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)

= Uebersicht

Poisson ($Omega =  "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space  Delta  u =  0 \, space  u | _(partial _(Omega) ) :=  f (RR)$).
Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung 
$
  u (x) =  integral _(norm(y) = 1)  K (x, y) f (y) dif y,
$
mit dem Integral-Kern 
$
  K (x, y) =  (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi)  (1) / (norm(x - y)^2 ) . 
$
Fuer $norm(x)=  1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!)

Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) =  overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!)

Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem.

#theorem[
  Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt 
  $
    min_(partial Omega) u <=  u <=  max _(partial Omega) u.
  $
  Gilt auf $Omega$  nur $Delta u >= 0$ so ist $u <=  max_(partial Omega) u$.
]

Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter  C^2  (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht.

#proof[
  Setzte $v (x) =  u (x) +  epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also 
  $
    tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v)  (x_0 )_(j j)  =  (partial _(1) ^2  +  ... +  partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \ 
    =  Delta u (x_0) +  2 n epsilon > 0 \ 
    ==>  x_0 in partial Omega and u (x) <=  v (x) <=  v (x_0 ) =  u (x_0 ) +  epsilon norm(x_0 )^2.
  $
  $epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$.
]
#definition[
  Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung 
  $
    partial _(h) u (x_0 ) =  f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega.
  $
  Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$.
]

#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe]

= Banach und Hilbertraeume 

Wiederholung der Grundlagen

#definition[
   Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert.
]

#definition[
   Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst 
  $
    norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H.
  $
]

Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung.

Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$ 
$
  norm(v +  w)^2 +  norm(v - w)^2  =  2 norm(v)^2  +  2 norm(w)^2  space forall v, w in V.
$

Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion.

== Vervollstaendigung

EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert.

Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig.

#definition[
  Eine lineare Abbildung $f: X ->  Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt 
  $
    norm( f (x))_(Y) =  norm(x)_(X)  space forall x in X.
  $
  Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch 
  $
    lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) =  lr(angle.l x, y angle.r)_(X).
  $
]

Jede Isometrie ist injektiv.

#example[
  Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen
]

#remark[
  Lineare Abbildungen $l^2 ->  l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben.
]

Basis fuer den $l^2 $ ist
$
  e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union  {0}.
$
Der Shift-Operator ist dann 
$
  s(e_(i)) =  e_(i +  1) \ 
  M_(s) := mat(
    0, 0, 0, ...;
    1, 0, 0, ...;
    0, 1, 0, ...;
    dots.v, dots.v , dots.v , ;
  ).
$
