test pipe

S2/DiffII/VL/DiIIVL3.typ

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-#import "./preamble.typ": *
+#import "../preamble.typ": *
  
-#show: conf.with(num: 1)
+#show: conf.with(num: 3)
 
-= Uebersicht
+= Klassen von Raeumen
 
+In metrischen Raeumen mit Metrik $d$ gibt es den Begriff von offenen Mengen, wodurch dann auch eine Topologie $tau_(d) : "alle Mengen, die unter" d "offen sind"$ gegeben ist.
+Diese Topologie ist eine Familie von Mengen.
+
+= Konvergenz mittels Topologien
+Fuer Konvergenzbegriffe ist dann einzig $tau$ notwendig.
+#lemma[
+	Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, und $(a_n )_(n in NN)$ eine Folge in $M$  und $a in M$. Dann gilt $lim_(n -> oo) a_n = a$ genau dann wenn golgendes gilt:
+	$
+		forall U in tau_(d): a in U: exists n in NN: forall n >=  n: a_n in U
+	$
+]
+
+#definition[
+	Sei $M$  ein metrischer Raum mit Metriken $d_1 "und" d_2 $.
+	Wir nennen $d_1 $und $d_2 $ aequivalent falls $tau_(d_1 ) = tau_(d_2 ) $.
+	Ist $V$ ein K-VR mit $K in {RR,CC}$ mit zwei Normen $norm(dot)$ und $norm(dot)^(star) $ so nennen wir diese aequivalent, falls die erzeugten Metriken aequivalent sind.
+]
+
+#lemma[
+	Sei $V$  ein K-VR, $K in {RR,CC}$ und $norm(dot),norm(dot)^star, V -> RR^(+) $ Normen auf $V$ . Dann sind $norm(dot) "und" norm(dot)^(star) $ aequivalent genau dann wenn es Konstanten $c_1, c_2 >0$ gibt sodass
+	$
+		C_1 norm(x) <= norm(x)^(star) <= c_2 norm(x), forall x in V.
+	$
+]
+
+#proof[
+	Seien $tau_(1) "und" tau_(2) $ die von den Normen $(1) "und" (2)$ erzeugten Topologien. Sei $U in tau_(2) $. Nun gilt es zu zeigen, dass $U in tau_(1)  $. Sei $x in U$. Dann gibt es ein $r >0$ sodass $K_(r) ^((2)) (x) subset.eq U $.
+	Wir erhalten, dass gilt
+
+	$
+		B_(c_(2) ^((1)) ) (x)={y in V | norm(x-y)<c_(2) ^(-1) r} subset.eq B_(r) ^((2)) (x) subset.eq U
+	$
+
+	Verwende #highlight[TODO: finish this proof]
+
+	Fuer die Rueckrichtung nehmen wir an, dass $tau_(1) = tau_(2)  $. Da $B_(1) ^((1)) in tau_((1)) "und" 0 in B_(1) ^((1)) (0) $ gibt es $r>0$ sodass $B_(r) ^((2))  <= B_(1) ^((1)) (0)$.
+	Sei $x in V \\ {0}$. Dann ist $1+1$
+
+]
+
+#example[
+	Betrachte $norm(dot)_(1) "und" norm(dot)_(oo) $ auf $RR^n$. Fuer $x in RR^n$ gilt $norm(x)_(oo) = max_(1 <= k <= n) abs(x_(k)) <= sum_(k=1)^(n) abs(x_k )= norm(x)_(1) $ und $norm(x)_(1)= sum_(k=1)^(n) abs(x_k )<= n max_(1 <= k <= n)   abs(x_k ) = n norm(x)_(oo)  $, also sind $norm(dot)_(1) "und" norm(dot)_(oo) $ aequivalent.
+]
+
+#theorem[
+	Je zwei Normen auf $RR^n$ sind aequivalent.
+]
+
+Hier bezeichnet $e_(n) $ den Einheitsvektor in Richtung $n$.
+
+#proof[
+	Sei die Euklidische Norm als $(1)$ fix. Ferner sei $(2)$ eine beliebige weitere Norm auf $RR^n$.
+	Sei $x in RR^n$. Dann ist
+	$
+		norm(x)= norm(sum_(i=0)^(n) x_i e_i ) <=  sum_(i=0)^(n) abs(1+1) norm(e_i ) <= sqrt(sum_(i=0)^(n) abs(x_i  )) sqrt(sum_(i=0)^(n) norm(e_i )^2 )
+	$
+	Sei $S^(n-1) := {x in RR^(n)  | norm(x)_(2) =1}$ und $c := inf {norm(x) | x in S^(n-1) }$. Behauptung: es gilt $c>0$.
+
+	Angenommen $c=0$. Waehle $x_l in S^(n-1) , l in NN $ mit $lim_(l -> oo) norm(x_l )=0$.
+]