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)

= Wiederholung

Betrachte eine Funktion $f: U subset RR^n ->  RR$ und $a,b in U$.
Angenommen ${a+t (b -a), 0 <= t <= 1} subset U$ und $g: [0, 1] ->  RR$ mit $g' (xi) =  arrow(nabla) f (gamma (xi)) dot(gamma) (xi)$.

Betrachte 
$
	f (b) - f (a) =  d f (xi) (b - a).
$

Es ist bereits bekannt, dass wenn $n = 1 and f' (c) =  0 space forall c in I$ fuer eine Funktion $f: I -> RR$, dann ist $f$ konstant.

Gilt dies auch fuer $RR^n $, also ist $f: U -> RR$ diffbar $and d f (xi) =  0 space forall xi in U ==> f "konstant"$?
Ein Problem kann bei nicht zusammenhaengenden Mengen enstehen.

= Zusammenhaengend

#definition[
	Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *zusammenhaengend* falls es nicht zwei offene Mengen gibt, welche eine Zerlegung von $X$ mit $U union V = X$ mit $U,V != emptyset $ offen und $U sect V = emptyset $ bilden.
]

#definition[
	Wir nennen einen metrischen Raum $(X, d)$ *wegzusammenhaengend* falls es fuer zwei Punkte $a,b in X$ eine stetige Abbildung $gamma: [0, 1] ->  X$ mit $gamma (0) = a$ und $gamma (1) =  b$ gibt.
]

Diese Begriffe sind im allgemeinen nicht aequivalent, wobei der Zusammenhang staerker ist.

#theorem[
	Sei $(X, n)$ ein normierter Raum und $U subset X$ offen. Dann ist $U$ genau dann zusammenhaengend wenn $U$ wegzusammenhaengend ist.
] <s8>

Fuer $a,b in X$ schreibe $[a,b] =  {a + t (b -a): 0 <= t <= 1} $ fuer das Stueck was $a$ und $b$ verbindet. Dies wird *Streckenzug* genannt.
Im allgemeinen muss dies nicht ein gerader Streckenzug sein sondern kann beliebig gekruennt sein. Dieser ist eine Folge von Punkten mit $a_0 = a, a_n = b$, sodass $[a_j, a_(j +1) ] subset U$.

#proof[
	Wie zeigen, dass Zusammenhang auch Wegzusammenhang impliziert.

	Sei $U subset X$ offen und zusammenhaengend. Ist $U != subset $, so waehle $a in U$ und $tilde(U) =  {x in U: "es gibt einen Streckenzug in" U "von" a "nach" x}$. Sei $y in tilde(U)$, dann existiert eine Kugel mit $epsilon>0$ um $y$ welche eine Teilmenge von $U$ ist durch deren Offenheit. Nun kann ein Streckenzug von allen Elementen in der Kugel zu $x$ gebildet werden und so gibt es einen Streckenzug von $a$ zu allen Elementen aus $B_(epsilon) (y)$.

	Betrachte nun $y in U\\tilde(U)$ und $r>0$ mit $B_(r) (y) subset U$. Angenommen $B_(r) (y) sect tilde(U) !=  emptyset $, so folgt wie zuvor, dass $B_(r) (y) subset  tilde(U)$ $==>$ $y in.not tilde(U)$. Widerspruch.

	Es gilt also $U =  tilde(U) union (U\\tilde(U))$ mit $tilde(U), U\\tilde(U)$ offen und $tilde(U) != subset $ d.h. $U\\tilde(U) = emptyset $ $==>$ $tilde(U) =  U$.
]

#remark[
	Wir haben in @s8 gezeigt, dass zwei Punkte in einer offenen zusammenhaengenden Menge in einem normierten Raum mit einem Streckenzug
	verbunden werden koennen.
]

Betrachte auf dem Uebungsblatt die oszilierende Funktion, welche immer schneller oszilliert $sin (1/x)$ um etwas zu zeigen mit zusammenhaengend.

#theorem[
	Sei $U subset RR^n $ zusammenhaengend $<==> $ wegzusammenhaengend und offen und $f: U ->  CC$ diffbar mit $arrow(nabla) f (a) =  0 space forall u in U$. Dann ist $f$ konstant.
]

#proof[
	Betrachte $R (f)$ und $I (f)$ separat, d.h. wir koennen annehmen, dass $f: U ->  RR$ reell ist. Fuer $a,b in U$ waehle einen Streckenzug $[a, a_1 ]union ... union [a_n , b] subset U$. Nach Satz wahle $xi in [a_i,  a_(i+1) ], 0 <= i <= n$ mit
	$
		f (a_(i+1) ) -  f (a_(i) ) =  underbrace(d f (xi_(i) ), =0) (a_(i + 1) - a_(i) ) space forall 0 <= i <= n.
	$
	Es folgt, dass $f (a) =  f (a_(1) ) =  f (a_(2) ) =  ... =  f (a_n ) =  f (b)$.
	Hier wurde ausgenutzt, dass sich die Funktionswerte auf dem Streckenzug nicht veraendern.
]

#definition[
	Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ differenzierbar, so nennen wir $f$ *stetig differenzierbar* (auf $U$) falls  die Abbildung
	$
		f': U ->  CC^(n), x |-> (partial / (partial x_1 ) f (x), ..., partial / (partial x_(n) ) f (x) )
	$
	stetig ist.
]

Wir schreiben $C^(1) (U)$ fuer den $CC$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen $f: U ->  CC$.

Differenzierbarkeit wird nur auf offenen Mengen diskutiert.

#theorem[
	Sei $U subset RR^n $ offen mit $f in C^(1) (U)$ und $K subset U$ eine kompakte und konvexe Teilmenge. Setze
	$
		norm(f')_(K) := max_(x in K) (abs(partial / (partial x_1 ) f (x)) + ... + abs(partial / (partial x_n) f (x))).
	$
	Fuer $x,y in K$ gilt dann
	$
		abs( f (y) -  f (x)) <=  norm(f')_(K) norm(y - x)_(oo).
	$
]
#proof[
	Da $K$ konvex ist, dgilt fuer $x, y in K$ auch $[a,b] subset K$. Wende den bekannten an Schrankensatz auf die Funktion
	$
		g: [0, 1] ->  CC, t |-> f(x + t (y -x)).
	$
	Es folgt
	$
		abs(f (y) - f (x)) =  abs( g (1) - g (0)) <= sup_(t in [0, 1]) abs(g' (t)).
	$
	Verwende fuer $0 <= t <= 1$ die Abschaetzung
	$
		abs(g' (t)) &=  abs(d f (x + t (y - x)) (y-x)) \
		&= abs(sum_(k = 1)^(n) partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))(y_k - x_k )) \
		&<= norm(y-x)_(oo) underbrace(sum_(k = 1)^(n)  abs(partial / (partial x_k ) f (x + t (y -x))), <= norm(f')_(K) ).
	$
]

= Hoehere Ableitungen

Sei $f: U ->  CC$ diffbar mit $U subset RR^n $ offen. Wie koennen wir den Begriff einer zweiten Ableitung definieren?

+ Betrachte $U -> L (RR^n, CC ), a |-> d f (a)$
+ Betrachte fuer $1 <=  k <=  n$ die partiellen Ableitungen $partial / (partial x_k )  f: U -> CC, a |-> partial / (partial x_k ) f (a)$

#definition[
	Ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ sodass
	$
		partial / (partial x_(i)  ) f: U ->  CC
	$
	existiert fuer ein $1 <= i <= n$ und partiell in Richtung $x_j $ diffbar ist. Dann definieren wir
	$
		partial^2  / (partial x_j x_(i) ) f := partial / (partial x_j) (partial / (partial x_(i) ) f) 
	$
	und nennen dann $partial^2  / (partial x_(i) x_(j) ) $ eine partielle Ableitung zweiter Ordnung von $f$.

	Ist $k in NN$, so definieren wir die
	partielle Ableitung $k$-ter Ordnung als
	$
		partial / (partial x_(i_1) ) ... partial / (partial x_(i_k) ) f :=  "Hintereinanderausfuehrung der partiellen Ableitungen".
	$
]

Jetzt koennen wir nach der Vertauschbarkeit fragen.

#example[
	Fuer die nichtvertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.
	Betrachte 
	$
		f: RR^2 -> RR, (x,y) |-> cases(x y (x^2 - y^2 ) / (x^2 + y^2 ) \, (x, y) != (0,0), 0 \, (x,y) = (0,0)).
	$
	Diese Abbildung hat verschiedene Werte fuer die Ableitung zweiter Ordnung an der Stelle $(0, y) "bzw." (x, 0)$.

	#highlight[TODO: calculate this]
]
#theorem[
	Satz von Schwarz.

	Sei $U subset RR^n $ und $a in U$ und $f: U ->  CC$ eine Funktion sodass die partiellen Ableitungen auf U existieren und
	$partial / (partial x_(i) ) partial / (partial x_j ) f$ in $a$ stetig ist. Dann exisitiert $partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) ) f (a)$ und es gilt
	$
		partial / (partial x_j ) partial / (partial x_(i) )  f (a) =  partial / (partial x_(i) )  partial / (partial x_j ) f (a).
	$
]

#proof[
	Betrachten wir den Realteil und den Imaginaerteil von $f$ separat und die Abbildung
	$
		g: RR^2 ->  RR, V subset R^2, (x,y) |-> f (a + x e_i +  y e_j )  
	$
	fuer $(0, 0) in V$ offen und hinreichend klein, so genuegt es dem Satz fuer $n =  2, a =  (0, 0), g: V -> RR, (x.y)|-> g (x,y), i =  2, j = 1$ zu beweisen. Da $partial / (partial x_(1) x_2  )  g$ in 0 stetig ist, gibt es fuer jedes $epsilon > 0$ eine Umgebung $B_(delta) (0) subset V$ sodass 
	$
		abs(partial_(2 1) g (x,y) - partial_(2 1) g (0,0)) < epsilon space forall (x,y) in B_(delta) (0).
	$
	Seien $h, k != 0$ mit $Q_(h, k) := {(t h, s k), 0 <= t, s <= 1} <=  B_(delta)  (0)$.
	Setze $phi (x) =  g (x,y) - g (x, 0)$. Dann ist
	$
		D_(Q h, k)  g := g (h, k) - g (h, 0) -  g (0, k) +  g (0, 0) \
		= phi (h) - phi (0).
	$
	Nach dem Mittelwertsatz gibt es $xi in {t h: 0 <= t <= 1}$ auf $phi (h) - phi (0) =  h phi' (xi)$. 
	Es folgt $D_(Q h, k) g =  h (partial_(1) g (xi,  k) -  partial_(1) g (xi,  0))$.
	Genauso gibt es $nu in {s k: 0 <= s <= 1}$ mit
	$
		 D_(Q h k )  g =  h k (partial_(2) partial_(1) g (xi,  nu)).
	$

	#highlight[TODO: finish and understand this proof]
]

