@
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||||
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 9,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Wiederholung zum Kondensator
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W = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d \
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d W = U d q.
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$
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=== 1.6.3 nichtleitende Stoffe Dilektrika im E-Feld
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Beim Versuch wurde ein Dielektrikum zwischen einen Plattenkondensator gebracht.
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- Lade den Kondensator auf $U_0 $ auf, dann nehme den Kondensator vom Netz
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- $U_0 = (Q) / (C) $
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- Bringe das Dielektrikum in den Kondensator
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- $U > U^("Diel") -> "Da" Q "gleich" -> C "muss mit Dielektrikum groesser als ohne werden"$
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Dabei laesst sich feststellen, dass
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$
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E_("Diel") = (E) / (epsilon_(r) ) \
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C = epsilon_(r) C_0.
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$
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Verschiedene Materialien haben verschiedene relative Dielektrizitaetskonstanten.
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Ein Metall ist der Extremfall eines Isolators.
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==== 1.6.3.1 Dielektrische Polarisation
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Wie bei der Influenz im aeusseren E-Feld werden Ladungen im Dielektrikum verschoben. Da Dielektrikum ein Nichtleiter ist erfolgt nur eine Verschiebung der Ladung
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auf mikroskopischer Ebene. Dies wird induzierte Polarisation genannt.
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Die *atomare Polarisierarbeit* verschiebt die Elektronenwolke um ein Atom.
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Fuer das Dipolmoment gilt bekanntlicherweise
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$
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arrow(p) = d arrow(d) \
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arrow(p) = alpha arrow(E),
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$
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wobei $alpha$ die Polarisierbarkeit (ein Mass fuer die Rueckstellkraefte im Atom, welche der Verschiebung entgegenwirken) ist.
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Die Verschiebung geht so weit bis die Rueckstellkraefte die verschobene Ladung kompensieren
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$
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arrow(F) = q arrow(E).
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$
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Auch gibt es die *Orientierungspolarisation*, welches die Ausrichtung vorhandener Dipole beschreibt.
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Als Beispiel wird hier Wasser angefuehrt mit einem Dipolmoment $arrow(p)$. Durch ein elektrisches Feld erfahren die Molekuele keine Translation
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wohl aber richten sie sich aus.
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#definition[
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Die Polarisation ist gegeben durch
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$
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arrow(P) = 1/V sum_(i=1)^(n) arrow(p) , space arrow(p): "Dipol im Molekuel".
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$
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]
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||||
Falls alle Dipole parallel zum E-Feld sind
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$
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arrow(p) = N arrow(p) = N q arrow(d), N = "Anzahl der Dipole pro Volumen".
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$
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|
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==== 1.6.3.2 Polarisationsladungen
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Dies Orientiert sich am Giffiths.
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Durch die Ausrichtung von Dipolen oder induzierten Dipolen enstehen sogenannte Polarisationsladungen z.B. an den Stirnflaechen eines
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Dielektrikums.
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Der spezialfall vom homogenen elektrischen Feld und einem homogenen Dielektrikum.
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Welches zusatzliche E-Feld wird von der polarisierten Materie erzeugt? Hier befindet sich die Materie im externen E-Feld.
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Berechne zunaechst Potential $Phi_(d) $ an Stelle $arrow(r)$ fuer den allgemeinen Fall eines inhomogenen E-Feldes
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Phi_(d) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(p) (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ).
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Hier ist $arrow(r)$ irgendein Punkt im Raum und $arrow(r)'$ die Position der einzelenen Dipole $arrow(p)$.
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Das Potential fuer alle Dipole ist gegeben durch
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Phi_(D) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' (arrow(P) (arrow(r)') (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ),
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mit
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arrow(p) = arrow(P) d arrow(r)' =^(?) arrow(P) (arrow(r)').
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Mit
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arrow(nabla)' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ) = (abs(arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 )
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folgt
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Phi_(D) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' arrow(P) (arrow(r)') * arrow(nabla) ' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ).
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Verwende nun die Produktregel $(f g)' = f' g + f g'$
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Phi_(D) (arrow(r)) &= (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol d arrow(r)' [arrow(nabla) ' ((arrow(P) (arrow(r)'))/(abs(arrow(r)- arrow(r)'))) - (1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) (arrow(nabla) ' * P (arrow(r)'))] \
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&= (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.cont _(A) d arrow(A)' (arrow(P) (arrow(A)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')), "I") - (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.vol d arrow(r)' (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) (arrow(nabla) ' arrow(P) (arrow(r)')), "II").
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Dabei sieht I aus wie das Potentaial einer Oberflaechenladung
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d arrow(A) = d a * hat(n).
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#definition[
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Gebundene Oberflaechenpolarisation
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sigma_(g) = arrow(P) * hat(n).
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Gebundene Volumenpolarisation
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rho_(g) = - arrow(nabla) * arrow(P).
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]
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Und II sieht aus wie das Potential eines Volumenladung
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==> Phi_(D) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.surf (sigma_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)' + (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol (rho_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)'
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== 1.7 Die dielektrische Verschiebung und Suszeptibilitaet
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Q: Wie gross ist das E-Feld im Dielektrikum?
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Die gesamte Ladungsdichte im Dielektrikum ist gegeben durch
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rho = rho_(g) + rho_(f) , space rho_(f): "freie Ladungen keine Folge der Polarisation".
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Mit dem Gausschen Gesetz folgt
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epsilon_0 arrow(nabla) arrow(E) = rho = rho_(g) + rho_(f) = - arrow(nabla) * arrow(P) + rho_(f) \
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==> arrow(nabla) (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) = rho_(f).
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#definition[
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Dielektrische Verschiebung
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arrow(D) = epsilon_0 arrow(E) + arrow(P).
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Dann folgt das Gaussche Gesetz fuer diese dielektrische Verschiebung
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arrow(nabla) arrow(D) = phi_(f) ==> integral.cont arrow(D) d arrow(A) = Q_("feing").
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Die dielektrische Verschiebung $arrow(D)$ haengt nur von den freien Ladungstraegern ab, welche oft bekannt sind.
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Verbindung zur mikroskopischen Groessen
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arrow(P) = epsilon_0 chi_(e) arrow(E) , space chi_(e) = (N alpha) / (epsilon_0 ) : "elektrische Suszeptibilitaet".
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Wir koennen auch umschreiben
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arrow(D) &= epsilon_0 arrow(E) + arrow(P) = epsilon_0 arrow(E) + epsilon_0 chi_(e) arrow(E) = epsilon_0 underbrace((1 + chi_(e) ), epsilon_(r) )arrow(E)\
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&= epsilon_0 epsilon_(r) arrow(E) = epsilon arrow(E).
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Im allgemeinen gilt nicht, dass $arrow(D) = arrow(E) $, da nicht $rot(arrow(P)) = 0$ gelten muss.
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