= Vektorraeume

Ein Vektorraum ueber einem Koerper $K$ ist eine abelische Gruppe $(V, +)$ mit einer Abbildung $K times K arrow V$ (Mult. mit Skalaren), die die Bedingungen

$ (lambda + mu)v = lambda v + mu v, lambda(v+w) = lambda v + lambda w | forall lambda, mu in K, v, w, in V $
$ (lambda mu)v = lambda(mu v), 1 v = v $

erfuellt.

== Bsp

$K^n = K times ... times K = {(x_1, ..., x_j): x_j in K}, lambda (x_1, ..., x_n) = (lambda x_1, ..., lambda x_n)$

$RR$ ist ein $QQ$-Vektorraum

$V_1, V_2$ seien K-Vektorraum. $V_1 times V_2 = {(v_1, v_2): v_j in V_j}$

$K times (V_1 times V_2) arrow V_1 times V_2, (lambda, (v_1, v)2)) arrow.flat (lambda v_1, lambda v_2).

$(V_i)_(i in I)$ sumtlich K-Vektorraum.

$V:= bigX_under(i in I) V_i = {f: I arrow bigU_under(i in I) V_i: f(i) in V_i}

in V bildet

$ W = {f: I arrow bigU_under(i in I) V_i, f(i) in V_i, f(i) != 0 nur fuer endlich viele i in I} $

einen Untervektorraum. Ist $I$ endlich, dann $W = V$. Sei $f, g in W$ und $I(f) = {i in I: f(i) !=0}$.

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Lemma 1: Sei $V$ ein K-Vektorraum $lambda in K, v in K$. Dann ist $lambda v = 0 <==> lambda = 0 or v = 0$

Ist $lambda = 0$, dann benutze $0 v = (0+0)v = 0v + 0v <=> 0 = 0 v + 0v v + (-0 v) = 0 v$. Genauso: $V=0 => lambda v = 0$.

Ist $lambda != 0$ aber $lambda v = 0$, dann $v = 11 v = lambda^(-1) (lambda v) = lambda(-1) 0 = 0 = 11 v = v$

$ v + (-w) = v -w $

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Lemma 2:

$V$ ein K-Vektorraum und $lambda in K, v in V$. Kann ist $(- lambda) v = - (lambda) v = - (lambda v), wir schreiben deshalb kurz $- lambda v$

denn: $0 = (lambda - lambda) v =  lambda v + (- lambda) v = lambda v - (lambda v)$

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Mehr zu Untervektorraeumen. Gegeben $V$ ein K-Vektorraum. Hat die "tivialen Untervektorraeume" ${0}$ (Nullraum) und $V$.


Lemma 3:

Ist $(W_i)_(i in I)$ eine Familie von Untervektorraeumen von $V$, dann ist $sect.bigU_under(i in I) W_i$ ein Untervektorraum.

Idee: $M subset V$ eine beliebige Teilmenge. Dann $GrosserSchnitt (W subset V UVR; M subset W) W = angle.l M angle.r$ die von $M$ erzeugte UVR von $V$. Es ist $M subset angle.l M angle.r$ und $angle.l M angle.r$ hat kienen nicht trivialen UVR, der $M$ enthaelt.

$v in V, M = {v}, angle.l {w} angle.r in.reverse lambda v, lambda in K$. Da die ${lambda v, lambda in K}$

einen Untervektorraum bilden, ist $angle.l {v} angle.r = {lambda v: lambda in K}.

$angle.l {0} angle.r = {0}, Ist v != 0, dann gibt es eine Bijektion (Ue)

$ K arrow angle.l {u} angle.r; lambda arrow.flat lambda v$

$angle.l {v, w} angle.r = {lambda v + mu w: lambda, mu in K}$


Seien $W_1, W_2$ Untervektorraeume von K-Vektorraum $V$.

$ W_1 + W_2 := angle.l W_1 union W_2 angle.r$ heisst Summe von $W_1, W_2$.
$ = {w_1 + w_2: w_j in W_j}$

$ lambda (w_1 + w_2) = (lambda w_1) + (lambda w_2) $

$ w_1 + w_2 + w_1' + w_2'  = (w_1 + w_1') + (w_2 + w_2') $

Frage: Sei $w in W_1 + W_2$. Wie viele Darstellungen $w = w_1 + w_2, w_j in W_j$ gibt es?

Sei $w_1 + w_2 = w_1' + w_2' <==> w_1 = w_1' = w_2 - w_2' in W_1 sect W_2$

Antwort: Es gibt unendlich viele Optionen?. Aber wenn $W_1 sect W_2 = {0}$, dann $w_1 = w_1', w_2 = w_2'$, also sind $w_1$ und $w_2$ eindeutig bestimmt. In diesem Fall heisst $W_1 + W_2$ die innere dierkte Summe von $W_1$ und W_2, in Zeichen $W_1 plus W_2$.



Def: $M subset V$ heisst Eruzeugendensystem, wenn $angle.l M angle.r = V$.
Ist M endlich, und Eruzeugendensystem, ann heisst V endlich erzeugt.

Bsp: $e_1 = (1, 0, ...,  0), e_2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , e_n = (0, ... , 0, 1) in K^n$

ist ein Eruzeugendensystem fuer $K^n$. DAnn fuer jedes v = (v_1, ..., v_n) in K^n$ ist v = v_1 e_1 + ... + v_n e_n in angle.l e_1, ... , e_n angle.r$

2) $M subset V$. Dann ist $M$ Eruzeugendensystem $angle.l M angle.r$

Def: $V$  ein K-Vektorraum, $v_1 , ... , v_n in V$ heissen linear unabhaengig, wenn aus 

$ lambda_1 v_1 + ... + lambda_n v_n = 0 => lambda_1 = ... = lambda_n = 0 . $

Beispiele: $n =1$ Gegeben $v in V$. Test: $lambda v = 0 =>^? lambda = 0. Weil $1 0 = 0$, ist $v=0$ nicht linear unabhaengig. Aber: $v + v != 0, "dann" lambda = 0$. Also: jedes $v != 0 $ ist linear unabhaengig.

$n = 2$ (Ue); $v_1, v_2 in V \ {0}$. ist $v_2 in angle.l v_1 angle.r, "dann"" v_2 = lambda v_1, "also"  0 = lambda v_1 - v_2 "also" v_1, v_2 nicht linear unabhaengig. _Sonst_ schon!

Lemma 5:

Sei $V$ ein K-Vektorraum, und $(v_i)_(i in I)$ eine Familie von $v_i in V$.

$(v_i)_(i in I)$ ist linear unabhaengig genau dann, wenn jedes $v in V$ hoechstens eine Darstellungen $v = sum(lambda_i v_i)'_(i in I)$ hat.

Hier heisst $sum()'_(i in I), dass nur endlich viele $lambda_i != 0$ sind.

Allgemeiner nennen wir $(v_i)_(i in I)$ linear unabhaengig, wenn aus $sum(lambda_i v_i)'_(i in I) = 0 "stets folgt" lambda_i = 0 forall i in I$.

$v_1, v_2 linear unabhaengig <==> angle.l v_1 angle.r sect$

