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196
S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ
Normal file
196
S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,196 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 8,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Wiederholung
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Betrachte eine Funktion $f: U subset RR^n -> RR$ und $a,b in U$.
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Angenommen ${a+t (b -a), 0 <= t <= 1} subset U$ und $g: [0, 1] -> RR$ mit $g' (xi) = arrow(nabla) f (gamma (xi)) dot(gamma) (xi)$.
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Betrachte
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$
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f (b) - f (a) = d f (xi) (b - a).
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$
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Es ist bereits bekannt, dass wenn $n = 1 and f' (c) = 0 space forall c in I$ fuer eine Funktion $f: I -> RR$, dann ist $f$ konstant.
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Gilt dies auch fuer $RR^n $, also ist $f: U -> RR$ diffbar $and d f (xi) = 0 space forall xi in U ==> f "konstant"$?
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Ein Problem kann bei nicht zusammenhaengenden Mengen enstehen.
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= Zusammenhaengend
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#definition[
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Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *zusammenhaengend* falls es nicht zwei offene Mengen gibt, welche eine Zerlegung von $X$ mit $U union V = X$ mit $U,V != emptyset $ offen und $U sect V = emptyset $ bilden.
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]
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#definition[
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Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *wegzusammenhaengend* falls es fuer zwei Punkte $a,b in X$ eine stetige Abbildung $gamma: [0, 1] -> X$ mit $gamma (0) = a$ und $gamma (1) = b$ gibt.
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]
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Diese Begriffe sind im allgemeinen nicht aequivalent, wobei der Zusammenhang staerker ist.
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#theorem[
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Sei $(X, n)$ ein normierter Raum und $U subset X$ offen. Dann ist $U$ genau dann zusammenhaengend wenn $U$ wegzusammenhaengend ist.
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] <s8>
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Fuer $a,b in X$ schreibe $[a,b] = {a + t (b -a): 0 <= t <= 1} $ fuer das Stueck was $a$ und $b$ verbindet. Dies wird *Streckenzug* genannt.
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Im allgemeinen muss dies nicht ein gerader Streckenzug sein sondern kann beliebig gekruennt sein. Dieser ist eine Folge von Punkten mit $a_0 = a, a_n = b$, sodass $[a_j, a_(j +1) ] subset U$.
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#proof[
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Wie zeigen, dass Zusammenhang auch Wegzusammenhang impliziert.
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Sei $U subset X$ offen und zusammenhaengend. Ist $U != subset $, so waehle $a in U$ und $tilde(U) = {x in U: "es gibt einen Streckenzug in" U "von" a "nach" x}$. Sei $y in tilde(U)$, dann existiert eine Kugel mit $epsilon>0$ um $y$ welche eine Teilmenge von $U$ ist durch deren Offenheit. Nun kann ein Streckenzug von allen Elementen in der Kugel zu $x$ gebildet werden und so gibt es einen Streckenzug von $a$ zu allen Elementen aus $B_(epsilon) (y)$.
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Betrachte nun $y in U\\tilde(U)$ und $r>0$ mit $B_(r) (y) subset U$. Angenommen $B_(r) (y) sect tilde(U) != emptyset $, so folgt wie zuvor, dass $B_(r) (y) subset tilde(U)$ $==>$ $y in.not tilde(U)$. Widerspruch.
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Es gilt also $U = tilde(U) union (U\\tilde(U))$ mit $tilde(U), U\\tilde(U)$ offen und $tilde(U) != subset $ d.h. $U\\tilde(U) = emptyset $ $==>$ $tilde(U) = U$.
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#remark[
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Wir haben in @s8 gezeigt, dass zwei Punkte in einer offenen zusammenhaengenden Menge in einem normierten Raum mit einem Streckenzug
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verbunden werden koennen.
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Betrachte auf dem Uebungsblatt die oszilierende Funktion, welche immer schneller oszilliert $sin (1/x)$ um etwas zu zeigen mit zusammenhaengend.
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#theorem[
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Sei $U subset RR^n $ zusammenhaengend $<==> $ wegzusammenhaengend und offen und $f: U -> CC$ diffbar mit $arrow(nabla) f (a) = 0 space forall u in U$. Dann ist $f$ konstant.
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#proof[
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Betrachte $R (f)$ und $I (f)$ separat, d.h. wir koennen annehmen, dass $f: U -> RR$ reell ist. Fuer $a,b in U$ waehle einen Streckenzug $[a, a_1 ]union ... union [a_n , b] subset U$. Nach Satz wahle $xi in [a_i, a_(i+1) ], 0 <= i <= n$ mit
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$
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f (a_(i+1) ) - f (a_(i) ) = underbrace(d f (xi_(i) ), =0) (a_(i + 1) - a_(i) ) space forall 0 <= i <= n.
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$
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Es folgt, dass $f (a) = f (a_(1) ) = f (a_(2) ) = ... = f (a_n ) = f (b)$.
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Hier wurde ausgenutzt, dass sich die Funktionswerte auf dem Streckenzug nicht veraendern.
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#definition[
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Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U -> CC$ differenzierbar, so nennen wir $f$ *stetig differenzierbar* (auf $U$) falls die Abbildung
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f': U -> CC^(n), x |-> (partial / (partial x_1 ) f (x), ..., partial / (partial x_(n) ) f (x) )
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$
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stetig ist.
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Wir schreiben $C^(1) (U)$ fuer den $CC$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen $f: U -> CC$.
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Differenzierbarkeit wird nur auf offenen Mengen diskutiert.
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#theorem[
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Sei $U subset RR^n $ offen mit $f in C^(1) (U)$ und $K subset U$ eine kompakte und konvexe Teilmenge. Setze
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norm(f')_(K) := max_(x in K) (abs(partial / (partial x_1 ) f (x)) + ... + abs(partial / (partial x_n) f (x))).
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$
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Fuer $x,y in K$ gilt dann
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abs( f (y) - f (x)) <= norm(f')_(K) norm(y - x)_(oo).
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#proof[
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Da $K$ konvex ist, dgilt fuer $x, y in K$ auch $[a,b] subset K$. Wende den bekannten an Schrankensatz auf die Funktion
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g: [0, 1] -> CC, t |-> f(x + t (y -x)).
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Es folgt
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abs(f (y) - f (x)) = abs( g (1) - g (0)) <= sup_(t in [0, 1]) abs(g' (t)).
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Verwende fuer $0 <= t <= 1$ die Abschaetzung
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abs(g' (t)) &= abs(d f (x + t (y - x)) (y-x)) \
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&= abs(sum_(k = 1)^(n) partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))(y_k - x_k )) \
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&<= norm(y-x)_(oo) underbrace(sum_(k = 1)^(n) abs(partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))), <= norm(f')_(K) ).
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= Hoehere Ableitungen
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Sei $f: U -> CC$ diffbar mit $U subset RR^n $ offen. Wie koennen wir den Begriff einer zweiten Ableitung definieren?
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+ Betrachte $U -> L (RR^n, CC ), a |-> d f (a)$
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+ Betrachte fuer $1 <= k <= n$ die partiellen Ableitungen $partial / (partial x_k ) f: U -> CC, a |-> partial / (partial x_k ) f (a)$
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#definition[
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Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U -> CC$ sodass
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partial / (partial x_(i) ) f: U -> CC
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existiert fuer ein $1 <= i <= n$ und partiell in Richtung $x_j $ diffbar ist. Dann definieren wir
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partial^2 / (partial x_j x_(i) ) f := partial / (partial x_j) (partial / (partial x_(i) ) f)
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und nennen dann $partial^2 / (partial x_(i) x_(j) ) $ eine partielle Ableitung zweiter Ordnung von $f$.
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Ist $k in NN$, so definieren wir die
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partielle Ableitung $k$-ter Ordnung als
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partial / (partial x_(i_1) ) ... partial / (partial x_(i_k) ) f := "Hintereinanderausfuehrung der partiellen Ableitungen".
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Jetzt koennen wir nach der Vertauschbarkeit fragen.
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#example[
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Fuer die nichtvertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.
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Betrachte
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f: RR^2 -> RR, (x,y) |-> cases(x y (x^2 - y^2 ) / (x^2 + y^2 ) \, (x, y) != (0,0), 0 \, (x,y) = (0,0)).
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Diese Abbildung hat verschiedene Werte fuer die Ableitung zweiter Ordnung an der Stelle $(0, y) "bzw." (x, 0)$.
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#highlight[TODO: calculate this]
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#theorem[
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Satz von Schwarz.
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Sei $U subset RR^n $ und $a in U$ und $f: U -> CC$ eine Funktion sodass die partiellen Ableitungen auf U existieren und
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$partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f$ in $a$ stetig ist. Dann exisitiert $partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a)$ und es gilt
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partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a) = partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f (a).
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#proof[
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Betrachten wir den Realteil und den Imaginaerteil von $f$ separat und die Abbildung
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g: RR^2 -> RR, V subset R^2, (x,y) |-> f (a + x e_i + y e_j )
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fuer $(0, 0) in V$ offen und hinreichend klein, so genuegt es dem Satz fuer $n = 2, a = (0, 0), g: V -> RR, (x.y)|-> g (x,y), i = 2, j = 1$ zu beweisen. Da $partial / (partial x_(1) x_2 ) g$ in 0 stetig ist, gibt es fuer jedes $epsilon > 0$ eine Umgebung $B_(delta) (0) subset V$ sodass
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abs(partial_(2 1) g (x,y) - partial_(2 1) g (0,0)) < epsilon space forall (x,y) in B_(delta) (0).
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Seien $h, k != 0$ mit $Q_(h, k) := {(t h, s k), 0 <= t, s <= 1} <= B_(delta) (0)$.
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Setze $phi (x) = g (x,y) - g (x, 0)$. Dann ist
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D_(Q h, k) g := g (h, k) - g (h, 0) - g (0, k) + g (0, 0) \
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= phi (h) - phi (0).
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Nach dem Mittelwertsatz gibt es $xi in {t h: 0 <= t <= 1}$ auf $phi (h) - phi (0) = h phi' (xi)$.
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Es folgt $D_(Q h, k) g = h (partial_(1) g (xi, k) - partial_(1) g (xi, 0))$.
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Genauso gibt es $nu in {s k: 0 <= s <= 1}$ mit
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D_(Q h k ) g = h k (partial_(2) partial_(1) g (xi, nu)).
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#highlight[TODO: finish and understand this proof]
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