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)

$K in {RR,CC}$

= Die Operatornorm als Normabbildung

Die Normabbildung zwischen zwei VR $V, W$ mit zwei Normen $norm(*)_(V), norm(*)_(W)  $. Definition eines beschraenkten linearen Operators. Dieser ist beschraenkt wenn er stetig ist.

$
	 norm(A x)_(W)  <=  C norm(x)_(V)  \
	 norm(A) =  sup_(x != 0 \ x in V)  (norm(A x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ) 
$

#definition[
	Fuer $V,W$ normierte K-Vektroraeume schreiben wir $L (V,W)$ fuer die Mengeder beschraenkten K-linearen Abbildungen von $V -> W$, d.h.
	$
		L (V,W) =  {A : V -> W, A "ist K-linear und" norm(A) < oo }.
	$
	Diese Menge ist ein K-VR. $(A_1 +  A_2 ) (x)=  A_1 x +  A_2 x, forall x in V$ und $(lambda A) (x) =  lambda (A x), forall x in V, forall A, A_1, A_2 in L (V,W) $
]

#lemma[
	Seien $V,W$ normierte K-VR. DAnn ist $L (V,W)$ ein normierter Raum unter der Operatornorm.
]
#proof[
	#highlight[Proof this with the definition of L (V,W)]
]

Die Norm auf $L (V,W)$ haengt von den Normen $norm(*)_(V) $ auf $V$ und $norm(*)_(W) $ auf $W$ ab.

#example[
	Sei $(V,norm(*)_(V) )=  (W,norm(*)_(W) )=  (RR^n , norm(*)_(oo) ), norm(x)_(oo) := max_(1 <= i <= n) abs(x_(i) ), forall x in RR^n $.
	Dann kann $L (RR^n, RR_m)$ durch die Menge der $m times n$ Matrizen beschrieben werden.\
	Fuer $A in M_(n times m) (RR) "mit" A =  (a_(i j) _(1 <= i,j <= n) ) "und" x in RR^n $ erhalten wir
	$
		norm(A x)_(oo) =  abs(sum_(i=1)^(n) a_(i j)  x_(j) ) <=  max_(1 <=  i <= n)  (max_(1 <= i <= n) abs(x_(i) ) sum_(i=1)^(n) abs(a_(i j) ) ) \
		<= ( max_(1 <= i <=  n) sum_(i = 1)^(n) abs(a_(i j) )) norm(x)_(oo) 
	$
	also $norm(A) <=  max_(1 <= i <= n) sum_(i = 1)^(n)  abs(a_(i j) )$.
	Wir aehlen $i_0 in {1, ..., n}$ mit $sum_(i = 1)^(n) abs(a_(i j) ) =  max_(1 <=  i <= n) abs(a_(i j) ) =  M$ und sei 
	$
		x_0 = ("sign" 1_(i_0 ,1) , ..., "sign").
	$
	Dann gilt $norm(x_0 )_(oo) =  1 "und" norm(A x_0 )_(oo) =  M$. Es folgt $norm(A) =  max_(1 <= i <= n) sum_(i=0)^(n) abs(a_(i j) )$.
]

#theorem[
	Sei $V, norm(*)_(V) $ ein normierter Vektroraum und $(W, norm(*)_(W) )$ ein Banachraum. Dann ist die Menge von allen beschraenkten linearen Operatoren ein Banachraum unter der Operatornorm.
]
#proof[
	Sei $(A_n)_(n in NN)  $ eine Cauchyfolge in $L (V,W)$. Wir wollen zeigen, dass die $A_(n) x$ eine Cauchy-Folge bilden.
	Fuer $x in V, m,n in NN$ gilt
	$
		norm(A_(n) x - A_m x)_(W) =  norm((A_n - A_m ) (x))_(W)  <= norm(A_n - A_m) * norm(x)_(V) .
	$
	Wir folgern wenn $x in V$ dann ist die Folge $(A_n x)_(n in N) $ eine Cauchy-Folge in $W$. Also Existiert der Grenzwert und wir definierten die Abbildung
	$
		A: V -> W, A x := lim_(n -> oo) A_n x, forall x in V.
	$

Die Linearitaet von A folgt aus der Linearitaet des Grenzwertes.
$
	A (lambda x + y) =  lim_(n -> oo) A_n (lambda x + y) =  lim_(n -> oo) (lambda A_n x + A_m y) =  lambda lim_(n -> oo) A_n x + lim_(n -> oo) A_n y.
$

Es gilt auch zu zeigen, dass die Grenzabbildung beschraenkt ist, damit diese in $L (W, V)$ ist.
Fuer $n, m in NN$ gilt 
$
	abs(norm(A_n )- norm(A_m )) <= norm(A_n - A_m ).
$
Also existiert $alpha := lim_(n -> oo) norm(A_n)$. Fuer $x in V$ betrachte die Ungeleichung
$
	norm(A x)_(W)  = norm( lim_(n -> oo) A_n x) <=  lim_(n -> oo) (norm(A_n ) norm(x)_(W) )= alpha norm(x)_(W) \
	==> norm(A) <= alpha
$

Jetzt zeigen wir, dass $A_n -> A$ fuer $n -> oo$ in $L (V,W)$.
Sei $epsilon >0$. Da $(A_n )_(n in NN) $ Cauchy-Folge in $L (V,W)$ ist, gilt es $N in NN$ sodass $norm(A_n - A_m )< epsilon space forall n,m >= N$.
Fuer $x in V, n,m >= N $ folgt $norm(A_n - A_m x)_(W) < epsilon norm(x)_(V)  $.
Im Grenzwert $m -> oo$ erhalten wir $(norm(A_n x - A x)_(W)) / (norm(x)_(V) ) < epsilon space forall x != 0, x in V$.
Es folgt fuer $n >= N$ dass
$
	norm(A_n - A) = sup_(x in V \ x != 0) (norm((A_n - A) x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ) < epsilon "und" lim_(n -> oo) A_n =  A.
$
]

= Banachalgebren

Q: Anenommen wir wollen Potenzreihen $sum_(i=0)^(oo) a_i x^(i) ,a_i in K, n in NN $ fuer $x in A$ (statt $x in CC$) definieren. Welche Eigenschaften von A wuerden wir gerne voraussetzen?

Wir wuerden gerne haben:
+ Mulitplikationsabbildung
+ K-Vektorraumstruktur
+ Banachraum (Vollstaendigkeit)

#definition[
	Eine Banachalgebra ist ein vollstaendiger normierter Vektorraum, welcher ein Banachraum mit einer Multiplikation ist, welche die folgenden Eigenschaften erfuellt
	+ es gibt ein neutrales Element $e in A$ mit $e x =  x e =  x space forall x in A$ (Einselement)
	+ $a (b c) =  (a b) c space forall x,y,z in A$ (Assozitivitaet)
	+ $forall x,y,z in A forall lambda in K: x (y + z) =  x y + x z)$ (Distributivitaet)
	+ Das Lambda laesst sich in einer Multiplikation vollstaendig hin und her verschieben
	+ $norm(x y) <=  norm(x)* norm(y) space forall x,y in A$
]

#example[
	Die normierten komplexen und reelen Zahlen sind Banachalgebren.
	Ist V ein normierter Banachraum, so auch alle Endomorphismen zwischen V unter der Operatornorm. Diese hat die Multiplikationsabbildung der Matrixmultiplikation. Die Identitaestabbildung ist das Einselement.
]

#definition[
	Konvergente Reihe in einem Banachraum und die absolute Konvergenz
]

#theorem[
	Sei $V,norm(*)_(V) $ ein Banachraum und $sum_(i=0)^(oo) x_(i) $ eine in V absolut konvergente Reihe. Dann ist $sum_(i=0)^(oo) x_(i) $ konvergent.
]

#remark[
	Fuer A eine Banachalgebra mit Einselement e und $x in A$ setzen wir $x^(0) := e$.
]

#theorem[
	Sei A eine Banachalgebra ueber K sowie $P (z) =  sum_(i=0)^(oo) a_n z^(n) , space a_n in K forall n in Z^(+ ) $ eine Potenzreiehe mit Konvergenzradius $r =  r (P) > 0$. Dann ist die Reihe $P_(A) (x):= sum_(i=0)^(oo) a_i x^(i) $ absolut konvergent fuer $x in A$ mit $norm(x) < r$. Die Funktion $P_(A): {x in A, norm(x) < r} ->  A, x |-> P_(A) (x)$ ist Lipschitz-stetig auf jeder abgeschlossenen Kugel um den Ursprung mit einem Radius kleiner $r$. Fuer $x,y in overline(B_(rho) (0))$ dass
	$
		norm(P_(A) (x)- P_(A) (y)) <=  C_(rho) abs(x - y) "mit" C_(rho) =  sum_(i=0)^(oo) i abs(a_i )rho^(i -1) .
	$
]

#proof[
	Sei x ein Element aus der Algebra A mit $norm(x )< r$. Fuer $n in NN$ gilt $norm(x^(n) <= norm(x)norm(x^(n-1) )) <= $
]
