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= Uebersicht

Ultraschall in festen und fluessigen Median oder in Gewebe fuer die medizinische Diagnostik.

Fuer die medizinische Diagnostik sind vor allem Frequenzen im Bereich von einigen MHz interessant unterhalb 2 MHz ist die Aufloesung zu gering oberhalb ist die Absorption zu stark.

Die BWGL fuer Schall muss linearisiert werden, da sich die Dichte veraendert.

== Schallwellen in Festkoerpern

Im Festkoerper haben wir noch weniger Dichteaenderung. 
Auslenkung $xi (z, t)$ im Volumenelement $dif V =  A dif z$ mit der Spannung $sigma =  E (diff xi) / (diff z) $ und der Spannungsdifferenz $sigma (z +  dif z, t) -  sigma (z, t)$ und eine Kraftdifferenz $dif F$ bedingt eine Beschleunigung des Volumenelements 
$
  dif F =  A dif sigma =  A (diff sigma) / (diff z ) dif z \ 
  rho (diff ^2 xi) / (diff t^2 )  dif V =  A E (diff ^2 xi) / (diff z^2 )  dif z ==> (diff ^2 xi) / (diff t^2 )  =  sqrt(E/rho) ^2  (diff ^2 xi) / (diff x^2 )  \ 
  c =  sqrt(E/rho) \, space sqrt(T/s).
$
Es gibt noch mehr Freiheitsgerade also die Polarisation. Fluessigkeiten koennen nicht geschert werden.

Klassifizierende Variablen fuer einen Festkoerper.

Alle moeglichen Geometrien koennen beim Schwingen eines Festkoerpers eine Rolle spielen. Zustaende sind im Verzerrungsfeld dargestellt und die Elastizitaet in einem Tensor hoher Stufe.

Die stationaere Wellengleichung haengt nicht von der Zeit ab 
$
  arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) +  k^2 u (arrow(r)) =  0 \ 
  u : RR^3 ->  RR \ 
  phi =  (arrow(r), t).
$

Hier ist $u$ die Amplitude. Diese folgt aus dem Sperarationsansatz.

= Fourier Zerlegung

Es gilt fuer eine periodische Funktion 
$
  psi (t) =  C cos (omega t +  phi) =  Re (C e ^(i omega t +  phi) ) =  A cos (omega t ) +  B sin (omega t) =  Re [Z e ^(i omega t ) ] \ 
  A =  C cos phi \, space  B =  -  C sin phi \, space  C ^2  =  A ^2  +  B ^2  \, space Z =  A -  i B  \ 
  f =  440"Hz" \, space  phi =  110 degree \, space  C = 2.
$
Als Ueberlagerung 
$
  psi (t) =  Re [Z_(1) e ^(i omega_1 t) +  Z_(2) e^(i omega_2 t) ] \, space f_1  = 440"Hz" \, space f_2 =  610"Hz".
$
$Z$ sind die Fourierkoeffizienten und lassen sich aus $psi (t)$ bestimmen durch eine Fourierzerlegung.

$
  psi (t) =  Re [sum_(n=1)^(N) Z_(n) e ^(i omega_(n) t) ]
$

Falls wir eine beliebige Kombination haben. Das Signal $f (t)$sei periodisch mit Periode $T$, dann gilt mit $omega_1 =  (2 p)/T$ und $omega_(n) =  n omega_(1) $
$
  f (t) =  sum_(n = - oo)^(oo)  c_(n) e ^(i omega_(n) t) \ 
  "reele" f ==> f (t) =  a_0 +  sum_(n=1)^(oo) {a_(n) cos (omega_(n) t) +  b_(n) sin (omega_(n) t) } \ 
  c_(n)  =  1/T integral _(t_0 ) ^(t_0 + T) f (t) e ^(i n omega_(n) t) dif t.
$
Addieren von Zeigern 
$
  psi (t) =  C cos (omega t +  phi) =  1/2 {Z e ^(i omega t) +  Z^(star ) e^(- i omega t )   }.
$
Der Phasor erlaubt auch eine Darstellung durch negative Frequenzen.

= Physik der Musikinstrumente

Falls Toene in einem ganzzahligen Verhaeltnis stehen, dann hoert sich der Ton harmonisch an.

Typen von Instrumenten
- Idiophone
- Resonante
- Aerophone

Man kann sich die Eigenmoden des Resonanzkoerpers einer Geige anschauen.

Wir definieren die Tor-Funktion durch 
$
  Pi (x) =  cases(
    0 .. abs(x) > 1/2, 1 .. abs(x) <= 1/2.
  )\
$

$
  tilde(Pi) (nu) =  integral_(- oo)^(oo) dif x Pi (x) e ^( -  i 2 pi nu x)  \ 
  integral_(- 1/22)^(1/2) dif x e ^(-  i 2 pi nu x) =  [(1) / (- i 2 pi nu) e ^( -  i 2 pi nu x) ]^(1/2) _(- 1/2)  = 1/(pi nu) sin (pi nu) = sinc (pi nu) "Sinus Cardinalis".
$

= Dispersionsgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit

Die Phasengeschwindigkeit $c$ beschreibt die Bewegung der Orte gleicher Phase bei einer monochromen Welle 
$
  e ^(i (k x -  omega t))  =  e ^(i k (x - c t))  \, space  omega_i  =  c k_i.
$
Betrachte jetzt eine Ueberlagerung
$
  psi prop e ^(i (k_1 x -  omega_1 t)) +  e ^(i (k_2 x -  omega_2 t)) \ 
  overline(k):= (k_1 +  k_2 ) / (2) \, space Delta k =  (k_1 -  k_2 ) / (2)  \, space overline(omega) := (omega_1 +  omega_2 ) / (2)  \, space Delta omega :=  (omega_1 -  omega_2 ) / (2)  \ 
  psi = e ^(i( (overline(k) +  Delta  k)x -  ( overline(omega)+  Delta  omega))t) + e ^(i( (overline(k) -  Delta  k)x -  ( overline(omega)-  Delta  omega))t) \ 
  = underbrace(e ^(i (overline(k)x -  overline(w) t)), "Traeger-Welle") * underbrace(2 cos (Delta k x -  Delta omega t), "Einhuellende-Welle") \, space "fuer" Delta k << overline(k) \, space  Delta omega << overline(omega) "aehnlich wie bei Schwebung".
$
Phasen von TW bewegen sich mit $c_("phase") =  overline(omega)/overline(k) approx (omega_1 ) / (k_1 ) approx   omega_2 /k_2   $.
Phasen von EW bewegen sich mit $c_("group") = (Delta omega) / (Delta k) approx (diff omega) / (diff k) $. Bei linearer Dispersionsrelation 
$
  omega = omega (k) \, space omega =  c k ==> (diff omega) / (diff k) = c.
$
Nur bei dieser ist $c_("phase") = c_("group") $.

Die Phasengeschwindigkeit kann groesser als die Lichtgeschwindigkeit sein?
