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S2/CWR/VL/CwrVL5.typ

@@ -0,0 +1,110 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Weiter in der Diskussion ueber den Fussball
+
+Velocity Verlet lautet im allgemeinen
+$
+	x (t + Delta t ) =  x (t) +  v (t) Delta t + 1/2 (F (x (t))) / (m) Delta t ^2 \
+	V (t +  Delta t ) =  V (t) +  (F (x (t +  Delta t )) + F (x (t))) / (2) Delta t.
+$
+Aus der letzten Stunde wissen wir, dass die Kraft, welche auf den Ball wirkt gegeben ist durch
+$
+	arrow(F) =  - m g hat(e)_(z) -  c_(W) 1/2 rho A abs(arrow(v))^2 hat(e )_(v) - c_(M) 1/2 rho A R arrow(omega)times arrow(v).
+$
+
+Wir wahlen die Zeit als $tau =  1"s"$ und die Laenge als $L =  1"m"$ in den skalierten Einheitgen folgt dann
+$
+	dot.double(x) =  - tilde(g) hat(e)_(z) - tilde(c)_(W) abs(dot(x))^2 hat(e)_(x)  + tilde(c)_(M)  arrow(omega)times dot(arrow(x)).
+$
+Q: Wie schiesst man en Ball in die linke obere Ecke des Tors?
+
+Wir betrachten die Situation als ein AWP mit
+$
+	arrow(x) (0) =  vec(x (0), y (0), z (0)), \
+	arrow(v) (0) =  vec(v_(x) (0), v_(y) (0), v_(z) (0)), \
+	arrow(omega) =  vec(omega_(x) , omega_(y) , omega_(z) ).
+$
+
+Nach einer Zeit $T$ soll unser System die Konfiguration
+$
+	x (T) = L, y (T) =  B/2, z (T) =  H
+$
+annehmen.
+
+Dabei gibt es 10 Pramenter, 3 Bedingungen fuer die Endposition und nochmal 3 fuer den Start $==>$ 4 dimensionale Loesung.
+
+Eine eindeutige Loesung $(v_(y) (0),v_(z) (0))$ soll aus gegebenem $arrow(omega)  and v_(x)  (0)$ bestimmt werden.
+T wird dabei aus $x (T) =  L$ (durch simulation) bestimmt.
+
+Methoden Nullstellen zu finden.
+
+Ein Problem fuer Newton in mehreren Dimensionen ist die Invertierung der Matrix der Ableitung.
+
+Q: Wie wird bei dem Torbeispiel die Ableitung gebildet?
+
+Muss bei dem gradientenfreien Newton-Verfahren nicht auch die Simulation mehrmals durchlaufen werden? Wie soll es sonst funktionieren?
+
+= Mehr Dimensionen
+
+Tricks fuer mehrere Dimensionen (Molekulare Dynamik und Vielteilchensimulationen)
++ Parallelisierung der Kraftberechnung
++ Symetrisierung von Rechnungen (symetrische Kraefte)
++ Wechselwirkungen in Simuationen haben nur endliche Reichweite
++ Bei kleinen Simulationsboxen sind die Randbedingungen wichtig (z.B. Wasser in einem Nanometer)
+	+ Besser sollten die Randbedingungen periodisch sein
+
+Idee der Paralleliseriung ist verschiedene Schleifenkoerper auf unterschiedliche Cores zu verteilen.
+Dies funktioniert ueber den shared memory (jeder Core kann auf den gesamten Speicher zugreifen) der CPU.
+
+#example[
+	Betrachte das Integral
+	$
+		I =  integral_(0)^(1) d x sin^2 (pi x) =  1/2 \
+		=  sum_(i = 1)^(N) 1/N sin^2  ( i/N).
+	$
+
+	Diese kann nun auf den verschiedenen
+
+	+ Sequential
+	+ Just distribute the loop with reduction
+	+ Distribute all without reduction
+	+ Distrubute just the partial sums over the cores
+
+	// Q: what does OMP stand for?
+	// Open MP
+	// link with -fopenmp
+	// C code to parralleize loops
+	// #pramga omp parallel for default(shared) reducion (+:sum)
+]
+
+#example[
+	Typische Wechselwirkungen zwischen Teilchen koennen durch ein Lennert-Jones Potential dargestellt werden
+	$
+		V (r) =  4 epsilon (1/r^(12) - 1/r^(6) )
+	$
+	wobei der erste Term der Volumenausschluss ist und der zweite Term van der Waals ist. 
+	Der Abstand kann mittels eines Trees oder eines spatial Hashes schneller berechnet werden.
+
+	Auch kann man den Raum im Gitterzellen aufteilen und dann nur noch den Abstand zu jeder Zelle berechnen.
+]
+
+Bei der Abstandsberechnung mit periodischen Randbedingungen muss die minimum image convention beachtet werden.
+

S2/CWR/VL/CwrVL6.typ

@@ -0,0 +1,57 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+= Partielle Differentialgleichungen
+
+ODE
+$
+	arrow(x) (t) => m (dif ^2 arrow(x)) / (dif t^2 )  =  F (arrow(x), dot(arrow(x))).
+$
+PDE
+$
+	(partial ^2 psi) / (partial t^2 ) =  u^2 (partial ^2 psi) / (partial x^2 ) , space psi (x,t) \
+	(partial T) / (partial t) =  D (partial ^2 T) / (partial x^2 ) , space "Fourier Gesetz" arrow(j) =  kappa arrow(nabla) T.
+$
+Poisson-Gleichung
+$
+	Delta phi =  - (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ).
+$
+Lineare partielle DGL
+$
+	L [phi (arrow(x))] =  rho (arrow(x)) \
+	phi (arrow(x)) =  phi_0 (arrow(x)) "auf Rand" partial Omega \
+	"gesucht ist die Loesung von Gebiet" Omega.
+$
+
+#example[
+	Poisson-Gleichung.
+
+	Fuehre eine Diffferenzdiskretisierung durch
+	$
+		phi (x,y) tilde.equiv phi (I_(x) , I_(y) ) \
+		Delta phi =  (partial ^2 phi) / (partial x^2 ) +  (partial ^2 phi) / (partial y^2 ) =  (phi (i_(x) + 1 , i_(y) ) - 2 phi (i_(x) , i_() )) / () 
+	$
+]
+
+Doolittle Verfahren
+Gauss-Elimination Verfahren
+