// Main VL template
#import "../preamble.typ": *

// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules

// Main settings call
#show: conf.with(
	// May add more flags here in the future
	num: 5,
	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
	date: datetime.today().display(),
	//date: datetime(
	//	year: 2025,
	//	month: 5,
	//	day: 1,
	//).display(),
)

= Uebersicht

Allgemeine Loesung quadratischer Lagrangefunktionen

$
	L =  1/2 [dot(arrow(q))^(T) tilde(T)dot(arrow(q)) - arrow(q)^(T) tilde(V)arrow(q)] =  1/2 sum _(i k) [tilde(T)_(i k) dot(q)_(i) dot(q)_(k) - tilde(V)_(i k) q_(i) q_(k)  ],
$
wobei $k =  1, ..., f$ und die beiden Matrizen reel, quadratisch und symmetrisch sind. Dadurch sind diese diagonalisierbar.

Formal ist die Trafo
$
	arrow(q) =  C arrow(Q)
$
gesucht, mit
$
	C^(T) tilde(T) C =  E \
	C^(T) tilde(V)C =  Omega^2,
$
wobei $Omega^2 $ dann eine diagonalisierte Matrix ist mit quadratischen Eintraegen.
Nun wird eine Hauptachsentrafo, die V und T gleichzeitig diagonalisiert.
Wir betrachten $omega_(r) ^2 != omega_(s) ^2 $ mit
$
	(- omega_(r) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(r) = arrow(0) \
	(- omega_(s) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(s) = arrow(0) \
	tilde(T)^(T) = tilde(T) , space tilde(V)^(T) = tilde(V) , space T >= 0 \
	=> tilde(T)_(r s)  =   arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(s)  =  0 , space arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(r)  > 0.
$
Nun werden die EW gefunden
$
	(- omega_(n) tilde(T) +  tilde(V))arrow(c)_(n) =  arrow(0) "ist unterbestimmtes LGS" \
	=> arrow(q) (t) =  sum _(n = 1) ^(f) arrow(c)_(n) [a_(n) exp(i omega_(n) t) + b_(n) exp(- i omega_(n) t ) ] \
	arrow(q) =  sum _(n) arrow(c)_(n) Q_(n) =  Q_(n) => dot.double(Q) +  omega_(n) ^2 Q = 0.
$

Nun schreiben wir fuer die Lagrangefunktion, dass
$
	L (Q,dot(Q)) = L (q (Q), dot(q) (dot(Q))) &= 1/2 [dot(arrow(Q))^(T) C^(T) tilde(T) C dot(arrow(Q)) - arrow(Q)^(T) C^(T) tilde(V) C arrow(Q)] \
	&= 1/2 sum _(n) (dot(Q)^2 _(n) - omega_(n) ^2 Q_(n) ^2  ) =  sum _(n) L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ).
$
Das ergibt dann die entkoppelten Lagrangefunktionen
$
	L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ) =  1/2 (dot(Q)^2_(n)- omega_(n) ^2 Q_(n)   ) <=> dot.double(Q)_(n) +  omega_(n) ^2 Q_(n) = 0.
$
Dabei gibt es mehrere Erhaltungsgroessen wie die Gesamtenergie und auch die Energie pro Mode.

= Hamilton'sche Mechanik

== Hamiltonfunktion und kanonische BWGL

Bisher haben wir die Lagrangefunktion mit den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Geschwindigkeiten betrachtet. Diese hat dann $2 f +  1$ Argumente, da sie
im Allgemeinen auch von der Zeit abhaengen kann.
Wir definieren die Hamiltonfunkition als $H: P -> RR$. Der Phasenraum ist dabei von den generalisieren Koordinaten und den generalisieren Impulsen aufgespannt.
Der Zustand wird hier durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben. Es gilt dabei wie gehabt fuer den generalisierten Impuls
$
	p_(k) =  (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) => dot(q)_(k) =  dot(q)_(k) (q, p, t).
$
Diese Implikation muss vorrausgesetzt werden. Die Hamiltonfuntkion ist dabei als das negative der Legendretransformation der Lagrangefunktion definiert.
#definition[
	Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch
	$
		H = sum dot(q)_(k) (q, p, t) p_(k) - L (q, dot(q) (q, p, t), t).
	$
	Dieses Objekt ist immer genau dann erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhaengt.
]

#example[
	Ein freies Teilchen in polarkoordinaten kann durch die Lagrangefunktion
	$
		L =  m/2 (dot(rho)^2 +  rho^2 dot(phi)^2  )
	$
	beschrieben werden. es folgt fuer den generaliserten Impuls
	$
		p_(phi)  =  m rho^2 dot(phi) \
		p_(rho) =  m dot(rho).
	$
	Dadurch ergibt sich fuer die Hamiltonfunktion
	$
		H &=  p_(phi)  dot(phi) +  p_(rho) dot(rho) - L =  p_(phi) ^2 1/(m rho^2 ) +  p_(rho) ^2 1/m -  m/2 (p_(phi) ^2 /m^2 +  p_(phi) ^2 /(m^2 rho ^(4) ) rho^(2) ) \
		&= 1/(2 m) [p_(phi) ^2 /rho^2 +  p_(rho) ^2 ].
	$
]

== Kanonische BWGL oder Hamiltonsche BWGL

Wir haben gegeben durch die Definition
$
	d H =  (partial H) / (partial q_(k) ) d q_(k) +  (partial H) / (partial p_(k) ) d p_(k) +  (partial H) / (partial t)  d t.
$
Aus der Definition von H folgt dann
$
	(partial H) / (partial q_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) )  - (partial L) / (partial q_(k) ) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) = -  (partial L) / (partial q_(k) )  = - dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  - dot(p)_(k), \
	(partial H) / (partial p_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) )  + dot(q)_(k)  - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) )   = dot(q)_(k), \
	(partial H) / (partial t) &= sum _(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) p_(l) - sum _(l) (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) - (partial L) / (partial t) =  - (partial L) / (partial t).
$
Als kanonische BWGL werden dann die Beziehungen
$
	(partial H) / (partial q_(k) )  =  - dot(p)_(k) , space (partial H) / (partial p_(k) ) =  dot(q)_(k)  , space k =  1, ..., f,
$
bezeichnet.

#example[
	Gegeben sei
	$
		L (x_1, x_2, x_3, dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) =  m/2 dot(arrow(r)) ^2  -  V (arrow(r)).
	$
	Es folgt dann ohne Rechnung
	$
		H =  1/(2 m) [p_(1) ^2 +  p_(2) ^2 + p_(3) ^2 ] +  V (arrow(r)) \
		dot(p)_(i)  =  - (partial H) / (partial x_(i) )  =  - (partial V) / (partial x_(i) )  , space i =  1, 2, 3 , space dot(x)_(i)  =  (partial H) / (partial p_(i) )  =  p_(i) /m.
	$
	Fuer die Impulse ergibt sich dann
	$
		dot(arrow(p)) =  -  arrow(nabla) V \
		arrow(p) =  m dot(arrow(r)).
	$
	Im Allgemeinen ist fuer kartesische Koordinaten der verallgemeinerte Impuls nicht gleich die Masse multipliziert it der verallgemeinerten Geschwindigkeit.
]
#example[
	Fuer den harmonischen Oszillator ergibt sich dann
	$
		L =  m/2 dot(q)^2 - m/2 omega_(0) ^2  q^2 => H (q, p) =  p^2 /(2 m) +  1/2 m omega_(0) ^2  q^2 .
	$
	Jetzt koennen wir die kanonischen BWGL ausrechnen
	$
		(partial H) / (partial q)  =  m omega_0 ^2 q =  - dot(p) \
		(partial H) / (partial p)  =  p/m =  dot(q).
	$
	Es folgt dann fuer das Gleichungssytem
	$
		vec(dot(q), dot(p)) =  mat(
			0, 1/m;
			- m omega_0 ^2 , 0;
		) vec(q, p).
	$
	Ansatz ist dann
	$
		vec(q, p) =  arrow(c) e ^(lambda t) =>  vec(dot(q), dot(p)) =  lambda arrow(c) e ^(lambda t)  =  A arrow(c) e ^(lambda t) \
		=> A arrow(c) =  lambda arrow(c) => det mat(
			- lambda, 1/m;
			- m omega_0 ^2 , - lambda;
		) = 0 => lambda^2 +  omega_0 ^2 = 0 => lambda =  +- i omega_0.
	$
	In der Uebung folgt dann, dass
	$
		vec(q, p) =  a vec(1, i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t)  +  b vec(1, - i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) .
	$
	Dadurch ergibt sich dann fuer $q$ und den Impuls
	$
		q =  a e ^(i omega_0 t)  +  b e ^(-  i omega_0 t) \
		p =  i m omega_0 (a e ^(i omega_0 t) - b e ^(-  i omega_0 t) ).
	$
	Das waere eine Loesung fuer die Phasenraumtrajektorien.
]


