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#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(
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	num: 4
)

= Uebersicht

Wiederholung von dem Tropfenversuch und der allgemeinen Behandlung des Dipols und des Dipolmomentes $arrow(p)= q arrow(d)$. \
Es gilt die Naeherung fuer grosse $r$ 
$
	arrow(E)_("Dipol") approx (1) / (r^2 ).
$
Das Drehmoment $arrow(D)$ eines Dipols im homogenen elektrischen Feld $arrow(E)= arrow(E) (r)$ ergibt sich zu
$
	arrow(D)= arrow(r)_(1) times arrow(F) + arrow(r)_(2) times arrow(F)= arrow(p)times arrow(E).
$

Aus der Gleichung der Kraft im elektrischen Feld laesst sich folgern, dass
$
	arrow(E)= (arrow(F)_(12) ) / (q), \
	arrow(E)_(j) = sum_(i=1)^(N) (q_i ) / (4 pi epsilon_0 ) ((arrow(r)_(j) - arrow(r)_(i) )) / (abs(arrow(r)_(j) - arrow(r)_(i) )^3 ) .
$

== Gesamtladung von Objekten

Die Gesamtladung kann durch ein Volumenintegral ueber die Ladungsdichte bestimmt werden. Analog zur Bestimmung der Masse.

$
	Q = integral rho (arrow(r)) d V = integral.vol  rho (arrow(r))d arrow(r) \
	Q = integral.vol d x d y d z * rho (x,y,z)
$

$
	arrow(E) (arrow(r)) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral (rho (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')^3 ) (arrow(r)- arrow(r)') d arrow(r)'
$

Das ist z.B. das el. Feld von einer unendlich ausgedehnten geladenen Platte mit homogener Flaechenladungstraegerdichte $sigma$.

Bestimme das Feld an $P$ durch $d q = sigma * d A$. Es folgt also fuer das Differential von $E$ 
$
	d E = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (sigma d A) / (b^2 ) arrow(hat(b)) \
	d A =  r d phi d r,
$
wobei $b$ der Abstand der Ladung $P$ zur Platte ist.

Betrachte nun die $arrow(E)$ Komponente senkrecht zur Oberflaeche der Rotationsymetrieachse
$
	arrow(E) (z)= E (z)hat(e)_(z) \
	E_(z) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) sigma integral_(0)^(2 pi) d phi integral_(0)^(oo) d r * r * cos (alpha) (1) / (b^2 ) \
	r =  a tan alpha , space (dif r) / (dif alpha) (a) / (cos ^2 alpha) , space b = (a) / (cos alpha) \
	E =  (sigma) / (2 epsilon_0 ) integral_(0)^(pi ) cos alpha tan alpha d alpha \
	E = (sigma) / (2 epsilon_0 ).
$

Das Feld einer unendlich ausgedehnten Platte ist also konstant im Raum.
Bei zwei gegebenen Platten addieren sich die Felder wie bei einem Plattenkondensator.
Die Kraft auf Ladung im Plattenkondensator in Richtung der Feldlinen ist gegeben durch

$
	 F =  q E =  q (sigma) / (2 epsilon_0 ).
$


Das elektrische Feld erzeugt also eine Ablenkung von Ladungen. Dies kann in einem Versuch verdeutlicht werden.
In der Anwendung sieht man dieses Prinzip bei alten Fehrnsehern oder der Massenspektometrie.

== 1.3 Elektrische Fluss und Satz von Gauss

Im Prinzip ist mit den bis jetzt behandelten Gleichungen die gesamte Elektrostatik berechnet werden. Das kann recht kompliziert werden, weshalb wir nach Vereinfachungen suchen.

Zuerst wird das Analogon des Luftstrom mit Geschwindigkeit $arrow(v)$ behandelt.
Hier ist der Fluss
$
	phi = arrow(v) * arrow(A)= v A cos alpha
$
gleich Null, wenn das Geschwindigkeitsfeld homogen ist.
Der elektrische Fluss durch eine Flaeche ist definiert als 
$
	d phi_("El") =  arrow(E) d arrow(A) \
	==> phi_("El")  = integral_(A)  arrow(E) d arrow(A).
$
Dies ist ein Mass fuer die Feldlinien die duch die Flaeche $d A$ gehen.

#example[
	Kugel mit beliebigem Radius $R$ um Punktladung $Q$ (komplett eingeschlossen)
	$
		phi_("El") =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral (hat(r)) / (r^3 ) d A =  (Q) / (epsilon_0 ).
	$
	Also ist der Fluss proportional zur eingeschlossenen Ladung (fuer ein Dipol also Null).
	Dieses Ergebnis gilt fuer alle Integrale ueber geslossene Flaechen
	$
	integral arrow(E) d arrow(A) = (1) / (epsilon_0 ) Q_("eingeschlossen").
	$
	Falls keine Ladung eingeschlossen ist, dann ist der Fluss durch die geschlossene Flaeche gleich Null. Die Beitraege der Fluesse kompensieren sich also genau weg.

	Das elektrische Feld nimmt mit $(1) / (r^2 ) $ nach aussen hin ab, jedoch nimmt die Gesamtflaeche nach aussen mit $R^2 $ zu.
]

Wenn man das Teilvolumen $V$ einer Kugel, welches durch zwei Teile von Kugelschalen begrenzt ist betrachtet. Dann ist der Fluss durch den Rand von $V$ gleich Null. Da der Fluss, welcher hineinstroemt, gleich dem Inversen dessen ist welcher wieder austritt, ist der Gesamtfluss durch $V$ auch gleich Null.

#theorem[
	Satz von Gauss. Sei $A$ eine geschlossene Oberflaeche. Dann gilt
	$
		integral _(A)  arrow(E) d arrow(A) =  integral _(V (A)) "div"(arrow(E)) d V = (Q) / (epsilon_0 ) = integral _(V) (rho) / (epsilon_0 ) d V.
	$
	Da dies fuer jedes Volumen gilt folgt
	$
		arrow(nabla) arrow(E)= "div"arrow(E) =  (rho) / (epsilon_0 ),
	$
	also sind die Ladungen die Quellen bzw. die Senken von elektrischen Feldern. Das entspricht der *1. Maxwell Gleichung*.

]

#proof[
	#highlight[TODO: understand and write down this proof]
]

=== Erlaeuterungen zum Satz von Gauss

Das Integral einer Ableitung (div) ueber ein Gebiet (ein Volumen) ist gleich dem wert der Funktion an seinen Grenzen (die Flaeche die das Volumen umschliesst).
Anders ausgedrueckt das Integral ueber Quellen innerhalb eines Volumens ist gleich dem Fluss durch die Randflaechen.

// Hier wurde noch der Satz von Stokes erwaehnt

