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S2/AnaMech/VL/AnMeVL4.typ

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+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 4)
+
+= Grundlagen der Netwon'schen Mechanik
+
++ MP
++ Das Ziel ist die Trajektorie im $RR^n $ (Euklidischer Raum)
+
+Die Wahl des KS (kartesisch)
+- Wahl des Urprungs
+- Orietierung der Achsen
+$
+	arrow(r) (t)= arrow(e)_(x) + y (t) arrow(e)_(y) + z (t) arrow(e)_(z) \
+	= vec(x,y,z)_(x y z) \
+	arrow(r)= r arrow(e)_(r) \
+	r = abs(arrow(r))= sqrt(x^2 + y^2 + z^2 )
+$
+
+Wir betrachten die nicht-relativistische Mechanik, sodass die Zeit absolut ist $t = t'$.  \
+Wir fordern jedoch die Forminvarianz aller physikalischer Gesetze.
+
+Beschleunigte Bezugsysteme werden wir nicht verlangen, dass die selben Gesetze entstehen.  \
++ Die Forminvarianz soll in allen Inertialsystemen gelten.
++ $"KS"= "IS"==> "KS' mit" arrow(v)_("rel") "bewegt auch IS"$
+
+Es gilt, dass in beiden Koordinatensystemen die Kraft gleich die zeitliche Ableitung des Impulses ist.
+
+== Wechsel zwischen IS
+
+Galilei-Tafel
+$
+	t'= t \
+	arrow(r')= arrow(r)-arrow(v)_("rel") t \
+	==> "Newton II invariant"
+$
+
+== Newtons Prinzip der Bestimmtheit
+
++ AWP: $arrow(r) (t_0 ),dot(arrow(r)) (t_0 )==> arrow(r) (t), forall t $
+	- Messwerte zur Zeit $t$: $arrow(r) (r),dot(arrow(r)),...,O(arrow(r),dot(arrow(r)),t) "(QM)"$
+	$==>$ Euklidischen Raum bei mikroskopischen Kraeften
++ Effektive Probleme mit Reibung
+	- Dynamik auf gekruemmten Flaechen
+
+Mathematische Ungenauigkeiten kommen durch eingefuehrte Idealisierungen.
+
+== Newton II
+In der mikroskopischen Physik gilt die Gleichung
+$
+	m dot.double(arrow(r))= arrow(f) (r,dot(arrow(r)),t).
+$
+Die Masse und die Kraefte kommen aus experimentellen Beobachtungen.
+
+== Kraefte
+
+Es gibt jetzt $N$ MP mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(i) $.
+$
+	m_i dot.double(arrow(r))_(i) = arrow(f)_(i) (arrow(r)_(j) ,dot(arrow(r))_(j) ,t), j != i.
+$
+Das ergibt 3N Gleichungen.
+
+WICHTIG: Naeherung, welche immer verwendet wurde, die des abgeschlossenen Systems.
+
+Mikroskopisch ufndamentale Kraefte sind die #underline[Gravitaion] und die #underline[Elektro-/Magnetostatik]. Deren Potential ist Proporitional zu $r^(-1) $, d.h. sie sind ein radial Potiential. \
+Die daraus resultierende Kraft ist eine Paarkraft
+$
+	arrow(f)_(i j) = arrow(f)_(i j) (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )).
+$
+
+Actio $= $ Reactio: $arrow(f)_(i j) = -arrow(f)_(j i) $.
+
+Starke Version von Actio gleich Reactio: $arrow(f)_(i j) =  f_(i j) (abs(arrow(r)_(i) -arrow(r)_(j) ))arrow(e)_(i j) , space  f_(i j) = -f_(j i) , space arrow(e)_(i j) = (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) / (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )) $
+
+
+Die kleinen $f$ sind die Kraefte, welche die MP gegenseitig auf sich ausueben und die grossen $F$ sind die globalen externen Kraefte. \
+Allgemeine Form
+$
+	arrow(f)_(i) = sum_(j != i)^(N) arrow(f)_(n) + arrow(f)^("ext") _(i).
+$
+Fuer ein abgeschlossenes System gilt die Naeherung
+$
+	arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(0) space forall i.
+$
+
+= Abgeschlossene Systeme
+- N MP $==>$ $m_i $
+- $m_i != m_i (t)$ Q: Was bedeutet das?
+- Starkes Actio gleich Reactio
+
+== Massenschwerpunkt
+$
+	arrow(R)= (1) / (M) sum_(i=1)^(N) m_i arrow(r)_(i) , space M = sum m_i \
+	M dot.double(arrow(R))= sum m_i dot.double(arrow(r) )_(i) = sum (sum _(j != i) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) )= sum arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(F)^("ext") \
+	M dot.double(arrow(R))= arrow(F)^("ext") 
+$
+nur geschlossen, falls $arrow(F)^("ext") = "const"$.
+
+$
+	arrow(R) (t)= arrow(V)_(0) (r)+ arrow(r)_(0) 
+$
+
+Damit haben wir nur noch $6N - 6$ Gleichungen zu loesen.
+
+= Gesamtimpuls
+$
+arrow(p)= sum  arrow(p)_(i) =  sum  m_i dot(arrow(r))_(i) \
+dot(arrow(p))= sum m_i dot.double(arrow(r))_(i) =  M dot.double(arrow(R))
+$
+
+$
+	arrow(F)^("ext") = 0 <==> (dif arrow(p)) / (dif t) = 0 , space arrow(p) "erhalten"
+$
+
+== Gesamtdrehimpuls
+
+$
+	arrow(L)&= sum arrow(l)_(i) = sum (arrow(r)times arrow(p)) \
+	&= sum m_i (arrow(r)_(i) times dot(arrow(r)))
+$
+
+$
+	dif / (dif t) arrow(L)= sum  m_i (dot(arrow(r))times dot(arrow(r))+ arrow(r)times arrow(r))= sum arrow(r)times (sum _(i != j) arrow(f)_(i j) +  arrow(f)^("ext") _(i) )\
+	sum arrow(r)times arrow(f)_(i j) = 1/2 sum  (arrow(r)times arrow(f)+ arrow(r)times arrow(f))=  1/2 sum (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )times arrow(f)_(i j) =  arrow(0)
+$
+
+Abgeschlossenes System: $(dif arrow(L)) / (dif t) = arrow(0)$
+
+$arrow(f)^("ext") _(i) != arrow(0) ==> dot(arrow(L))=  sum_(i=1)^(N) (arrow(r)_(i) times arrow(f)^("ext") _(i) )= arrow(N)$
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+Naechsten Montag weiter in den abgeschlossenen Systemen. Danach die zentral Potentiale.
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