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196
S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ
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196
S2/DiffII/VL/DiIIVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,196 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 8,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Wiederholung
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Betrachte eine Funktion $f: U subset RR^n -> RR$ und $a,b in U$.
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Angenommen ${a+t (b -a), 0 <= t <= 1} subset U$ und $g: [0, 1] -> RR$ mit $g' (xi) = arrow(nabla) f (gamma (xi)) dot(gamma) (xi)$.
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Betrachte
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$
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f (b) - f (a) = d f (xi) (b - a).
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$
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Es ist bereits bekannt, dass wenn $n = 1 and f' (c) = 0 space forall c in I$ fuer eine Funktion $f: I -> RR$, dann ist $f$ konstant.
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Gilt dies auch fuer $RR^n $, also ist $f: U -> RR$ diffbar $and d f (xi) = 0 space forall xi in U ==> f "konstant"$?
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Ein Problem kann bei nicht zusammenhaengenden Mengen enstehen.
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= Zusammenhaengend
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#definition[
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Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *zusammenhaengend* falls es nicht zwei offene Mengen gibt, welche eine Zerlegung von $X$ mit $U union V = X$ mit $U,V != emptyset $ offen und $U sect V = emptyset $ bilden.
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]
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#definition[
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Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *wegzusammenhaengend* falls es fuer zwei Punkte $a,b in X$ eine stetige Abbildung $gamma: [0, 1] -> X$ mit $gamma (0) = a$ und $gamma (1) = b$ gibt.
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]
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Diese Begriffe sind im allgemeinen nicht aequivalent, wobei der Zusammenhang staerker ist.
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#theorem[
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Sei $(X, n)$ ein normierter Raum und $U subset X$ offen. Dann ist $U$ genau dann zusammenhaengend wenn $U$ wegzusammenhaengend ist.
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] <s8>
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Fuer $a,b in X$ schreibe $[a,b] = {a + t (b -a): 0 <= t <= 1} $ fuer das Stueck was $a$ und $b$ verbindet. Dies wird *Streckenzug* genannt.
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Im allgemeinen muss dies nicht ein gerader Streckenzug sein sondern kann beliebig gekruennt sein. Dieser ist eine Folge von Punkten mit $a_0 = a, a_n = b$, sodass $[a_j, a_(j +1) ] subset U$.
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#proof[
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Wie zeigen, dass Zusammenhang auch Wegzusammenhang impliziert.
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Sei $U subset X$ offen und zusammenhaengend. Ist $U != subset $, so waehle $a in U$ und $tilde(U) = {x in U: "es gibt einen Streckenzug in" U "von" a "nach" x}$. Sei $y in tilde(U)$, dann existiert eine Kugel mit $epsilon>0$ um $y$ welche eine Teilmenge von $U$ ist durch deren Offenheit. Nun kann ein Streckenzug von allen Elementen in der Kugel zu $x$ gebildet werden und so gibt es einen Streckenzug von $a$ zu allen Elementen aus $B_(epsilon) (y)$.
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Betrachte nun $y in U\\tilde(U)$ und $r>0$ mit $B_(r) (y) subset U$. Angenommen $B_(r) (y) sect tilde(U) != emptyset $, so folgt wie zuvor, dass $B_(r) (y) subset tilde(U)$ $==>$ $y in.not tilde(U)$. Widerspruch.
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Es gilt also $U = tilde(U) union (U\\tilde(U))$ mit $tilde(U), U\\tilde(U)$ offen und $tilde(U) != subset $ d.h. $U\\tilde(U) = emptyset $ $==>$ $tilde(U) = U$.
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]
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#remark[
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Wir haben in @s8 gezeigt, dass zwei Punkte in einer offenen zusammenhaengenden Menge in einem normierten Raum mit einem Streckenzug
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verbunden werden koennen.
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Betrachte auf dem Uebungsblatt die oszilierende Funktion, welche immer schneller oszilliert $sin (1/x)$ um etwas zu zeigen mit zusammenhaengend.
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#theorem[
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Sei $U subset RR^n $ zusammenhaengend $<==> $ wegzusammenhaengend und offen und $f: U -> CC$ diffbar mit $arrow(nabla) f (a) = 0 space forall u in U$. Dann ist $f$ konstant.
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#proof[
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Betrachte $R (f)$ und $I (f)$ separat, d.h. wir koennen annehmen, dass $f: U -> RR$ reell ist. Fuer $a,b in U$ waehle einen Streckenzug $[a, a_1 ]union ... union [a_n , b] subset U$. Nach Satz wahle $xi in [a_i, a_(i+1) ], 0 <= i <= n$ mit
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$
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f (a_(i+1) ) - f (a_(i) ) = underbrace(d f (xi_(i) ), =0) (a_(i + 1) - a_(i) ) space forall 0 <= i <= n.
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$
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Es folgt, dass $f (a) = f (a_(1) ) = f (a_(2) ) = ... = f (a_n ) = f (b)$.
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Hier wurde ausgenutzt, dass sich die Funktionswerte auf dem Streckenzug nicht veraendern.
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#definition[
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Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U -> CC$ differenzierbar, so nennen wir $f$ *stetig differenzierbar* (auf $U$) falls die Abbildung
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f': U -> CC^(n), x |-> (partial / (partial x_1 ) f (x), ..., partial / (partial x_(n) ) f (x) )
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stetig ist.
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]
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Wir schreiben $C^(1) (U)$ fuer den $CC$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen $f: U -> CC$.
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Differenzierbarkeit wird nur auf offenen Mengen diskutiert.
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#theorem[
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Sei $U subset RR^n $ offen mit $f in C^(1) (U)$ und $K subset U$ eine kompakte und konvexe Teilmenge. Setze
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norm(f')_(K) := max_(x in K) (abs(partial / (partial x_1 ) f (x)) + ... + abs(partial / (partial x_n) f (x))).
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Fuer $x,y in K$ gilt dann
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abs( f (y) - f (x)) <= norm(f')_(K) norm(y - x)_(oo).
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#proof[
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Da $K$ konvex ist, dgilt fuer $x, y in K$ auch $[a,b] subset K$. Wende den bekannten an Schrankensatz auf die Funktion
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g: [0, 1] -> CC, t |-> f(x + t (y -x)).
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Es folgt
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abs(f (y) - f (x)) = abs( g (1) - g (0)) <= sup_(t in [0, 1]) abs(g' (t)).
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Verwende fuer $0 <= t <= 1$ die Abschaetzung
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abs(g' (t)) &= abs(d f (x + t (y - x)) (y-x)) \
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&= abs(sum_(k = 1)^(n) partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))(y_k - x_k )) \
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&<= norm(y-x)_(oo) underbrace(sum_(k = 1)^(n) abs(partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))), <= norm(f')_(K) ).
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]
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= Hoehere Ableitungen
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Sei $f: U -> CC$ diffbar mit $U subset RR^n $ offen. Wie koennen wir den Begriff einer zweiten Ableitung definieren?
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+ Betrachte $U -> L (RR^n, CC ), a |-> d f (a)$
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+ Betrachte fuer $1 <= k <= n$ die partiellen Ableitungen $partial / (partial x_k ) f: U -> CC, a |-> partial / (partial x_k ) f (a)$
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#definition[
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Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U -> CC$ sodass
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partial / (partial x_(i) ) f: U -> CC
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existiert fuer ein $1 <= i <= n$ und partiell in Richtung $x_j $ diffbar ist. Dann definieren wir
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partial^2 / (partial x_j x_(i) ) f := partial / (partial x_j) (partial / (partial x_(i) ) f)
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und nennen dann $partial^2 / (partial x_(i) x_(j) ) $ eine partielle Ableitung zweiter Ordnung von $f$.
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Ist $k in NN$, so definieren wir die
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partielle Ableitung $k$-ter Ordnung als
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partial / (partial x_(i_1) ) ... partial / (partial x_(i_k) ) f := "Hintereinanderausfuehrung der partiellen Ableitungen".
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]
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Jetzt koennen wir nach der Vertauschbarkeit fragen.
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#example[
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Fuer die nichtvertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.
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Betrachte
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f: RR^2 -> RR, (x,y) |-> cases(x y (x^2 - y^2 ) / (x^2 + y^2 ) \, (x, y) != (0,0), 0 \, (x,y) = (0,0)).
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$
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Diese Abbildung hat verschiedene Werte fuer die Ableitung zweiter Ordnung an der Stelle $(0, y) "bzw." (x, 0)$.
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#highlight[TODO: calculate this]
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#theorem[
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Satz von Schwarz.
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Sei $U subset RR^n $ und $a in U$ und $f: U -> CC$ eine Funktion sodass die partiellen Ableitungen auf U existieren und
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$partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f$ in $a$ stetig ist. Dann exisitiert $partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a)$ und es gilt
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$
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partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a) = partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f (a).
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]
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#proof[
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Betrachten wir den Realteil und den Imaginaerteil von $f$ separat und die Abbildung
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g: RR^2 -> RR, V subset R^2, (x,y) |-> f (a + x e_i + y e_j )
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fuer $(0, 0) in V$ offen und hinreichend klein, so genuegt es dem Satz fuer $n = 2, a = (0, 0), g: V -> RR, (x.y)|-> g (x,y), i = 2, j = 1$ zu beweisen. Da $partial / (partial x_(1) x_2 ) g$ in 0 stetig ist, gibt es fuer jedes $epsilon > 0$ eine Umgebung $B_(delta) (0) subset V$ sodass
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abs(partial_(2 1) g (x,y) - partial_(2 1) g (0,0)) < epsilon space forall (x,y) in B_(delta) (0).
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Seien $h, k != 0$ mit $Q_(h, k) := {(t h, s k), 0 <= t, s <= 1} <= B_(delta) (0)$.
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Setze $phi (x) = g (x,y) - g (x, 0)$. Dann ist
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D_(Q h, k) g := g (h, k) - g (h, 0) - g (0, k) + g (0, 0) \
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= phi (h) - phi (0).
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Nach dem Mittelwertsatz gibt es $xi in {t h: 0 <= t <= 1}$ auf $phi (h) - phi (0) = h phi' (xi)$.
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Es folgt $D_(Q h, k) g = h (partial_(1) g (xi, k) - partial_(1) g (xi, 0))$.
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Genauso gibt es $nu in {s k: 0 <= s <= 1}$ mit
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$
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D_(Q h k ) g = h k (partial_(2) partial_(1) g (xi, nu)).
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$
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#highlight[TODO: finish and understand this proof]
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]
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194
S2/DiffII/VL/DiIIVL9.typ
Normal file
194
S2/DiffII/VL/DiIIVL9.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,194 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 9,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Wiederholung Schwarz
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Wir betrachten eine Funtion $f: U subset RR^(n) -> CC $ wobei die partiellen Ableitungen exisiieren und die
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zweiten partiellen Ableitungen in einem Punkt a stetig sind. Dann gilt auch
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$
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partial_(j i) f (a) = partial_(i j) f (a).
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#definition[
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Sei $k >= 1$. ist $U subset RR^n $ offen und $f: U -> CC$ eine Funtktion fuer welche alle partiellen Ableitungen
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der Ordnung k auf der Menge U existieren uns stetig sind, so nennen wir f k-Mal stetig differenzierbar und setzen
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C^(k) (U) := {f: U -> CC | f "k-Mal stetig differenzierbar"}
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sowie
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C^(oo) (U):= sect.big _(k = 1) ^(oo) C^(k) (U).
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]
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Partielle Ableitungen sind unsere Definition der Richtungsableitung.
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= Differentiale hoeheren Ordnungen
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Ist eine Funktion $f: U subset RR^n -> CC$ stetig diffbar, so erhalten wir das Differential $d f (a)$ fuer $a in U$ aus den partiellen Ableitungen von f wie folgt
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d f (a) h = sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (a) h_(i) = partial_(h) f (a) , space h in RR^n
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$
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das bedeutet das Differential beschreibt die lineare Abbildung $d f (a): RR^n -> CC, h |-> partial_(h) f (a)$.
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Ist f zwei mal stetig differenzierbar und $h,k in RR^n $ so exisitert $partial_(h) (partial_(k ) f) (a)$ fuer ein $a in U$ und es gilt
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$
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partial_(h) (partial_(k) f) (a) &= partial_(h) (sum_(i=1)^(n) k_i partial_(i) f)(a) = sum_(i=1)^(n) k_i partial_(h) (partial_(i) f)(a) \
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&= sum_(i=1)^(n) k_i sum_(j = 1)^(n) h_(j) partial_(j i ) f (a) = underbrace(sum_(i, j = 1)^(n) partial_(j) partial_(i) f (a) h_(j) k_(i), "Bilinearform in h,k").
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$
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Q: Koennen die Differentiale in Integralen und der Alternativen schreibweise auch als diese Differentiale aufgefasst werden und wenn ja
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wie genau funktioniert das, bzw. wie sehen diese aus?
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#definition[
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Ist $U subset RR^n $ offen, $f in C^(2) (U)$ und $a in U$, so definieren wir das Differential zweiter Ordnung $d^((2)) f (a)$ als die symetrische bilieare Abbildung
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$
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d^((2)) f (a) : RR^n times RR^n -> CC, (h,k)|-> partial_(h) partial_(k) f (a)
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und die Hesse-Matrix $H_(f) (a)$ von f in a durch
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$
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H_(f) (a) := mat(
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partial_(1) partial_(1) f (a), partial_(1) partial_(2) f (a), ..., partial_(1) partial_(n) f (a);
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partial_(2) partial_(1) f (a), , ;
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, , , ;
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, , , partial_(n) partial_(n) f (a);
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).
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]
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#remark[
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Nach dem Satz von Schwarz gilt dann
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H_(f) (a)^(t) = H_(f) (a)
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$
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und fuer $h, k in RR^n $ ist
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$
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d ^((n)) f (h,k) = h^(t) H_(f) (a) k.
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]
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#example[
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Betrachte die symetrische komplexe Matrix A und $f: RR^n -> CC, x |-> x^(t) A x = sum_(i, j = 1)^(n) a_(i j) x_(i) x_j $. \ Dann gilt $H_(f) (x_0 ) = 2 A$ fuer $x_0 in RR^n $.
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]
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#definition[
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Sei $k >= 1$ und $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k) (U)$ und $a in U$. Wir definieren das Differential k-ter Ordnung $d ^((k)) f (a)$ von f in a durch die Abbildung
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$
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d^((k)) f (a): RR^n times ... times RR^n, (h^((1)), ..., h^((k)) ) |-> partial_(h^((1)) ) ... partial_(h^((k)) ) f (a).
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$
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]
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#remark[
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Wie im Fall $n = 2$ gilt
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d ^((k)) f (a) (h^((1)) , ..., h ^((k)) ) = sum_(i_(1) \, ..., i_(k) = 1)^(n) h_(i_(1) ) ^((1)) ... h_(i_(k) ) ^((k)) partial_(i_1 ... i_k ) f (a).
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$
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Nach dem Satz von Schwarz ist dies eine symetrische Mutlilinearform.
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]
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= Satz von Taylor
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Das Ziel ist hier eine Verallgemeinerung der Taylor-Approximation aus der Diff I fuer Funktionen $f in C^(k) (U), U subset RR^n, k in NN$.
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Die Idee ist, dass im Fall von $n = 1$ f im Punkt $x_0 $ durch ein Polynom vom Grad $k$ approximiert werden kann. Diese Methode ist bereits bekannt.
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Nun kann die Funktion durch ein multidimensionales Polynom angenaehert werden. Dabei sind die ersten drei Terme zuerst der konstante Funktionswert, dann der Gradient und dann die Quadrik.
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=== Reduktion auf den eindimensionalen Fall
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Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U)$ fuer ein $k in NN, x_0 in U $ und $h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$.
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Betrachte fuer $t in [0, 1]$ die Funktion $g (t) := f (x_0 + t h$.
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Da dieses Funktion g hinreichend oft diffbar ist kann dort der Satz von Taylor angwendet werden es existiert also $xi in [0, 1]$ sodass gilt
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$
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g (1) = sum_(j = 0)^(k) (1) / (j!) g^((j)) (0) + underbrace((g^(k + 1) ) / ((k + 1)!), "Restterm").
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$
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Nach der Kettenregel aus Satz gilt dann noch
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$
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g' (t) &= arrow(nabla) f (x_0 + t h) * h = sum_(i=1)^(n) partial_(i ) f (x_0 + t h) h_(i) \
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||||
g ^((2)) (t) &= sum_(i=1)^(n) (arrow(nabla) partial_(i) f (x_0 + t h) h) h_i = sum_(i=1)^(n) sum_(k = 1)^(n) partial_(k) partial_(i) f (x_0 + t h) h_(i) h_(j) \
|
||||
g ^((j)) (t) &= sum_(i_(1) )^(n) ... sum_(i_(j) )^(n) partial_(i_1 ) ... partial_(i_j) f (x_0 + t h) h_(i_(1) ) ... h_(i_(j) ) , space 1 <= j <= k \
|
||||
&= d ^((j)) f (x_0 + t h) (h, ..., h) := d ^((j)) f (a) h^(j) .
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$
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#theorem[
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Verallgemeinerter Taylor.
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Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U), k in NN, x_0 in U, h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$. Dann gilt es ein $xi in [x_0, x_0 + h]$ sodass gilt
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||||
$
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||||
f (x_0 + h) = sum_(i=1)^(k) (1) / (i!) d ^((i)) f (x_0 )h^(i) + (d ^(k + 1) f (xi) h ^(k + 1) ) / ((k + 1)!).
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$
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]
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#remark[
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Wie nennen das Polynom
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$
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T_(k) f (x_0 , h):= sum_(i=1)^(n) 1/i! d ^((i)) f (x_0 ) h^(i)
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$
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das *Taylorpolynom* von f in $x_0 $ von Ordnung $k$.
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]
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#example[
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Im Fall $k = 2$ erhalten wir
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T_(2) f (x_0, h) = f (x_0 ) + underbrace(sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (x_0 ) h_(i), arrow(nabla) f (x_0 ) h) + 1/2 underbrace(sum_(i,j=1)^(n) partial_(j) partial_(i) f (x_0 )h_(i) h_(j), h^(t) H_(f) (x_0 ) h )
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#corollary([ohne Beweis])[
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Ist $U subset RR^n $ offen $f in C^(k) (U)$ fuer ein $k in NN$ und $x_0 in U$ so gilt fuer $h in RR^n, h -> 0 $, dass
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f (x_0 + h) = T_(k) f (x_0 , h) + o (norm(h)^(k) ).
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Wenn zwei Funktionen $f, g: U -> RR$ auf einer offenen Umgebung von der Null und $g >= 0$, so schreiben wir, dass
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f (x) = o ((g x)) "fuer" x -> 0
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falls es fuer jedes $epsilon > 0: exists delta > 0: abs(f (x)) < epsilon g (x) space forall x : norm(x) < delta$.
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== Anwendung fuer Maxima und Minima
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#definition[
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Ist $X subset RR^n , f: X -> RR$ eine Funktion und $a in X$ so nennen wir $a$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum falls
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exists U subset X: a in U: f (x) >= f (a) space forall x in U "bzw." f (x) <= f (a) space forall x in V.
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Der Punkt $a$ wird dann auch als lokales Extremum bezeichnet.
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Lemmas sind auch Beobachtungen.
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#lemma[
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Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U -> R$ in $a in U$ diffbar und $a$ ein lokales Extremum von f. Dann gilt
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arrow(nabla) f (a) = 0.
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#proof[
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Fuer $h in RR^n $ betrachte die Funktion $g (t) = f (a + t h), t in RR$. Dann
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ist $a$ lokales Extremum von $g$ und es ist bekannt, dass $g' (0) = 0$. Nach der Kettenregel
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erhalten wir
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arrow(nabla) f (a) h = 0 space forall h in RR^n => arrow(nabla) f (a) = arrow(0).
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@@ -1,8 +1,6 @@
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#import "../../data/default.typ": *
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#import "../../data/theorems.typ": *
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#let rot = math.op("rot")
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#let grad = math.op("grad")
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#let conf(num: none, date: "", type: none, body) = {
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// Global settings
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