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S2/ExPhyII/VL/ExIIVL4.typ

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+// Main VL Template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 4
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wiederholung von dem Tropfenversuch und der allgemeinen Behandlung des Dipols und des Dipolmomentes $arrow(p)= q arrow(d)$. \
+Es gilt die Naeherung fuer grosse $r$ 
+$
+	arrow(E)_("Dipol") approx (1) / (r^2 ).
+$
+Das Drehmoment $arrow(D)$ eines Dipols im homogenen elektrischen Feld $arrow(E)= arrow(E) (r)$ ergibt sich zu
+$
+	arrow(D)= arrow(r)_(1) times arrow(F) + arrow(r)_(2) times arrow(F)= arrow(p)times arrow(E).
+$
+
+Aus der Gleichung der Kraft im elektrischen Feld laesst sich folgern, dass
+$
+	arrow(E)= (arrow(F)_(12) ) / (q), \
+	arrow(E)_(j) = sum_(i=1)^(N) (q_i ) / (4 pi epsilon_0 ) ((arrow(r)_(j) - arrow(r)_(i) )) / (abs(arrow(r)_(j) - arrow(r)_(i) )^3 ) .
+$
+
+== Gesamtladung von Objekten
+
+$
+	Q = integral _(V) rho (arrow(r)) d V = integral rho (arrow(r))d arrow(r) \
+	Q = integral.triple _(V) d x d y d z * rho (x,y,z)
+$
+
+$
+	arrow(E) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral (rho (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')^3 ) (arrow(r)- arrow(r)') d arrow(r)'
+$
+
+Das ist z.B. das El. feld von einer unendlich ausgedehnten geladenen Platte mit homogener Flaechenladungstraegerdichte $sigma$.
+
+Bestimme das Feld an $P$ durch $d q = sigma * d A$. Es folgt also fuer das Differential von $E$ 
+$
+	d E = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (sigma d A) / (b^2 ) arrow(hat(b)) \
+	d A =  r d phi d r,
+$
+wobei $b$ der Abstand der Ladung $P$ zur Platte ist.
+
+Betrachte nun die $arrow(E)$ Komponente senkrecht zur Oberflaeche der Rotationsymetrieachse
+$
+	arrow(E) (z)= E (z)hat(e)_(z) \
+	E_(z) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) sigma integral_(0)^(2 pi) d phi integral_(0)^(oo) d r * r * cos (alpha) (1) / (b^2 ) \
+	r =  a tan alpha , space (dif r) / (dif alpha) (a) / (cos ^2 alpha) , space b = (a) / (cos alpha) \
+	E =  (sigma) / (2 epsilon_0 ) integral_(0)^(pi ) cos alpha tan alpha d alpha \
+	E = (sigma) / (2 epsilon_0 ).
+$
+
+Das Feld einer unendlich ausgedehnten Platte ist also konstant im Raum.
+Bei zwei gegebenen Platten addieren sich die Felder wie bei einem Plattenkondensator.
+Die Kraft auf Ladung im Plattenkondensator in Richtung der Feldlinen ist gegeben durch
+
+$
+	 F =  q E =  q (sigma) / (2 epsilon_0 ).
+$
+
+
+Das elektrische Feld erzeugt also eine Ablenkung von Ladungen. Dies kann in einem Versuch verdeutlicht werden.
+In der Anwendung sieht man dieses Prinzip bei alten Fehrnsehern oder der Massenspektometrie.
+
+== 1.3 Elektrische Fluss und Satz von Gauss
+
+Im Prinzip ist mit den bis jetzt behandelten Gleichungen die gesamte Elektrostatik berechnet werden. Das kann recht kompliziert werden, weshalb wir nach Vereinfachungen suchen.
+
+Zuerst wird das Analogon des Luftstrom mit Geschwindigkeit $arrow(v)$ behandelt.
+Hier ist der Fluss $phi = arrow(v) * arrow(A)= v A cos alpha$ gleich Null, wenn das Geschwindigkeitsfeld homogen ist.
+
+Der elektrische Fluss durch eine Flaeche ist definiert als 
+$
+	d phi_("El") =  arrow(E) d arrow(A) \
+	==> phi_("El")  = integral_(A)  arrow(E) d arrow(A).
+$
+Dies ist ein Mass fuer die Feldlinien die duch die Flaeche $d A$ gehen.
+
+#example[
+	Kugel mit beliebigem Radius $R$ um Punktladung $Q$ (komplett eingeschlossen)
+	$
+		phi_("El") =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral (hat(r)) / (r^3 ) d A =  (Q) / (epsilon_0 ).
+	$
+	Also ist der Fluss proportional zur eingeschlossenen Ladung (fuer ein Dipol also Null).
+	Dieses Ergebnis gilt fuer alle Integrale ueber geslossene Flaechen
+	$
+	integral arrow(E) d arrow(A) = (1) / (epsilon_0 ) Q_("eingeschlossen").
+	$
+	Falls keine Ladung eingeschlossen ist, dann ist der Fluss durch die geschlossene Flaeche gleich Null. Die Beitraege der Fluesse kompensieren sich also genau weg.
+
+	Das elektrische Feld nimmt mit $(1) / (r^2 ) $ nach aussen hin ab, jedoch nimmt die Gesamtflaeche nach aussen mit $R^2 $ zu.
+]
+
+Wenn man das Teilvolumen $V$ einer Kugel, welches durch zwei Teile von Kugelschalen begrenzt ist betrachtet. Dann ist der Fluss durch den Rand von $V$ gleich Null. Da der Fluss, welcher hineinstroemt, gleich dem Inversen dessen ist welcher wieder austritt, ist der Gesamtfluss durch $V$ auch gleich Null.
+
+#theorem[
+	Satz von Gauss. Sei $A$ eine geschlossene Oberflaeche. Dann gilt
+	$
+		integral _(A)  arrow(E) d arrow(A) =  integral _(V (A)) "div"(arrow(E)) d V = (Q) / (epsilon_0 ) = integral _(V) (rho) / (epsilon_0 ) d V.
+	$
+	Da dies fuer jedes Volumen gilt folgt
+	$
+		arrow(nabla) arrow(E)= "div"arrow(E) =  (rho) / (epsilon_0 ),
+	$
+	also sind die Ladungen die Quellen bzw. die Senken von elektrischen Feldern. Das entspricht der *1. Maxwell Gleichung*.
+
+	#highlight[TODO: understand and write down this proof]
+]
+
+=== Erlaeuterungen zum Satz von Gauss
+
+Das Integral einer Ableitung (div) ueber ein Gebiet (ein Volumen) ist gleich dem wert der Funktion an seinen Grenzen (die Flaeche die das Volumen umschliesst).
+Anders ausgedrueckt das Integral ueber Quellen innerhalb eines Volumens ist gleich dem Fluss durch die Randflaechen.
+
+== 1.4 Das elektrische Potential und arbeit im elektrischen Feld
+
+Vorbemerkung zur Rotation eines Vektorfeldes.
+
+#theorem[
+	Stoke'scher Satz. Es gilt fuer jedes Vektorfeld
+	$
+		integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A =  integral_(C)  arrow(E) d arrow(s).
+	$
+	Das Integral einer Ableitung ueber ein Geiebt gleich dem Funktionswert an seinen Grenzen (der Rand der Flaeche).
+]
+