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	//	year: 2025,
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)

E: 18.06.2025

= Magnetfelder einer Spule

Es gilt fuer den Laplace-Operator
$
	Delta arrow(A) =  - mu_0 arrow(j) \
	Delta =  arrow(nabla) ^2 =  (partial_  (x) ^2 + partial_(y) + partial_(z) ^2 ) \
	=> Delta arrow(A) =  vec(partial_(x) ^2 A_(x) +  partial_(y) ^2 A_(x) +  partial_(z) ^2 A_(x),  partial_(x) ^2 A_(y) +  partial_(y) ^2 A_(y) +  partial_(z) ^2 A_(y), partial_(x) ^2 A_(z) +  partial_(y) ^2 A_(z) +  partial_(z) ^2 A_(z)) \
	Delta f =  (partial_(x) ^2 +  partial_(y) ^2 + partial_(z) ^2 )f =  arrow(nabla) (arrow(nabla) f).
$

Fuer eine Ampere'sche Schleife gilt
$
	integral.cont arrow(B) d arrow(s) =  integral_(a)^(b) arrow(B) d arrow(s) +  integral_(c)^(d) arrow(B) d arrow(s) \
	= (B_1 - B_2 ) L =  mu_0 I =  0 \
	=> B_1 = B_2.
$
Bei unendlich langen Spulen ist das Magnetfeld aussen gleich Null.
In der gegebenen Abbildung ist doch nur eine kleine Spule dargestellt.

#highlight[TODO: what is the definition of j]

=== 3.4.1 Realisierung homogener Magnetfelder

Ausserhalb einer Spule kann ein homogenes Magnetfeld durch ein Helmholtzspulenpaar erstellt werden. Dazu siehe die Abbildung.

=== 3.4.2 Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung

Das Amperesche Gesetz fuer stationare Stroeme ist eimmer gueltig, aber nur in speziellen Situationen anwendbar.
Dies gilt nur wenn $B$ vor das Integral gezogen werden kann, z.B. in einem unendlich langen Leiter.
Ansonsten benoetigen wir einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld.
Allgemeine gilt die Gleichung
$
	Delta arrow(A) =  - mu_0 arrow(j).
$
Diese kann mittels der Green-Funktion geloest werden.

#theorem[
	Biot-Savart Gesetz.

	Es gilt

	$
		arrow(A) (arrow(r)) =  (mu_0 ) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d V'.
	$
	Aequivalent gilt dann durch $arrow(B) =  arrow(nabla) times arrow(A)$
	$
		arrow(B) (arrow(r)) =  (mu_0) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)') times  (arrow(r)- arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3  ) d V'.
	$
] <bio>

Dieses Gesetz in @bio kann vereinfacht werden, falls der Strom nur in einem duennen linienfoermigen Leiter fliesst, zu
$
	arrow(B) (arrow(r)) =  (mu_0 I) / (4 pi) integral ((d arrow(l) times hat(r))) / (r^2 ).
$
Hier gilt also
$
	integral arrow(j) * d V' =  integral d arrow(s)' underbrace(integral arrow(j) * d A', = I) = I integral d arrow(s)'.
$
#remark[
	Das Biot-Savart Gesetz gilt _nicht_ fuer einzeln bewegte Ladungen, da es nur fuer stationaere Stroeme gilt.
]

=== 3.4.3 Anwendung des Biot-Savart Gesetzes

Dies erfolgt am Beispiel einer kreisfoermigen Stromschleife.
Die Berechnung erfolgt nur fuer Punkte auf der Symetrieachse, da es anderswo komplizierter ist.

Zunaechst betrachten wir
$
	integral (d arrow(s)' times (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')^3 ) \
	arrow(r) =  z * hat(z) \
	arrow(r) - arrow(r)' = vec(0, 0, z) - a vec(cos phi, sin phi, 0) = vec(-a cos phi, - a sin phi, z) \
	d arrow(s)' =  a * d phi * hat(phi) \
	hat(phi) =  vec(-  sin phi, cos phi, 0)
	=> d arrow(s)' =  a * d phi * vec(- sin phi, cos phi, 0).
$
Dadurch folgt durch zusammensetzen
$
	d arrow(s)' times  (arrow(r) - arrow(r)') =  a d phi vec(- sin phi, cos phi, 0) times vec(-a cos phi, -a sin phi, z) = a * d phi * vec(z cos phi, z sin phi, a).
$
Berechne $B_(x) , B_(y) , B_(z) $ einzeln
$
	B_(x) =  (mu_0 I) / (4 pi) integral _(0)  ^(2 pi) (z cos phi * a * d phi) / (a ^2 +  z ^2) ^(3/2)  =^("Integral") 0 \
	
	=> ^("Rotationssymetrie")  B_(y)  = 0.
$
Betrachte die $B_(z) $ Komponente des Kreuzproduktes und berechne
$
	B_(z) = (mu_0 I ) / ( 4 pi) integral_(0)^(2 pi) (a^2 * d phi ) / ((a^2 +  z^2 )^(3/2) ) = 1/2 mu_0 I (a^2 ) / ((a^2 + z^2 )^(3/2) ).
$
Fuer $z >> a$ ergibt sich dann
$
	B_(z) approx 1/2 mu_0 I a^2 /z^3.
$
Dies laesst sich mit der Kreisflaeche des Leiters $arrow(A) = pi a ^2 hat(z)$ umformen zu
$
	arrow(B) = mu_0/(2 pi) (I arrow(A)) / (z^3 ),
$
wobei $arrow(A)$ hier natuerlich nicht das Vektorpotential ist. Die Groesse $arrow(p)_(m) =  I arrow(A)$ 
wird magnetisches Dipolmoment genannt, hier also das einer Stromschleife. $arrow(A)$ ist hier wieder die Flaeche. Es folgt also fuer die Naeherung
$
	arrow(B) =  (mu_0 arrow(p)_(m) ) / (2 pi z^3 ).
$
Der Strom selber ist ein Skalar und die Stromdichte ist eine Vektorielle Groesse.
Die Vektorielle Groesse kann mittels der Eigenschaft eines nicht ausgerichteten Stroms eliminiert werden.

== 3.5 Kraft auf Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld

Allgemein gilt die empirisch gefundene allgemeine Lorentzkraft
#highlight[TODO: wikipedia level explaination of this in detail]
$
	F = q (arrow(v) times arrow(B) +  arrow(E)).
$
Was ist das $q$ in einem stromdurchflossenen Leiter?
Im allgemeinen ist dies nur eine einzelne Ladung, jedoch kann dies durch die Ladungsdichte mal dem Volumen eines kleinen Leiterstueckes betrachtet wird
$
	Q = rho V =  q * n * A * d L,
$
wobei $Q$ die Gesamtzahl der Ladungen, $n$ die Ladungstraegerdichte und $A$ die Querschnittsflaeche des Leiters ist. 
Damit folgt dann fuer ein Leiterstueck
$
	d arrow(F)_(L) =  n * q * A * d L (arrow(v) times arrow(B)).
$
Und mit der Stromdichte $arrow(j) =  n * q * arrow(v)_("Drift") $ ergibt sich dann
$
	d arrow(F)_(L) =  A * d L (arrow(j) times arrow(B)) = I (d underbrace(arrow(L), "Richtung tech. Strom") times arrow(B)).
$
Dies ist also die Kraft auf ein stromdurchflossenes Leiterelement in einem externen Magnetfeld.

= Kraft zwischen zwei parallelen Leitern

Das magnetfeld von einem Draht hat die Form
$
	arrow(B) =  (mu_0 ) / (2 pi r)  I hat(phi).
$
Somit ergibt sich fuer die Kraft auf den einen Leiter
$
	d arrow(F)_(L)  I  (d arrow(L) times arrow(B)) \
	d arrow(L) perp hat(phi) => d arrow(F) =  I_(1)  d L (mu_0 I_(2) ) / (2 pi r) hat(r).
$
Falls der Strom durch beide Leiter $1"A"$ ist und der Abstand gleich der Laenge gleich $1"m"$ ist, so betraegt die Kraft zwischen den Leitern
$
	F =  (mu_0 ) / (2 pi)  =  2 * 10 ^(-7) N.
$
Das Ampere ist genau so definiert, dass es passt. Diese Kraft kann mit zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern demonstriert werden.

