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)

= Uebersicht

Hilbertraeume und ONS fuer PDEs. Fouriertrafo fuer die Loesung von PDEs. 

Harmonischer Oszillator 
$
  (dif ^2  y) / (dif x ^2 ) +  omega ^2 y = 0 \, space y =  A e ^(i k x) \ 
  A e ^(i k x)  (-  k^2 +  omega^2 ) = 0 ==> k =  +- omega ==>  y = A e ^(i omega x)  +  beta e^(- i omega x).
$

Motivation der Fourertransformation. Sei $u$ eine Funktion
$
  P: u |-> - i u^(1)  \ 
  Q: u |-> x * u.
$
Wir suchen einen Funktionenraum und eine lineare Transformation $u |-> hat(u)$, sodass $hat(P u) = Q hat(u)$.

Aus einer DGL soll ein algebraischer Ausdruck werden. Mit dem Ansatz 
$
  hat(u) =  integral K (x, xi) u (x) dif x.
$
Welche Anforderungen brauchen wir an $u$, sodass das Integral definiert ist. Es soll also partielle Integration durchfuehrbar sein 
$
   i xi hat(u) (xi) =  integral i xi e ^(i x xi)  u (x) dif x =  integral e ^(i x xi) (+ u') (x) dif x = - underbrace([e ^(- i xi x) u (x)]_(- oo) ^(oo), =^(!)  0) +  integral e ^(- i x xi) partial _(x) u dif x =    hat(u)' (xi).
$ 

Um den bei der partiellen Integration auftretenden Randterm zu eliminieren, wird die Fourertransformation auf $L^(1) $ definiert.

Q: Warum faellt dieser Term bei $L^(1) $ Funktionen weg?

#theorem[
  Riemann-Lebesgue-Lemma.

  Es gilt 
  $
    lim_(abs(xi) -> oo) hat(u) (xi) = 0.
  $
]

Die Fourertransformation ist immer stetig. Im allgemeinen ist die Fourertransformation wie hier noch nicht integrierbar.

Einfuehrung der Multi-Index Notation mit einem Produkt aber keine Summe. Es gilt dann 
$
  P^(alpha) u (x) = (- i)^(abs(alpha)) partial^(alpha)  u (x).
$

#lemma[
  Falls $u in C^(k) (RR^(n) )$ und $P^(alpha) in L^(1) (RR^(n) ) space forall alpha : abs(alpha) <= k$, so ist 
  $
    hat(p ^(alpha) u ) =  Q^(alpha)  u \, space abs(alpha) <= k \ 
    abs( hat(u) (xi)) <= C (1) / (1 +  norm(xi) k).
  $
  Falls $u$ kompakt getragen ist, so kann $hat(u)$ in eine ueberall konvergente Potenzreihe entwickelt werden 
  $
    hat(u) (xi) =  sum c_(k) (xi - xi_0 )^(k).
  $
]

#proof[
  Betrachte 
  $
    hat(P^(alpha)  u) =  Q^(alpha)  hat(u) =  x ^(alpha)  hat(u)
  $
]
