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226
S2/AnaMech/VL/AnMeVL10.typ Normal file
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@@ -0,0 +1,226 @@
// Main VL template
#import "../preamble.typ": *
// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules
// Main settings call
#show: conf.with(
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num: 10,
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
date: datetime.today().display(),
//date: datetime(
// year: 2025,
// month: 5,
// day: 1,
//).display(),
)
= Uebersicht
Bei der Lagrange II fuer einen MP mit $arrow(r) in RR^(3) $ gilt die Trafo: $x_(i) = x_(i) (q_1, q_2, q_3 )$, wobei $q_i $ beliebige Koordinaten sind.
Und die $x_(i) $ die kartesischen Koordinaten sind.
Mit Newton gilt
$
m dot.double(x)_(i) = f_i , space arrow(f) = vec(f_1, f_2, f_3 ) \
<=> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) )- (partial T) / (partial q_i) = arrow(g)_(i) * arrow(f) , space i = 1,2,3.
$
= Konservative Systeme
Es gilt
$
arrow(f) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) <=> f_i = - partial_(i) V , space partial_(i) = partial / (partial x_(i) ).
$
Lagrangefunktion
$
L (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) = T (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) - V (q_1, q_2, q_3 ).
$
Lagrange BWGL II
$
p_(i) = (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) \
dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) - (partial L) / (partial q_(i) ) = 0 , space i = 1,2,3
$
ist forminvariant.
Die skalare Funktion der Lagrangefunktion ist eine Hilfsgroesse, wobei sie beliebigen $q_i "und" dot(q)_(i) $, welche unabhaengige Variablen sind
einen skalaren Wert zuordnet.
Wobei gilt
$
dot(q) = (dif q) / (dif t).
$
= Vorgehen
1. Transformation in allgemeine Koordinaten auf deren Bewegung keine Kraefte wirken. Diese muss man Raten oder sie sind vorgegeben
2. Die kinetische und potentielle Energie als Funktion von kartesischen Korrdinaten aufstellen
3. Diese Energien in allgemeine Koordinaten transformieren
Dabei gilt
$
T = m/2 dot(x)_(i) , space dot(x) = m/2 g_(i j) dot(q)_(i) dot(q)_(j) , space g_(i j) = g_(i j) (q).
$
#example[
Zentralpotential mit konstantem Drehimpuls
$
dif / (dif t) arrow(L) = 0 => 2"D".
$
Waehle die generalisierten Koordinaten
$
q_(1) = r, \
q_(2) = phi.
$
Berechne Transformationen
$
x_1 = r cos phi \
x_2 = r sin phi \
dot(x)_(1) = dot(r) cos phi - r sin phi dot(phi) \
dot(x)_(2) = dot(r) sin phi + r cos phi dot(phi) \
$
Berechne die kinetische Energie
$
T &= m/2 (dot(x)_(1) ^2 + dot(x)_(2) ^2 ) = m/2 vec(dot(q)_(1), dot(q)_(2) )^(T) mat(
1, 0;
0, r^2 ;
) vec(dot(q)_(1) , dot(q)_(2) ) \
&= m/2 (dot(r)^2 + r^2 dot(phi)^2 ).
$
Dann folgt fuer die Lagrangefunktion
$
L = T - V, \
V = -alpha/r.
$
Berechne die Partiellen Ableitungen
$
(partial L) / (partial dot(r) ) = m dot(r) \
(partial L) / (partial r) = m r dot(phi)^2 - V' (r) \
(partial L) / (partial dot(phi)) = m r^2 dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) = 0
=> m dot.double(r) - m r dot(phi)^2 + V' (r) = 0 \
dif / (dif t) (m r^2 dot(phi)) = 0 \
=> m r^2 dot(phi) = "const." = L_(z) = abs(arrow(L)) = p_(phi).
$
]
#example[
Das Mathematische Pendel.
Hier gilt die Transformation
$
vec(x,y)= l vec(sin phi, - cos phi)
$
wobei $l$ die Laenge des Pendels ist.
Hier gibt es zwei Zwangsbedingungen, denn es muss immer gelten
$
g_(2) (x,y,z,t) = x^2 + y^2 - l^2 = 0 \
g_(1) (x,y,z,t) = z = 0.
$
Die Zahl der unabhaengigen Koordinaten ist gegeben durch
$
f = N - R = 1.
$
Die Lagrange Funktion in kartesischen Koordinaten
$
L = T - V = m/2 (dot(x)^2 + dot(y)^2 ) - m g y \
L = L (phi, dot(phi)) = m/2 dot(l)^2 dot(phi)^2 + m g l cos phi \
(partial L) / (partial dot(phi)) = l^2 m dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) = - m g l sin phi \
=> l^2 m dot.double(phi) + m g l sin phi = 0.
$
Fuer die Zwangskraefte gilt dann
$
arrow(Z)_(1) prop arrow(e)_(z) \
arrow(Z)_(2) = - arrow(f)_(perp).
$
]
Von den generalisierten Koordinaten wird erwartet, dass sie die Zwangsbedingungen immer erfuellen.
Das Ziel ist nun die Forminvarianz der BWGL fuer N Massepunkte.
#definition[
Zwangsbedingungen koennen holonom und skeleronom sein.
Dabei gilt dann fuer die skalare Funktion
$
g_(alpha) (arrow(x), t) = 0 , space alpha = 1, ..., R
$
wobei $R$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist.
Es gilt
$
arrow(x), arrow(F), m in RR^(3 N).
$
]
Im allgeinen ist die Anzahl der unabhaengigen Koordinaten gegeben durch
$
f = 3 N - R.
$
#definition[
Fuer jede Zwangsbedingung $g_(alpha) $ gibt es eine Zwangskraft $arrow(Z)_(alpha) $, welche diese Zwangsbedingung physikalisch realisiert.
Diese sind im allgemeinen nicht zeitlich konstant.
]
Als Loesungsansatz gilt dann
$
arrow(Z)_(alpha) = lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) => "skalare Groesse" lambda_(alpha).
$
= Lagrangegleichung I fuer N MP
Zunaechst sei angenommen $R <= 2$ und
$
m dot.double(arrow(r)) = arrow(f) + sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) \
g_(alpha) (arrow(r), t) = 0.
$
Im Allgemeinen gilt dann
$
m_(n) dot.double(x)_(n) = F_(n) + sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ) , space n = 1, ..., 3 N \
g_(alpha) (arrow(x), t) = 0 , space alpha 1, ..., R \
arrow(nabla) _(n) g_(alpha) = (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ).
$
=== Allgemeines Loesungsverfahren
1. Zwangsbedingungen aufstellen
2. Lagrangegleichung I
3. Man muss die $lambda_(alpha) $ aus den BWGL eleminieren $==>$ $lambda_(alpha) = lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $: funktional
4. Loese die 3N BWGL mit 6N Integrationskonstanten
5. Die 2R Integrationskonstanten sind schon durch die Zwangsbedingungen fixiert
6. Die konrete Loesung $==>$ $arrow(x), dot(arrow(x)) -> lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $ $==>$ $Z_(n) = lambda_(alpha) partial_(x_(n) ) g_(alpha) $
#example[
Schiefe Ebene.
Skizze der Schiefen Ebene mit relevanten Groessen.
Zuerst die elementare Loesung
$
m dot.double(s) = - m g sin alpha => s (t) = - g/2 r^2 + v_0 t + s_0 \
arrow(r) = vec(s cos alpha, 0 , s sin alpha).
$
Lagrange I liefert
$
g_(2) (x,y,z,t) = y = 0 \
g_(1) (x,y,z,t) = x sin alpha - z cos alpha = 0 \
m dot.double(arrow(r)) = - m g arrow(e)_(z) + lambda_(1) arrow(nabla) g_(1) + lambda_(2) arrow(nabla) g_(2).
$
Dann muessen wir die (zweimal) Zwangsbedingungen ableiten
$
dot.double(y) = 0 , space dot.double(x) sin alpha - dot.double(z) cos alpha = 0 \
m dot.double(x) = lambda_1 sin alpha \
m dot.double(y) = lambda_2 => lambda_2 = 0 => dot.double(z) = arrow(0) \
m dot.double(z) = - m g - lambda_1 cos alpha => lambda_1 = - cos alpha m g
$
]
Technisch kompliziert kann die richtige Beruecksichtigung der Kettenregel sein.

169
S2/AnaMech/VL/AnMeVL9.typ Normal file
View File

@@ -0,0 +1,169 @@
// Main VL template
#import "../preamble.typ": *
// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules
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#show: conf.with(
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num: 9,
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
date: datetime.today().display(),
//date: datetime(
// year: 2025,
// month: 5,
// day: 1,
//).display(),
)
= Exkurs in die Geometrie
Zunaechst betrachten wir einen Massepunkt $m$ in $arrow(r) in RR^(3) $.
Wir kennen die kartesischen Raumkoordinaten.
Der Ursprung bleibt bei der Transformation gleich.
Es gilt fuer die Basisvektoren
$
arrow(e)_(i) * arrow(e)_(j) = delta_(i j).
$
Die Koordinatentransformation muss umkehrbar sein in fast jedem Punkt
$
x_(i) = x_(i) (q_1, q_2, ..., q_n ).
$
Theoretische Physik geht los wenn alle griechischen Buchstabe fuer Indizes verbraucht sind.
$
arrow(r) = underbrace(x_(i) arrow(e)_(i), forall P) = x_(i) (q_1, q_2, q_3 ) arrow(e)_(i) =^(!) q_j arrow(q)_(j) <- "haengen von" P "ab".
$
Die $q_i $ Kurven koennen krummlinieg verlaufen. Die Basisvektoren im Punkt $P$ sind gegeben durch
$
arrow(q)_(i) = (partial arrow(r) (p)) / (partial q_i) , arrow(r) = x_(i) (q_1, q_2, q_3) arrow(e)_(i), \
arrow(q)_(i) = (partial x_(j) ) / (partial q_i ) arrow(e)_(arrow(j)) , arrow(e)_(i) = (partial q_j ) / (partial x_(i) ) arrow(q)_(j).
$
In fast jedem Punkt sind diese linear unabhaengig. Dreibein ${arrow(q)_(1) , arrow(q)_(2) , arrow(q)_(3) }$.
#example[
Kugelkoordinaten.
$
x_1 = r cos phi sin theta \
x_2 = r sin phi sin theta \
x_3 = r cos theta \
r >0 , space theta in [0, pi] , space phi in [0, 2 pi)
$
Durch Ableiten kann so das Dreibein gebildet werden. Dieses erfuellt die gefordeten Eigenschaften von linearer Unabhaengigkeit.
]
Es gilt
$
d arrow(r) &= (partial arrow(r)) / (partial r) d r + (partial arrow(r)) / (partial theta) d theta + (partial arrow(r)) / (partial phi) d phi ==> d arrow(r) * d arrow(r) = d^2 r + r^2 d^2 theta + r^2 sin^2 theta d^2 phi \
&= d x_1 arrow(e)_(2) + d x_2 arrow(e)_(2) + d x_3 arrow(e)_(3).
$
= Metrischer Tensor
Wird auch metrisches Dings genannt.
Es gilt
$
g_(i j) &= arrow(g)_(i) * arrow(g)_(j), \
g_(i j) &= mat(
1, 0, 0;
0, r^2 , 0;
0, 0, r^2 sin^2 theta;
), \
g_(i j) &= (partial x_m ) / (partial q_i ) arrow(e)_(m) * (partial x_k ) / (partial q_(j) ) arrow(e)_(k) = (partial x_(m) ) / (partial q_(i) ) (partial x_(k) ) / (partial q_(j) ) underbrace(arrow(e)_(m) * arrow(e)_(k), = delta_(m k) ) = (partial x_k ) / (partial q_i ) (partial x_k ) / (partial q_j ).
$
= Bewegungsgleichung fuer $q_i $
Hier sind $dot(q)_(j)$ die verallgemeinerten Geschwindigkeiten.
Berechne
$
dif / (dif t) T = m dot(x)_(i) dot.double(x)_(i) \
T = m/2 dot(arrow(r)) * dot(arrow(r)) = m/2 dot(x)_(i) dot(x)_(i) \
dot(arrow(r)) (t) = (partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j) = dot(q)_(j) arrow(g)_(j) , space dot(q)_(j) "verallgemeinerte Geschwindigkeiten" \
(partial dot(arrow(r))) / (partial dot(q)_(j) ) = arrow(g)_(i); quad arrow(g)_(i) = (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) \
arrow(r) = x_(i) arrow(e)_(i) \
(dif arrow(r)) / (dif t) = dot(x)_(i) arrow(e)_(i) = (partial x_(i) ) / (partial q_j ) dot(q)_(j) arrow(e)_(i) = (partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j).
$
Wir starten von Newton II
$
m dot.double(arrow(r)) = arrow(f) \
<==> m arrow(e)_(i) * dot.double(arrow(r)) = arrow(e)_(i) * arrow(f) \
m dot.double(x)_(i) = f_(i) , i = 1,2.3.
$
Jetzt werden beliebige Koordinaten gewaehlt
$
m arrow(g)_(i) * dot.double(arrow(r)) = arrow(g)_(i) * arrow(f) \
<==> m (arrow(g)_(i) * dot.double(arrow(r)) + dot(arrow(g))_(i) * dot(arrow(r))) = arrow(g)_(i) * arrow(f) + m dot(arrow(g))_(i) * dot(arrow(r)) \
<==> m dif / (dif t) (arrow(g)_(i) * dot(arrow(r))_(i) ) = arrow(g)_(i) * arrow(f) + m dot(arrow(r)) * (partial dot(arrow(r))) / (partial q_(i) ) \
<==> m partial / (partial t) ((partial dot(arrow(r))_(i) ) / (partial q_(i) ) * dot(arrow(r))_(i) ) = arrow(g)_(i) arrow(f) + m dot(arrow(r))* (partial dot(arrow(r))) / (partial q_(i) )
$
Nebenrechung
$
dot(arrow(g))_(i) = dif / (dif t) (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) = partial / (partial q_(j) ) ((partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) )dot(q)_(j) \
= (partial ^2 arrow(r)) / (partial q_(j) q_(i) ) dot(q)_(j) partial / (partial q_(i) ) ((partial arrow(r)) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j) ) = partial / (partial q_i ) dot(arrow(r)) "und" arrow(q)_(i) = (partial dot(arrow(r))) / (partial dot(q)_(i) ) = (partial arrow(r)) / (partial q_(i) )
$
Betrachtung der kinetischen Energie
$
T = T (dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) = T (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) \
==> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) ) = (partial T) / (partial q_(i) ) + arrow(g)_(i) * arrow(f).
$
Allgemein gilt fuer die Produktregel
$
(partial T) / (partial dot(q)_(j) ) = m/2 ((partial dot(x)_(i) ) / (partial dot(q)_(j) ) dot(x)_(i) + dot(x)_(i) (partial dot(x)_(i) ) / (partial dot(q)_(j) ) ).
$
Skalarprodukt ist eine Projektion.
Verallgemeinere die kinetische Energie
$
T &= m/2 dot(arrow(r))^2 = m/2 (dot(x)_(i) * dot(x)_(i) ) = m/2 (dot(q)_(i) arrow(g)_(i) ) * (dot(q)_(j) arrow(g)_(j)) = m/2 dot(q)_(i) dot(q)_(j) space arrow(g)_(i) * arrow(g)_(j) \
&= m/2 sum_(i,j) g_(i j) dot(q)_(i) dot(q)_(j), \
&g_(i j) = g _(i j) (q_1, q_2, q_3 ).
$
= Konservative Kraftfelder
Betrachte die Kraft mit $V = V (x_1, x_2, x_3 ) = V (x_1 (q_1, q_2, q_3), ...) = V (q_1, q_2, q_3 )$ und der Lagrangefunktion als $L (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) := T (q_(i) , dot(q)_(i) ) - V (q_(i) )$
$
arrow(f) (arrow(r)) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) = - (partial V) / (partial arrow(r)) \
arrow(f) * arrow(g)_(i) = - (partial V) / (partial arrow(r)) * (partial arrow(r)) / (partial q_(i) ) = - (partial V) / (partial x_(j) ) (partial x_(j) ) / (partial q_(i) ) = - (partial V) / (partial q_(i) ) \
==> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) ) - (partial T) / (partial q_(i) ) + (partial V) / (partial dot(q)_(i) ) =^(!) 0 \
V = V (q_1, q_2, q_3 ) ==> (partial V) / (partial dot(q)_(i) ) = 0 \
==> dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) - (partial L) / (partial q_(i) ) = 0
$
Diese Lagrangegleichung der II Art ist
- Forminvariant
- Nicht messbar
- Nicht eindeutig
Das meschanische System ist so definiert durch $q_(i) "und" L$.
Der *verallgemeinerte Impuls* ist gegeben durch
$
p_(i) := (partial L) / (partial dot(q)_(i) ).
$
Eine *zyklische verallgemeinerte Koordinate* $q_(i) $ erfuellt
$
(partial L) / (partial q_(i) ) = 0 ==> dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) = 0 <==> (dif p_(i) ) / (dif t) = 0 <==> p_(i) "erhalten"
$