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S2/AnaMech/AM_EX5.py

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+# # Numerische Berechnung der Trajektorien des harmonischen Oszillators
+
+# Die Bewegung eines (gedämpften) harmonischen Oszillators wird durch die DGL zweiter Ordnung
+# \begin{equation}
+# \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 2 \gamma \frac{d x(t)}{dt} + \omega^2 x(t) = 0\tag{1}
+# \end{equation}
+# beschrieben. 
+# Um die DGL numerisch zu lösen, überführen wir sie zunächst in ein System gekoppelter DGLs erster Ordnung:
+# \begin{align}
+# \frac{d x}{dt} &= f\tag{2}\\
+# \frac{d v}{dt} &= g,\tag{3}
+# \end{align}
+# wobei $v(t) = \dot{x}(t)$ die Geschwindigkeit ist.
+# Ihre erste Aufgabe ist es, diese zwei DGL zu vervollständigen (d.h. $f$ und $g$ sind zu bestimmen).
+# 
+# Im folgenden sollen die DGLs numerisch mithilfe des Eulerverfahrens gelöst werden. 
+# Dazu werden die Ableitungen wie folgt diskretisiert, wobei $\Delta t$ der Wert des Zeitschritts ist, den Sie in der Simulation nutzen:
+# \begin{align}
+# \frac{d x}{dt} &\approx \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} \tag{4}\\
+# \frac{d v}{dt} &\approx \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t}\,.\tag{5}
+# \end{align}
+# 
+# Setzt man diese Näherungen der Ableitungen in (2) bzw. (3) ein, erhält man eine Approximation für die Änderung von $x$ bzw. $v$ im aktuellen Zeitschritt durch die Beziehungen
+# \begin{align}
+# x(t+\Delta t) =&\ x(t) + \Delta t \, f\tag{6}\\
+# v(t+\Delta t) =&\ v(t) + \Delta t \, g\tag{7} \, .
+# \end{align}
+# Sie können den Code gleich für den allgemeinen Fall implementieren. 
+# Führen Sie aber, wie im Aufgabentext erläutert, zunächst im a)-Teil die erforderlichen Simulationen für den ungedämpften harmonischen Oszillator ($\gamma = 0$) durch, danach im b)-Teil mit dem angegebenen Wert für $\gamma$.\\
+# Berechnen und plotten Sie im Verlauf der Simulationen auch die Gesamtenergie als Funktion der Zeit, $E(t) = T(t) + V(t)$, wobei $T(t)$ die Zeitentwicklung der kinetischen Energie und $V(t)$ die potenzielle Energie als Funktion der Zeit ist. 
+# (Sie können annehmen, dass die Masse des Oszillators $m=1$ ist.)
+
+# In[ ]:
+
+
+# Hilfreiche Pakete
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import math
+
+# Konstanten
+from scipy.constants import g
+
+# Sinnvolle Konstanten
+x0 = 1   
+v0 = 0
+omega0 = 1
+gamma = 0
+dt = 1e-2 # Kleiner Zeitschritt
+tmax = 20 # Max time for the algorithm to terminate
+
+# Initial values
+x_t = [x0]
+x_t_exact = [x0]
+v_t = [v0]
+v_t_exact = [v0]
+T_t = [0.5*v0*v0]
+V_t = [0.5*omega0*omega0*x0*x0]
+E_t = [T_t+V_t]
+
+# exakter Wert der Energie:
+E_exact = E_t[0]
+Ediff_t = [0]
+
+# Implementation of the Euler-Algorithm
+for _ in range(int(tmax // dt)):
+    f = ???
+    x = x_t[-1] + f * dt # Calc new position
+    v = ??? # calc new velocity
+    x_t.append(x)
+    v_t.append(v)
+
+    x_exact = ???
+    v_exact = ???
+    x_t_exact.append(x_exact)
+    v_t_exact.append(v_exact)
+
+    T = ???
+    V = k/2 * x^2 * 
+    E = T + V
+    T_t.append(T)
+    V_t.append(V)
+    E_t.append(E)
+    Ediff_t.append(E-E_exact)
+
+
+
+# TIPP: Zum erstellen mehrerer Plots auf einmal, siehe z.B.:
+# https://matplotlib.org/3.1.1/gallery/subplots_axes_and_figures/subplot.html
+
+kwargs = {'c':'b'}
+font_kwargs = {'fontsize':14}
+times = np.arange(0,len(x_t))*dt
+abs_max = max(x_t, key=abs)
+
+fig,ax =  plt.subplots(1,4,figsize=(10,5))
+
+#actual plots
+ax[0].plot(times,x_t,**kwargs)
+ax[1].plot(x_t,v_t,**kwargs)
+ax[2].plot(times,T_t,label = "T")
+ax[2].plot(times,V_t,label = "V")
+ax[2].plot(times,E_t,label = "E = T+V")
+ax[3].plot(times,Ediff_t,label = "Fehler in der Energie")
+
+#style changes
+ax[0].set_xlim(0,len(x_t)*dt)
+ax[0].set_ylim(-abs_max,abs_max)
+ax[0].set_xlabel("t",**font_kwargs)
+ax[0].set_ylabel("$x(t)$",**font_kwargs)
+
+ax[1].set_xlabel("$x(t)$",**font_kwargs)
+ax[1].set_ylabel("$v(t)$",**font_kwargs)
+
+ax[2].set_xlim(0,len(x_t)*dt)
+ax[2].set_ylim(-abs_max,abs_max)
+ax[2].set_xlabel("t",**font_kwargs)
+ax[2].set_ylabel("Energies",**font_kwargs)
+
+ax[2].set_xlim(0,len(x_t)*dt)
+ax[2].set_ylim(-abs_max,abs_max)
+ax[2].set_xlabel("t",**font_kwargs)
+ax[2].set_ylabel("Differenz",**font_kwargs)
+
+plt.legend()
+plt.show()
+