jonas/university
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Jonas Hahn
2025-04-30 22:41:54 +02:00
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commit 0d05c8ceb9
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S2/CWR/VL/CwrVL2.typ
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@@ -137,7 +137,7 @@ $
$t_(i-1) -> t_(i+1) $
Zeitumkehr
Zeitumkehr ist gegeben da,
$
arrow(x)' (t_(i+1) )=arrow(x) (t_(i+1) )\
arrow(v)' (t_(i+1) )= - arrow(v) (t_(i+1) )

58
S2/CWR/VL/CwrVL3.typ Normal file
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@@ -0,0 +1,58 @@
// Main VL Template
#import "../preamble.typ": *
#show: conf.with(
// May add more flags here in the future
num: 3
)
= Weiter ODE
Durch Hilfsvariablen koennen DGL in eine Form von erster Ordnung gebracht werden
$
dot(arrow(y)) (t)= arrow(F) (arrow(y),t).
$
Diese kann dann durch das Euler-Verfahren oder durch das "Middlestep"-Verfahren geloest werden. #highlight[TODO: what is the middlestep for differential equations?]
In der klassischen Mechanik gilt
$
dot(z)= vec(dot(q),dot(p))= vec((partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q) ) = J arrow(nabla)_(z) HH "mit" J =^("symplektisch") mat(
0, 11;
-11, 0;
).
$
Symplektisch hat etwas mit Phasenraumerhaltung zu tun. Das bedeuete, dass die Flaeche von Gebieten im Phasenraum unter einer Propagation entlang einer Funktion erhalten bleibt.
$
v = integral d z (0) = integral d z (t) abs((partial z (0)) / (partial z (t)) )
$
Flaechenerhaltend bedeutet, dass $abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )= 1$ gilt. Die Determinante ist also gleich Eins.
Zum expliziten Ausrechenen gilt
$
abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )= abs(1 + (partial dot(z) (0)) / (partial z (0))t + O (t^2 ) ) = 1 + tr (A) t + O (t^2 ) \
det e^(A t) = e ^(tr(A) t)
$
$
tr (A) = tr (dot(z) (0)) / (z (0)) = sum_(i)^(N) partial / (partial z_i ) dot(z)_(i) = sum partial / (partial z_i ) sum J_(i k) (partial^2 HH) / ( partial z_i partial z_k) = 0
$
$
dot(z)= vec(dot(q),dot(p)) = vec(+(partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q) ) = i L z \
i L = dot(q) partial / (partial q) + dot(p)partial / (partial p) \
= (partial HH) / (partial p) partial / (partial q) - (partial HH) / (partial q) partial / (partial p) \
==> (dif 0) / (dif t) = i L 0 = {HH,0} \ ==> z (t) = e^(i L t) z (0) "ist die formale Loesung"
$
Das Problem ist, dass die $p$ und $q$ Komponenten nicht kommutieren. Daher ist eine Diskretisierung der Zeitentwicklung notwendig.
Der Velocity-Verlet Algorithmus ist
$
e ^(i L Delta t) approx e^(i L_(p) (Delta t)/2) e^(i L_(q) (Delta t)/2) e^(i L_(p) (Delta t)/2) + O(Delta t^2 )\
z (Delta t) = e^(i L_(p) (Delta t)/2) e^(i L_(q) (Delta t)/2) e^(i L_(p) (Delta t)/2) (0).
$
Die Phasenraumerhaltung ist ein Mass fuer die Stabilitaet des Algorithmus.