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)

= Uebersicht

Wiederholung des Stromkreises mit einer Funkenbruecke.
Versuch des Schwingkreises eines Senders.

Einfache Rechnungen
$
	arrow(nabla) (arrow(nabla) times arrow(B)) -  mu_0 arrow(nabla) * arrow(j), \
	integral.cont arrow(B) dif arrow(s) =  mu_0 integral arrow(j) dif arrow(a).
$

== 6.2 Maxwellgleichungen

Die Maxwellgleichungen sind gegeben durch

$
	("M"1) .. arrow(nabla) times arrow(E) &=  (rho) / (epsilon_0 ), \
	("M"2) .. arrow(nabla) arrow(B) &=  0, \
	("M"3) .. arrow(nabla) times arrow(E) &=  -(partial arrow(B)) / (partial t), \
	("M"4) .. arrow(nabla) times arrow(B) &=  mu_0 arrow(j) +  mu_0 epsilon_0 (partial arrow(E)) / (partial t).  \
$
Hinzu kommt der Zusammenhang zwischen Feldern und der Kraft
$
	("L"1) .. arrow(F) &=  q (arrow(E) +  arrow(v) times arrow(B)).
$
Weitere wichtige Beziehungen sind
$
	arrow(j) =  sigma arrow(E),
$
wobei $sigma$ die Ladungsbeweglichkeit ist.

== 6.3 Elektromagnetische Wellen

Man gehe von den Maxwellgleichungen aus. Dabei wird als Medium das Vakuum angenommen, also $arrow(j) = 0$ und $arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ) =  0$.
Wir starten mit
$
	arrow(nabla) times arrow(nabla) times arrow(B) - mu_0 epsilon_0 arrow(nabla) times arrow(E) = 0 \
	arrow(nabla) (arrow(nabla) arrow(B)) -  Delta  arrow(B) +  epsilon_0 mu_0  (dif) / (dif t) (dif B) / (dif t)  = 0 \
	=>  (arrow(nabla) * arrow(nabla) ) arrow(B) -  epsilon_0 mu_0 dif^2  / (dif t^2 )  arrow(B) =  0 .. ("Wellengleichung") \
	=> Delta arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (dif^2 arrow(B)) / (dif t^2  )  =  0.
$
Hier ist die Lichtgeschwindigkeit gegeben durch
$
	c ^2 =  (1) / (epsilon_0 mu_0 ).
$
Wodurch sich die Wellengleichung vereinfacht zu
$
	Delta arrow(B) = 1/c^2 (dif ^2 arrow(B)) / (dif t^2 ).
$
Die Wellen breiten sich also mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Gleiches Argument kann ausgehend von M3 gestartet werden und dann liefert es
$
	Delta arrow(E) =  1/c ^2 (dif ^2 arrow(E)) / (dif t ^2 ).
$ <welle>
Dabei wurden wieder die Zusammenhaenge genutzt
$
	arrow(nabla) times arrow(E) +  (dif arrow(B)) / (dif t) = 0 \
	=> arrow(nabla) (arrow(nabla) arrow(E)) -  Delta  arrow(E) +  arrow(nabla) dif / (dif t) arrow(B) = 0.
$
Dabei ist im leeren Raum es auch moeglich, dass EM Wellen sich fortpflanzen.
Die Wellengleichung @welle kann als ebene periodische Welle geloest werden.
Betrachte dabei eine Welle, die sich in $z$-Richtung ausbreiten und nicht von $x$ oder $y$  abhaengen.
Als Ansatz waehlen wir
$
	tilde(arrow(E)) (z, t) =  tilde(E)_(0)  e ^(i (k z -  omega t))  \
	tilde(arrow(E)) (z, t) =  tilde(B)_(0)  e ^( i (k z - omega t)).
$
Dabei sind $tilde(E)_(0) "und" tilde(B)_(0) $ komplexe Amplituden und koennen sozusagen als Vektor betrachtet werden. Es gilt dabei
$
	tilde(E)_(0) = abs(tilde(E)_(0) ) e ^(i phi),
$
wobei $phi$ hier die Phase ist.
Die tastaechliche physikalische Welle ist dann nur noch der Realteil der eigentlichen Welle. Hier ist
$
	k = (2 pi) / (lambda) , space "Wellenzahl, mit" , space lambda: "Wellenlaenge".
$
Dies sind Loesungen der Wellengleichung. Dabei stellen die Maxwellgleichungen weiter Einschraenkungen fuer $tilde(E) "und" tilde(B)$ dar.
Es gilt fuer die Wellen
$
	sigma = arrow(nabla) arrow(E) => (partial E_(z) ) / (partial z) = 0 \
	arrow(nabla) * arrow(B) = 0 => (partial B_(z) ) / (partial z) = 0.
$
Daraus folgt dann
$
	(E_0 )_(z) =  0 and (B_0 )_(z)  = 0,
$
wodurch die Amplitude keine z-Komponente hat.
#remark[
	Elektromagnetische Wellen sind also Transversalwellen und stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung.
]
Es gilt durch Einsetzen der Ansaetze
$
	arrow(nabla) times arrow(E) =  - (dif B) / (dif t) \
	=> - k (E_0 )_(y)  =  omega (B_0 )_(x)  and k (E_0 )_(x)  = omega (B_0 )_(y).
$
Wir koennen also sagen: Wenn das E-Feld in x-Richtung zeigt, dann zeigt das B-Feld in die y-Richtung.

== Lernen aus den Wellen und MG

Es gilt fuer die Form von EM Wellen
$
	arrow(E) (z, t) =  E_0 e ^(i (k z - omega t)) hat(x), \
	arrow(B) (z, t) =  B_0 e ^(i (k z - omega t)) hat(y).
$
Es stehen $B_0 "und" E_0 $ im Zusammenhang durch $B_0 = E_0 * 1/c$
Wenn man nur den Realteil betrachet, dann sieht das Ganze so aus
$
	arrow(E) (z, t) =  E_0 cos (k z - omega t +  phi) hat(x), \
	arrow(B) (z, t) =  E_0 * 1/c cos (k z - omega t +  phi) hat(y).
$
Diese Wellen lassen sich auch graphisch darstellen in einem dreidimensionalen Graphen mit der Ausbreitungsrichtung auf einer der Achsen. Es sind im Grunde zwei uebereinandergelagerte Schwingungen mit gleicher Frequenz. Diese sind auch nicht gegeneinander Phasenverschoben.

Wir haben also durch die Maxwellgleichungen die MW genauer untersucht.

== 6.4 Elektromagnetsiches Feld eines schwingenden Dipols

Ein offener Schwingkreis, welcher Energie in Form von EM Wellen abstrahlen kann wird als Herzscher Dipol bezeichnet. Wie genau lassen sich EM Wellen mittels des Herzschen Dipol erzeugen?
Wir schauen und zuerst die Ladungsverteilung an. Der aufgeklappte Schwingkreis ist einfach nur ein gerader Leiterdraht. Angenommen dieser hat die Laenge $l$, eine Stromdichte $arrow(j) =  rho arrow(v)$. Wir interessieren und jetzt fuer das EM Feld an einem bestimmten Punkt $arrow(P)$ mit Ortsvektor $arrow(r)$. Die momentane Ladungsverteilung im Leiter ist gegeben durch $arrow(r)_(2) $.
Die Ladung an diesem Punkt ist gegeben durch $dif q =  rho dif V$. Betrachte das Vektorfeld an $P$ durch Stromdichte
$
	arrow(A) (arrow(r)) =  (mu_0 ) / (4 pi) integral.vol (arrow(j) (arrow(r)') dif tau) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')).
$
Die Ladungsdichte schwingt dann durch die angelegte Wechselspannung hier ist $abs(arrow(r) - arrow(r)') := r  $.
#definition[
	*Retardierung* ist die Zeitabhaengigkeit der elektrischen Welle. Die Wirkung kommt also immer etwas Zeitverzoegert. Die Wirkung durch die schwingende Ladungsverteilung in der Antenne 
	in $arrow(r)_(2) $ ausgeloest wird, benoetigt Zeit $Delta t =  r/c$ zu Punkt P.
]
Durch Einsetzen der Retartierung folgt dann
$
	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi)  integral.vol (arrow(j) (arrow(r)', t - r/c )) / (r) dif tau.
$
Wir machen die folgenden Annahmen zur Vereinfachung
- $l << r$ $==>$ Die Entfernung vom Stab kann als ueberall gleich angenommen werden, wodurch $r$ vor das Integral gezogen werden kann
- Die Geschwindigkeit der Ladungen $v$ im Stab ist viel langsamer als die Lichtgeschwindigkeit $c$ $==>$ Alle Wellen, welche an verschiedenen Punkten loslaufen erreichen P in gleicher Phase

Es folgt mit den Vereinfachungen
$
	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi r) integral.vol arrow(v) rho (arrow(r)', t - r/c ) dif tau.
$
Die schwingende Ladungstraegerdichte $rho$  kann als negative Ladung zeitlich veranderlicher Geschwindigkeit aufgefasst werden. Diese schwingt (oszilliert) gegen die positiv geladenen Ionenruempfe. So kann ein Verbindungsvektor
$
	arrow(d) =  arrow(d_0) sin (omega t),

$
definiert werden, wobei $d$ der Abstand der Ladungsschwerpunkte im Leiter ist. Die Oszillation ist gegeben durch den Wechselstrom
$
	I =  I_0 cos (omega t).
$
Damit sieht der Stab wie ein schwingender Dipol aus und nennt sich *Herzscher Dipol*.
Das Dipolmoment ist gegeben durch
$
	arrow(p) (t) =  arrow(d)_(0) q sin (omega t) hat(z).
$
Wir koennen wieder in das Vektorpotential einsetzen und erhalten
$
	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi )  q arrow(d)_(0) omega (cos (omega t -  k r)) / (r)  hat(z).
$ <kugel>
In @kugel ist eine Kugelwelle beschrieben, welche sich vom Mittelpunkt des Herzschen Dipols ausbreitet und in den unendlichen Raum propagiert. Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
$
	c = omega/k.
$

Am Freitag wird sich noch angeschaut wie man sich daraus das Magnetfeld berechnen kann. Dabei wird
$
	arrow(B) =  arrow(nabla) times arrow(A)
$
genutzt. Auf analoge Weise kann das elektrische Feld berechnet werden.

