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)

= Uebersicht

Wiederholung zum Kondensator

$
	W = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 (Q^2 ) / (epsilon_0 A) d \
	d W =  U d q.
$

=== 1.6.3 Nichtleitende Stoffe Dilektrika im E-Feld

Beim Versuch wurde ein Dielektrikum zwischen einen Plattenkondensator gebracht.
- Lade den Kondensator auf $U_0 $ auf, dann nehme den Kondensator vom Netz
- $U_0 = (Q) / (C) $
- Bringe das Dielektrikum in den Kondensator
- $U > U^("Diel") -> "Da" Q "gleich" -> C "muss mit Dielektrikum groesser als ohne werden"$

Dabei laesst sich feststellen, dass
$
	E_("Diel")  =  (E) / (epsilon_(r) ) \
	C =  epsilon_(r) C_0.
$

Verschiedene Materialien haben verschiedene relative Dielektrizitaetskonstanten.
Ein Metall ist der Extremfall eines Isolators.

==== 1.6.3.1 Dielektrische Polarisation

Wie bei der Influenz im aeusseren E-Feld werden Ladungen im Dielektrikum verschoben. Da Dielektrikum ein Nichtleiter ist erfolgt nur eine Verschiebung der Ladung
auf mikroskopischer Ebene. Dies wird induzierte Polarisation genannt.

Die *atomare Polarisierarbeit* verschiebt die Elektronenwolke um ein Atom.
Fuer das Dipolmoment gilt bekanntlicherweise
$
	arrow(p) =  d arrow(d) \
	arrow(p) =  alpha arrow(E),
$
wobei $alpha$ die Polarisierbarkeit (ein Mass fuer die Rueckstellkraefte im Atom, welche der Verschiebung entgegenwirken) ist.

Die Verschiebung geht so weit bis die Rueckstellkraefte die verschobene Ladung kompensieren
$
	arrow(F) =  q arrow(E).
$

Auch gibt es die *Orientierungspolarisation*, welches die Ausrichtung vorhandener Dipole beschreibt.

Als Beispiel wird hier Wasser angefuehrt mit einem Dipolmoment $arrow(p)$. Durch ein elektrisches Feld erfahren die Molekuele keine Translation
wohl aber richten sie sich aus.

#definition[
	Die Polarisation ist gegeben durch
	$
		arrow(P) =  1/V sum_(i=1)^(n) arrow(p) , space  arrow(p): "Dipol im Molekuel".
	$
]
Falls alle Dipole parallel zum E-Feld sind
$
	arrow(p) =  N arrow(p) =  N q arrow(d), N = "Anzahl der Dipole pro Volumen".
$

==== 1.6.3.2 Polarisationsladungen

Dies Orientiert sich am Giffiths.

Durch die Ausrichtung von Dipolen oder induzierten Dipolen enstehen sogenannte Polarisationsladungen z.B. an den Stirnflaechen eines
Dielektrikums.

Der spezialfall vom homogenen elektrischen Feld und einem homogenen Dielektrikum.

Welches zusatzliche E-Feld wird von der polarisierten Materie erzeugt? Hier befindet sich die Materie im externen E-Feld.

Berechne zunaechst Potential $Phi_(d) $ an Stelle $arrow(r)$ fuer den allgemeinen Fall eines inhomogenen E-Feldes
$
	Phi_(d) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(p) (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ).
$
Hier ist $arrow(r)$ irgendein Punkt im Raum und $arrow(r)'$ die Position der einzelenen Dipole $arrow(p)$.

Das Potential fuer alle Dipole ist gegeben durch
$
	Phi_(D) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol  d arrow(r)' (arrow(P) (arrow(r)') (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ),
$
mit
$
	arrow(p) =  arrow(P) d arrow(r)' =^(?)  arrow(P) (arrow(r)').
$

Mit
$
	arrow(nabla)' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ) =  (abs(arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ) 
$
folgt
$
	Phi_(D) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol  d arrow(r)' arrow(P) (arrow(r)') * arrow(nabla) ' ((1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) ).
$
Verwende nun die Produktregel $(f g)' =  f' g + f g'$
$
	Phi_(D)  (arrow(r)) &=  (1) / (4 pi epsilon_0  ) integral.vol d arrow(r)'  [arrow(nabla) ' ((arrow(P) (arrow(r)'))/(abs(arrow(r)- arrow(r)'))) - (1) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')) (arrow(nabla) ' * P (arrow(r)'))] \
	&= (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.cont _(A) d arrow(A)' (arrow(P) (arrow(A)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')), "I") - (1) / (4 pi epsilon_0 ) underbrace(integral.vol d arrow(r)' (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) (arrow(nabla) ' arrow(P) (arrow(r)')), "II").
$

Dabei sieht I aus wie das Potentaial einer Oberflaechenladung
$
	d arrow(A) =  d a * hat(n).
$
#definition[
	Gebundene Oberflaechenpolarisation
	$
		sigma_(g)  =  arrow(P) * hat(n).
	$
	Gebundene Volumenpolarisation
	$
		rho_(g)  =  - arrow(nabla) * arrow(P).
	$
	
]

Und II sieht aus wie das Potential eines Volumenladung
$
	==> Phi_(D) (arrow(r)) =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.surf   (sigma_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)'))  d arrow(r)' + (1) / (4 pi epsilon_0 ) integral.vol (rho_(g) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d arrow(r)'
$

== 1.7 Die dielektrische Verschiebung und Suszeptibilitaet

Q: Wie gross ist das E-Feld im Dielektrikum?

Die gesamte Ladungsdichte im Dielektrikum ist gegeben durch
$
	rho = rho_(g) +  rho_(f) , space rho_(f): "freie Ladungen keine Folge der Polarisation".
$

Mit dem Gausschen Gesetz folgt
$
	epsilon_0 arrow(nabla) arrow(E) =  rho =  rho_(g)  + rho_(f) =  - arrow(nabla)  * arrow(P) + rho_(f) \
	==> arrow(nabla) (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) =  rho_(f).
$

#definition[
	Dielektrische Verschiebung
	$
		arrow(D) =  epsilon_0 arrow(E) + arrow(P).
	$
]

Dann folgt das Gaussche Gesetz fuer diese dielektrische Verschiebung
$
	arrow(nabla) arrow(D) = phi_(f) ==>  integral.cont arrow(D) d arrow(A) =  Q_("feing").
$

Die dielektrische Verschiebung $arrow(D)$ haengt nur von den freien Ladungstraegern ab, welche oft bekannt sind.

Verbindung zur mikroskopischen Groessen
$
	arrow(P) =  epsilon_0 chi_(e)  arrow(E) , space chi_(e)  = (N alpha) / (epsilon_0 ) : "elektrische Suszeptibilitaet".
$

Wir koennen auch umschreiben
$
	arrow(D) &=  epsilon_0 arrow(E) +  arrow(P) =  epsilon_0 arrow(E) +  epsilon_0 chi_(e) arrow(E) =  epsilon_0 underbrace((1 + chi_(e) ), epsilon_(r) )arrow(E)\
	&= epsilon_0 epsilon_(r) arrow(E) =  epsilon arrow(E).
$

Im allgemeinen gilt nicht, dass $arrow(D) = arrow(E) $, da nicht $rot(arrow(P)) = 0$ gelten muss. 

