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Jonas Hahn
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77
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL7.typ
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@@ -22,4 +22,81 @@
== Maxwellgleichungen in Materie
Fuer $arrow(E) "und" arrow(B)$ Felder ist die Idee die Aufteilung der Ladungin freie und in Materie gebundene Ladung. Es gilt
$
arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ) = (rho_(f) + rho_(g) ) / (epsilon_0 ) \
arrow(nabla) * arrow(E) = 1/epsilon_0 (rho_(f) - arrow(nabla) *arrow(p)) \
arrow(nabla) * (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) = rho_(f) \
arrow(nabla) * arrow(D) = phi_(f) \
arrow(P) = underbrace(n, "Dichte") .. underbrace(arrow(p), "Dipole") .. "ist die Polarisation".
$
Es gilt weiterhin
$
arrow(nabla) times (arrow(B)/mu_0 - arrow(M)) = arrow(j)_(f) \
arrow(nabla) times arrow(H).
$
== Zeitlich veraenderliche Felder
Vom Ampereschen Gesetz auf das Maxwellsche Gesetz
$
arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j) + epsilon_0 (diff arrow(E)) / (diff t) ) = mu_0 (arrow(j)_(f) + arrow(j)_(g) + arrow(j)_(g) + epsilon_0 (diff arrow(E)) / (diff t) ).
$
Polarisatoinsstroeme sind also
$
arrow(j)_(P) = (diff arrow(P)) / (diff t).
$
Es folgt
$
arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j)_(f) + (diff (arrow(P) + epsilon_0 arrow(E))) / (diff t) + arrow(nabla) times arrow(M)) \
arrow(nabla) times ((arrow(B)) / (mu_0 ) - arrow(M)) = arrow(j)_(f) + (diff arrow(D)) / (diff t) \
arrow(nabla) times arrow(H) = arrow(j)_(f) + partial _(t) arrow(D).
$
Also fuer die Maxwellgleichungen
$
arrow(nabla) * arrow(D) &= rho_(f) \
arrow(nabla) * arrow(B) &= 0 \
arrow(nabla) times arrow(E) &= - partial _(t) arrow(B)\
arrow(nabla) times arrow(H) &= arrow(j)_(f) + partial _(t) arrow(D) \
arrow(D) &= epsilon_(r) epsilon_0 arrow(E) .. "(wenn" arrow(P) prop arrow(E)) .. "isotrop" \
arrow(H) &= 1/ (mu_(r) mu_0 ) arrow(B) .. "linear".
$
Ohne Stroeme ergibt sich dann
$
arrow(nabla) * arrow(D) = 0 \
arrow(nabla) *arrow(B) = 0 \
arrow(nabla) times arrow(E) = - partial _(t) arrow(B) \
arrow(nabla) times arrow(H) = partial _(t) arrow(D).
$
Fuer $epsilon (arrow(r)) "und" mu (arrow(r)) "const."$ betrachte
$
arrow(nabla) * arrow(E) = 0 \
arrow(nabla) *arrow(B) = 0 \
arrow(nabla) times arrow(E) = - partial _(t) arrow(B) \
arrow(nabla) times arrow(B) = mu_(r) mu_(0) epsilon_(r) epsilon_0 partial _(t) arrow(E)\
==> c = c_0 /n "mit" n = sqrt(epsilon_(r) mu_(r) ).
$
In der Optik ist $n$ als Brechungsindex wichtig auch wenn $n$ nicht konstant ist
$
n = n (arrow(r)) approx sqrt(epsilon (arrow(r))) \, space "da" mu_(r) approx 1.
$
Lichtausbreitung im Dielektrikum mit $rho_(f) = 0 "und" arrow(j)_(f) = 0$. Oft ist
$n (arrow(r)) "abschnittsweise konstant."
$
Dadurch ist dann die Loesung wieder trivial auf den einzelnen Abschnitten.
= Herleitung der Wellengleichung in nicht homogenen Materialien
Es gilt
$
arrow(nabla) times (arrow(nabla) times arrow(E)) = - mu_0 (arrow(nabla) times partial _(t) arrow(H) ) = - mu_0 partial _(t) (arrow(nabla) times arrow(H)) = ^("IV") - mu_0 epsilon_0 n^2 partial _(t) ^2 arrow(E) \
arrow(nabla) times (arrow(nabla) times arrow(E)) = arrow(nabla) (arrow(nabla) * arrow(E )) - arrow(nabla) ^2 arrow(E) = - mu_0 epsilon_0 n^2 (arrow(r)) partial _(t) ^2 arrow(E) \
arrow(nabla) * arrow(D) = 0 = epsilon_0 arrow(nabla) (n^2 *arrow(E)) = epsilon_0 [arrow(nabla) (n^2 ) * arrow(E) + n^2 (arrow(nabla) * arrow(E))] \
==> arrow(nabla) * arrow(E) = - 1/n^2 (arrow(nabla) n^2 * arrow(E) ).
$
Es folgt dann fuer die Wellengleichung
$
arrow(nabla) ^2 arrow(E) + arrow(nabla) [1/(n (arrow(r))^2 ) (arrow(nabla) n^2 ) * arrow(E)] - epsilon_0 mu_0 n^2 (arrow(r)) (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) = 0.
$