// 12/18/2024

= Gekoppelte Schwingungen

Zwei Fadenbendel mit Kopplungsfeder.

Es gelten die Bewegungsleichungen:

$ m_1 dot.double(x_1) = - D_1 x_1 - D_(1 2) (x_1 - x_2) \
  m_2 dot.double(x_2) = - D_2 x_2 - D_(12) (x_2-x_1) $

diese stellen ein gekoppeltes DLG-System dar und koennen nur gemeinsam geloest werden.

Spezialfall: $m_1 = m_2 = m$


Fall: $A_1 = A_2 = A$

$ x_1 = (psi^+ + psi^-) = ... = 2A &cos((omega_1 - omega_2)/2 t + (phi_1 - phi_2)/2) dot \ &cos((omega_1 + omega_2)/2 t + (phi_1 + phi_2)/2) $

d.h. die Schwingungsenergie wird zwischen den beiden Pendeln hin- und hergereicht.


#table(
  columns:2,
  [*gleichphasige Schwingung*], [*gegenphasige Schwingung*],
  [Feder nicht beansprucht], [],
  $psi^- = 0$, [],
  [phi_1 - phi_2 = phi]
)

Bemerkung: bei nicht-identischen Pedeln: unvollstaendiger Energie-Uebertrag

== Beispiele

Zwei Massen $m_1, m_2$ mit zwei Faeden mit laenge $l$ miteinander verbunden und haengend.

$ l = l_1 = l_2 \
m_1 >> m_2 $

Energiebetrachtung $m_1/2 v_(1_"max")^2 =^"EES" m_2/2 v_(2_max)^2$


= Mechanische Wellen

MP $m_1$ gekoppelt an $m_i$ ($k$ MP).

+ Schwingung breitet sich im Raum aus
+ Schwingungsenergie wird transportiert (keine Materie)

z.B. Schallwellen, Wasserwellen

Wir betrachten die Ausbreitung in #underline[einer Richtung].

== Darstellung harmonischer Wellen

$ xi(z, t) = A sin(omega(t-z/v)) = A sin(omega t - k z), quad k = 2 pi/lambda, v eq "Phasengeschwindigkeit" $

Hier ist $xi$ i.A. nicht der Ort, kann z.B auch der Schallauch sein, el. Feldstaerke.

Wellenlaenge $lambda$: Abstand $Delta z$ zweier Punkte, fuer die die Auslenkung $xi(z_1, t) = xi(z_2,t)$ zur gleichen Zeit $t$

Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die Phase ausbreitet $v = omega/k = 2 pi v lambda/(2 pi) = v lambda$

$ xi(z,t)&=c e^(i(omega z - k z)) + c^* e^(-i(omega t - k z)) \ &=A cos(omega t-k z)+B sin(omega t-k z) \ "mit" A&=c+c^* quad B=i(c-c^*) $

an jedem festen Ort $z=z_0$: zeitlich periodische harmoische Schwingung 

$ xi(t)=A sin(omega t-k z_0)=A sin(omega t-phi) $

zu jedem festen Zeitpunkt:
