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)

= Uebersicht

Das sinnliche Erfassen der Themen ist wichtig. Dafuer brauchen wir die Experimente.

Ausdruecke fuer verschiedene Arten von Wellen.

Was fuer Frequenzen
$
  nu =  ("Anzahl der Schwingungen") / ("Zeiteinheit" t) 
$
treten in der Natur auf?

Das ebene Pendel als Wiederholung.

Das Pendel wird durch $psi_(0) $ ausgelenkt. Es hat die Laenge $l$ und wird durch die Gravitationskraft nach unten beschleunigt.

$
  psi (t) =  psi_(0) cos (omega t +  phi) , space psi_(0)  << pi/2 \
  omega ^2  =  g/l , space  omega (psi_(0) ) "const." \
  omega =  2 pi nu , space  nu =  1/T \
  F =  - k (z_(n) - z_(n - 1) ) +  k (z_(k +  1) -  z_(n) ) =  k z_(n +  1)  -  2 k z_(n)  +  k z_(n - 1) .
$
Es gilt dann
$
  z_(n +  1)  =  z _(n - 1)  =  0 \
  => F =  -  2 k z =>  omega ^2  =  (z k )/m
$
Dieses Masse Feder Sysetm hat also eine Loesung dieser Form und schwingt linear.

Wir haben also 2 unabhaengige spezielle Loesungen zum Beispiel
$
  psi_(1)  =  cos (omega t) and psi_(2)  =  sin (omega t) \
  psi =  A psi_(1)  +  B psi_(2) 
$
als Linearkombination.

Es werden also 2 Parameter benoetigt um beliebige Anfangsbedinungen
$
  psi (t =  0)and dot(psi) (t =  0) .
$

Es folgt also
$

  psi (t) =  A_(1)  cos (omega t) +  A_(2)  sin (omega t) =  A cos (omega t +  phi) , space "als reele Loesung" \
psi (t) =  A e ^(i omega t) =  abs(A) e ^(i psi_(0) ) e ^(i omega t) =  abs(A) e ^(i (omega t +  phi)) , space "als komplexe Loesung"
$

Als Strategeie ist dann zuerst eine komplexe Loesung zu finden und dann davon den Realteil und Imaginaerteil zu nehmen
$
  e ^(i omega t)  ->  cos (omega t) and sin (omega t).
$
Es kann auch eine Linearkombination aus den komplexen Loesungen gebildet werden
$
  e ^(i omega t)  +  e ^( -  i omega t)  =  2 cos (omega t) \
  - i ( e ^(i omega t) -  e ^(-  i omega t) ) =  2 sin (omega t).
$

Durch die Wiederholung ist das Tempo etwas schneller und ich kann nicht alles genau mitschreiben.

= Gekoppelte Schwingungen und Normalmoden

Wir betrachten ein System mit 2 Freiheitsgeraden

Es befinden sich zwei Massen mit drei Federn zwischen zwei Waenden mit Positionen $x, y$ und Federkonstanten $K, k$.

Stelle die Bewegungsgleichung auf
$
  dot.double(x) =  -  (k) / (m) x -  (k) / (m)  (x - y) \
  dot.double(y) =  - K/m y -  k/m (y -  x) \
  omega_(c) ^2 := k/m , space omega_(0)  =  K/m +  k/m \
  dot.double(x) =  - omega_0 ^2  x +  omega _(c)  ^2 y \
  dot.double(y) =  omega _(c) ^2 x -  omega _(0)  ^2  y.
$
Als Ansatz laesst sich dann waehlen
$
  x =  A cos (omega t +  phi) \
  y =  B cos (omega t +  phi_(0)  ).
$

Als Gleichungssystem folgt dann
$
  mat(
    (omega_(0) ^2 -  omega^2  ), - omega_(c) ^2 ;
    - omega_(c) ^2 , (omega_(0) ^2 - omega^2 );
  )
vec(x, y) =  vec(0, 0) \
=> omega_(0) ^(4)  - 2 omega_(0) ^2 omega^2 +  omega ^(4)  - omega_(c) ^(4)  =  0 \
omega_(1,2) ^2 =  omega_(0)  ^2  +- sqrt(omega_(0) ^(4) + omega_(c) ^(4) - omega_(0) ^(4) ) \
B_(1) /A_(1)  =  (omega_(0) ^2 - omega_(1) ^2 ) / (omega_(c) ^2 )  = - 1 \
B_(2) /A_(2)  =  (omega_(0) ^2 - omega_(2) ^2 ) / (omega_(c) ^2 )  = 1.
$
Dies folgt durch
$
  omega_(1,2) ^2 =  omega_(0) ^2  +- omega_(c) ^2.
$

Es ergibt die allgemeine Loesung
$
  x =  A_(1)  cos (omega_(1) t +  phi_(1) ) +  A_(2)  cos (omega_(2) t +  phi_(2) ) \
  y =  B_(1)  cos (omega_(1) t +  phi_(1) ) +  B_(2)  cos (omega_(2) t +  phi_(2) ) \
$
mit der Loesung oben ergibt das dann 4 unabhaengige Konstanten $A_(1) , A_2 phi_1 , phi_2 $ zur Anpassung an die Anfangsbedinungen.

Also
$
  X :=  vec(1, -1) A_(1)  cos (omega_(1) t +  phi_(1) ) \
  Y :=  vec(1, 1) A_(2)  cos (omega_(2) t +  phi_(2) ). \
  
$
Dies wird dann als Normalmoden bezeichnet.

Gekoppelte Schwingkreise und die Eigenfrequenzen, welche sich verschieben.

= Schwegung

Das ist die ueberlagerung zweier Schwingungen mit leicht unterschieldicher Frequenz bei gleicher oder aehnlicher Amplitude.

Wir definieren
$
  psi_(1)  =  A cos (omega_(1) t) , space  psi_(2)  =  A cos (omega_(2) t) \
   psi =  psi_(1)  +  psi_(2)  =  A cos (omega_(1)  t) +  A cos (omega_(2) t) \
   overline(omega) =  (omega_(1) +  omega_(2))/2  , space omega_(m)  =  1/2 (omega_(1)  - omega_(2) ) , space "ist die Schwebungsfrequenz" \
   psi =  A cos (overline(omega) t +  omega_(m) t) +  A cos (overline(omega)t -  omega _(m)  t) \
   psi =  A cos (omega_(m) t) cos (overline(omega)t).
$ 

= Wellen und harmonische Wellen

Eine Welle ist eine raum-zeitliche Ausbreitung einer Storeung oder raeumlich Ausbreitung einer Schwingung. Der Spezialfall ist die harmonische Welle.

Schwingungen eines Systems mit $N$ Freiheitsgeraden. $a$ ist hier der Abstand zwischen den Massen.

Wir rechnen
$
  m dot.double(psi)_(n)  =  k ( psi _(n +  1) -  2 psi_(n) +  psi_( n - 1)).
$
Mit dem Ansatz
$
  psi_(n)  (t) =  A e ^(i (k n a - omega t)) , space  n in {0, ..., N -1}
$
als diskrete Varainte von 
$
  A e ^(i (k x -  omega t)).
$
Es folgt dann durch Einsetzen
$
  m/k (- i omega)^2 A e ^(i (k n a - omega t))  =  A (e ^(i k (n - 1)a -  omega t) -  2 e ^(i (k n a -  omega t))  +  e ^(i (k (n -  1)a -  omega t) ) ) \
  =  A e ^(i (k n a -  omega t))  ( e ^(i k a ) - 2 +  e ^(- i k n) ) =  2 A (1 -  cos (k a)) \
  =>  omega ^2 =  (2 k) / (m)  (1 -  cos (k a))
$
Es gilt
$
  omega =  2 pi nu =  (2 pi)/T \
  k =  (2 pi)/lambda.
$
Hieraus folgt die Dispersionsrealation, die Wellenzahl und die Kreisfrequenz der Welle.

== Loesung im kontinuierlichen Limes

Setze die harmonische (ebene) Welle an.  Fuer die Ebene Welle muss die Wellenzahl zum Vektor werden
$
  psi (x, t) =  psi_(0)  e ^( i (k x  -  omega t +  phi_0 )) .
$ <one>
Jetzt laesst sich das laufende Maximum der Welle verfolgen. Betrachte dafuer das Argument von @one. Wir nehmen an dass die Phase constant ist, da wir das Maximum verfolgen wollen. Also
$
  dif / (dif t) (k x -  omega t +  phi_0 ) =  0 \
  - omega +  k dot(x) =  0 => dot(x) =  omega/k =  c , space "die Phasengeschwindigkeit" \
  c =  omega /k =  (2 pi nu lambda) / (2 pi)  =  nu lambda \
  omega (k) =  sqrt((2k)/m) (1 -  cos (k a))^(1/2)  tilde.equiv sqrt((2 k)/m) sqrt(1 - b_1 -  1/2 k ^2 a^2 ) =  sqrt(k/m) a k \
  => c =  omega /k =  sqrt( (k a^2 )/m) \
  k << (2 pi)/a
$
