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)

= Noch mehr Induktion und Energie

Wenn sich ein Magnetfeld durch z.B. einen Wechselstrom veraendert, dann wird natuerlich auch eine Spannung im Leiter induziert.
Die Energie im Magnetfeld ist gegeben durch
$
	W_("mag")  =  (1) / (2 mu_0 ) B^2.
$
Die Energie im elektrischen Feld ergibt sich analog dazu
$
	W_("el") =  1/2 epsilon_0 E^2 
$

= 5. Elektromagnetische Schwingungen und Wechselstrom

== 5.1 Wechselstrom

Betrachte Verhalten von Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis. Wir legen zunaechst eine Wechselspannung der allgemeinen Form
$
	U (t) =  U_0 cos (omega t),
$
wobei $omega$ die Kreisfrequenz ist, an.
Wenn wir nun den Strom im einfachsten Wechselstromkreis betrachten (Spannungsquelle und Widerstand), dann ergibt sich
$
	I (t) =  U_0/R cos (omega t) =  I_0 cos (omega t).
$
Der Strom und die Spannung schwingen also in Phase.
Die elektrische Leistung ergibt sich dann zu
$
	P_("el") = U (t) I (t) =  U_0 I_0 cos ^2 (omega t).
$
Auch diese ist dadurch in Phase mit den Anderen, wobei sie immer positiv ist.
Die gemittelte Leistung ergibt sich dann zu
$
	angle.l P_("el")  angle.r = 1/T integral_(0)^(T) U_0 I_0 cos ^2 (omega t) d t =  1/2 U_0 I_0,
$
wobei die Periodendauer $T$ das Reziproke der Frequenz oder $(2 pi)/omega$.
Ein Gleichstrom mit 
$
	I_("eff") =  I_0 /sqrt(2) , space U_("eff")  =  U_0 /sqrt(2),
$
haette die gleiche Leistung wie ein Wechselstrom mit $U_0 $ und $I_0 $.
#example[
	Die Hauswechselspannung hat eine Effektivspannung von $230"V"$, wodurch sich $U_0 $ zu
	$
		U_0 =  sqrt(2) * 230"V" =  325 "V"
	$
	ergibt.
]

Fuer den Fall, dass C oder L im Stromkreis, dann fuehrt das dazu, dass der Strom Phasenversetzt ist
$
	U (t) =  U_0 cos (omega t) \
	I =  I_0 cos (omega t +  phi).
$
Dieser Phasenwinkel $phi$ beeinflusst die mittlere Leistung
$
	angle.l P angle.r =  (I_0 U_0 )/2 cos phi
$
Dadurch ist bei einem Winkel von $90 degree$ die mittlere Leistung gleich Null.
#definition[
	Die von L und C aufgenommene Leistung heisst *Blindleistung*.
	In einem idealen Stromkreis dieser Form wird also alle Leistung wieder zurueckgegeben.
	Die im ohmschen Widerstand verbrauchte Leistung wird *Wirkleistung* genannt.
]

#example[
	Bei einer Spule ist es so, dass zum Aufbau des Magnetfeldes Energie benoetigt wird und zum Abbau wieder freigesetzt wird. Ganz nach dem Induktionsgesetz.
]

=== 5.1.1 Kondensator im Wechselstromkreis

Der effektive Widerstand eines Kondensators haengt von der Frequenz $omega$ des Wechselstroms und von der Kapazitaet $C$ ab.
Es wird also im Stromkreis der Widerstand durch einen Kondensator ausgetauscht.
Aus der Maschenregel folgt dann
$
	U (t) - U_(C) (t) =  0.
$
Wir legen eine Sinusschwingung an. Dadurch ergibt sich
$
	U_0 sin (omega t) - Q/C =  0 => Q (t) =  U_0 C sin (omega t).
$
Fuer den Strom $I = (dif Q) / (dif t) $ folgt dann
$
	I =  underbrace(U_0 C omega, I_0 ) cos (omega t) = I_0 sin (omega t +  pi/2).
$
Man erkennt also, dass der maximale Strom in diesem Stromkreis direkt proportional zur Kreisfrequenz ist. Auch ist dieser zur Spannung um neunzig Grad verschoben. Dieser eilt also der Spannung vorraus.
#definition[
	Der *kapazitive Widerstand* ist gegeben durch
	$
		abs(R_(C) ) =  U_0 /I_0 =  1/(omega C).
	$
]

=== 5.1.2 Spule im Wechselstromkreis

Nun wird wieder der Kondensator durch eine Spule $L$ ausgetauscht. Nach der Maschenregel folgt wieder
$
	U (t) - L (dif I) / (dif t)  =  0. 
$
Einsetzen der Wechselspannung
$
	(dif I) / (dif t) =  U_0/L sin (omega t).
$
Nach Integration folgt dann
$
	I =  - U_0 /(omega L) cos (omega t) =  U_0 /(omega L) sin (omega t - pi/2).
$
Hier ist der Strom also um $pi/2$ nach hinten verschoben. Dieser hinkt also hinterher.
#definition[
	Der *induktive Widerstand* ist gegeben durch
	$
		R =  omega L.
	$
	Dies kann man durch das Induktionsgesetz erklaeren. Bei hohen Frequenzen wird das Magnetfeld oft umgepolt, wodurch die gegensaetzliche induzierte Spannung groesser wird.
]

=== 5.1.3 Einfache Netzwerke

Hier wird der Hoch- und Tiefpassfilter betrachtet. Dazu koennen Spulen und Kondensatoren ausgenutzt werden um nur den Strom von verschiedenen Frequenzen passieren zu lassen.
Eine Schaltung aus Kondensator und Widerstand kann als frequenzabhanngiger Widerstand verwendet werden. Dadurch fliesst nur ein Strom bei hohen Freuquenzen (Hochpass). Die tiefen Frequenzen werden durch den Kondensator geschluckt. Falls die Spannung ueber den Widerstand abgenommen wird, so erhalten wir einen Hochpass. Falls diese ueber den Kondensator abgenommen wird so erhalten wir einen Tiefpass filter. Mit Kirchhoff kann z.B. fuer einen Hochpass das Verhaeltnis der Spannungen errechnet werden
$
	U_a/U_(e) =  (omega R C ) / (sqrt(1 + (omega R C)^2 )).
$
Fuer einen Tiefpass folgt dann
$
	U_(a) /U_(e) =  1/(sqrt(1 +  (omega C R)^2 )).
$
Analog funktioniert dass durch die Induktivitaet einer Spule.

=== 5.1.4 Allgemeiner Fall

Hier werden Netzwerte mit Spulen, Kondensatoren und Widerstaenden betrachtet. Diese koennen zum Bespiel alle in Reihe geschaltet werden. Dann folgt durch die Maschenregel
$
	U  = L (dif I) / (dif t) +  Q/C +  I R.
$
Nach ableiten folgt dann
$
	(dif U) / (dif t)  =  L dot.double(I) +    dot(I)  R +   I/C.
$
Diese laesst sich mit dem allgemeinen Ansatz loesen
$
	U (t) =  U_0 e ^(i omega t)  , space I =  I_0 e ^( i omega t +  phi).
$
Nach Einsetzen folgt dann
$
	i omega U_0  =  (- L omega^2 +  i omega R +  1/C) I_0.
$
Nach Definition des komplexen Widerstandes $Z =  U/I$ folgt 
$
	Z =  R +  i (omega L - 1/(omega C)).
$
Dieser kann in einem Zeigerdiagramm dargestellt werden.
Einfache Darstellung des komplexen Widerstandes in einem Zeigerdiagramm. Hier gilt dann
$
	Z =  abs(Z) e^(i phi), \
	tan phi =  Im(Z)/Re(Z).
$
#definition[
	Der Betrag vom komplexen Widerstand wird *Impedanz* genannt
	$
		abs(Z) =  sqrt(R^2 +  (omega L - 1/(omega C))^2 ).
	$
	Falls 
	$
		omega L =  1/(omega C),
	$
	dann wird die Phasenverschiebung gleich Null. Es koennen also Induktivitaet und Kapazitaet in einem Schaltkreis verwendet werden ohne eine Phasenverschiebung zu erlangen.
]

== 5.2 Der elektromagnetische Schwingkreis

Schalte C und L in einem Stromkreis zusammen. Dadurch ergibt sich ein Schwingkreis. Wir stellen uns vor, dass wir den Kondensator mit einer Spannungsquelle aufladen koennen.
Wir schauen uns an was nach der Zeit passiert. Die Energie im System wird also zwischen dem elektrischen Feld und dem magnetischen Feld hin und her geleitet.

=== 5.2.1 Gedaempfte elektromagnetische Schwingungen

Hier wird noch ein ohmscher Widerstand der Schaltung hinzugefuegt. Dann wird der Kondensator wieder aufgeladen und der Schwingkreis wird eingeschaltet.
Der Strom laesst sich dann durch eine DGL berechnen. Dies wird jetzt in einem experiment betrachtet und dann in der naechsten Stunde noch genauer in der Theorie.

