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)

= Uebersicht

Wenn man N Oszillatoren koppelt, erhlaet man ein System mit wieviel Eigenfrequenzen?

gekoppelte Oszillatoren und Eigenmoden

$
  psi_(n)  (t) =  x_(n) exp(i omega t) \ 
  ==> m/K (dif psi_(n) ) / (dif t) =  psi_(n + 1)  -  2 psi_n +  psi_(n - 1) \ 
  ==> -  omega^2 m/k x_n =  x_(n + 1) -  2 x_n +  x_(n - 1).
$

Dabei wird unter festen und periodischen Raendern unterschieden.

- Randbedinungen selektonieren die Loesungen $omega''$ als Eigenwertproblem
- Matrizen symmetrisch $==>$ $N$ Eigenwerte

$
  partial _(t) ^2 overline(psi) =  underline(M) overline(psi) \ 
  vec(psi_1 (t), psi_2 (t), ..., psi_(n) (t)) =  overline(psi) (t) =  sum _(j =  1) ^(N) underbrace(A_(j) e^(i omega_(j) t), Q_(j) \ "Normalmoden")  arrow(e)_(j)  +  B_(j) e^(- i omega_(j) t) arrow(e)_(j)  \ 
  arrow(psi) (t) =  sum _(i = 1) ^(N) Q_(j) (t) arrow(e)_(j)  \ 
  arrow(e)_(j)  =  e ^(i k a n)  hat(e)_(z) .. k =  (2 pi)/ lambda.
$

Die Dispersionsrelation ist gegeben durch
$
  omega (k) =  sqrt((2 k)/m) (1 -  cos (k n))^(1/2).
$
Und in linearer Form als 
$
  omega =  c k.
$
Die erste Brillouin-Zone gibt an, welche Wellen sich ausbreiten koennen. Wie kann man dort sehen, dass dies diskret ist.

Wir sagen 
$
  psi_1 =  psi_(n + 1)  \ 
  e ^( i k n)  =  e ^( i k (n +  1)a)  \ 
  e ^(i k n a) =  1 \ 
  ==> 2 n a =  2 pi i \ 
  k =  (2 pi)/a i/n
$

Gegenueberstellung von Welle und Schwingung

Notationen 
$
   psi (t) =  psi_0 sin (omega t +  phi) \ 
   psi (x, t) =  psi_0 sin (k x -  omega t +  phi) \ 
   psi (r, t) =  psi_0 sin (k * r -  omega t +  phi).
$
Relationen
$
  v =  phi / (2 pi) \ 
  T =  1/nu \ 
  lambda =  (2 pi)/k \ 
  I prop abs(psi (x, t))^2.
$

= Die Wellengleichung

$
  (diff^2  psi) / (diff t^2 ) =  c^2 (diff^2  psi) / (diff x^2 )  \ 
  dot.double(psi) =  c ^2  psi''
$

$
  psi (x, t) =  psi_0 sin (k x -  omega t) \ 
  partial _(t) ^2 psi =  omega^2 psi_0 sin (k x -  omega t) \ 
  omega/k = c =  lambda nu \ 
  partial _(x) ^2 psi =  k^2 psi_0 sin (k x -  omega t)
$ 

Als homogene DGL 
$
   dot.double(psi) -  c^2 psi'' =  underbrace(0, "Quelle").
$
Die allgemeine Loesung ist
$
  psi (x, t) =  f_(1)  (x +  c t) +  f_2 (x - c t) , space f_1, f_2 in C^2 (RR).
$
In mehereren Dimenisonen
$
  dot.double(psi) - c^2 arrow(nabla) ^2 psi = 0 , space psi =  psi (arrow(r), t).
$

Kann ein Sperarationsansatz auch Loesungen liefern?

$
  psi (arrow(r), t) =  u (arrow(r)) e ^(i omega t)  \ 
  u (arrow(r)) ( -  omega ^2 ) e ^( i omega t)  =  c ^2  e ^(i omega t)  arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) \ 
  ==>  arrow(nabla) ^2  u +  k^2  u =  0 , space "stationaere Wellengleichung (Helmholtzgleichung)".
$

Die ruecklaufende Welle wird benoetigt um alle Randbedinungen abzudecken.

Wellen breiten sich mit einer linearen Superposition aus.

$
  xi (x, t) =  sin (x +- v t) =  sin (k x -  omega t)
$

= Skalare Wellen und Vektorwellen

$
   psi (arrow(r), t) =  arrow(A) e ^(i (arrow(k) arrow(r) -  omega t)) 
$

Abhaengig von $arrow(A)$ ist die Welle entweder eine Skalarewelle oder eine Vektorwelle.

$
   arrow(k) * arrow(r) =  phi , space "Normalendarstellung einer Ebene" \ 
   psi (arrow(r), t) =  A e ^(i (arrow(k) arrow(r) -  omega t)) , space "ebene Welle" \ 
  psi (arrow(r), t) =  A e ^(i (k r -  omega t)) .
    
$

== Kugelwellen

Wir betrachten Kugelkoordinaten.

Betrachte eine Loesung 
$
  psi (r, theta, phi, t) =  psi (r, t) \ 
   dot.double(psi) =  c^2 arrow(nabla) ^2 psi \ 
    arrow(nabla) ^2 psi , space "fuer kugelsymmetrisen Fall" \ 
    arrow(nabla) ^2 psi =  1/r diff / (diff r^2 ) (r psi) \ 
    ==> dot.double(psi)= c^2 1/r diff / (diff r^2 )  (r psi) \ 
    diff / (diff t^2 )  (r psi) =  c^2 diff / (diff r^2 )  (r psi) ==>  psi (r, t) =  cases(
      1/r f (r -  c t) \, space "auslaufen" , 1/r f(r +  c t) \, space ""
    )\
$

== Zylinderwellen

$
   psi (rho, t) =  A 1/sqrt(rho) e ^(i (k s +-  c t)) \ 
    dot.double(psi ) =  e ^2  r 1/rho diff / (diff rho)  (rho (diff psi) / (diff rho) ) \, space "loesung durch Besselfunktion"
$

Energiedichte 
$
   I prop abs(psi)^2 \ 
   abs(psi)^2  prop 1/r^2 \, space "Energiesatz" \ 
   I prop E^2 
$

= Stehende Welle

Nur bestimmte Frequenzen erlauben fuer eine stehende Welle.

#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg"),
)

$
   psi (x, t) =  A_0 sin ( -  k x -  omega t) +  A_(r)  sin (k x -  omega t)
$
Was ist die Randbedinungen bei $x =  0$?

$
   psi (x =  0, t) =  - A_0 sin (omega t) -  A_(r)  sin (omega t) = ^(!)  0 \ 
   ==> A_(0)  =  - A_(r) =  A \, space "Vorzeichenwechsel der Amplitude oder einen Phasensprung" \ 
   psi (x, t) =  A [sin ( -  k x  -  omega t ) +  sin ( -  k x +  omega t)] \ 
    sin alpha +  sin beta =  2 sin ((alpha +  beta)/2) cos ((alpha -  beta)/2) \ 
    ==> psi (x, t) =  -  2 A sin (k x) cos (omega t) ==> "zeitliche und raeumliche Abhaengigkeit werden separiert".
$

= Resonator

Ein Resonator wird erzeugt, wenn zwei Waende gegenuebergestellt werden. Das heisst es gibt Randbedinungen an beiden Enden.

Eigenwertproblem 
$
   L =  n lambda/2 \, space  n in NN \ 
   lambda_(n)  =  (2 L ) / ( n) \, space k_(n) L =  n pi \, space c =  lambda nu =  nu (2 L) / (n)  \ 
   ==> Delta y = (c) / (2 L).
$
Falls ein Ende offen ist, dann 
$
  L =  (2 n +  1) lambda/4.
$

$
   psi (x, t) =  u (x) f (t) \ 
   u'' +  k^2 u =  0.
$

= Schwingung einer rechteckigen Membran

Die Kantenlaengen sind $a, b$. Es ergibt sich 
$
  arrow(nabla) ^2 u =  - k ^2 u \ 
  u_(n, m)  =  u_0 sin ((n pi x) / (a))  sin ((m pi y)/b)) \, space n, m in NN \ 
  ==>  k ^2 _(n, m)  =  pi^2 (n^2 /a^2 +  m^2 /b^2 ) \ 
  omega ^2 _(n, m)  =  c^2 pi^2 (n^2 /a^2 +  m^2 /b^2 ) ==> "Raumfrequenzen"
$

= Schallwellen

Starten mit der idealen Gasgleichung. Es schwingt der Druck
$
  p (x, t) =  p +  tilde(p) (x, t) \ 
  rho (x, t) =   rho_0 +  tilde(rho) (x, t)
$ 
und die Auslenkung mit der Geschwindigkeit
$
  xi (x, t) \ 
  v (x, t) =  dot(xi).
$

$
   A Delta x rho (diff v) / (diff t)  =  ^("Taylor")  - A (diff p) / (diff x) Delta x \ 
   (diff v) / (diff t)  =  -  1/rho (diff p) / (diff x) 
$
