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)

= Uebersicht

Starrer Koerper mit N MP.

Lage im Raum festgelegt durch 3 Koerpereigene Punkte $P_1, P_2, P_3 $, welche nicht auf einer Gerade liegen.
Dies sind die Ortsvektoren eines raumfesten Intertialsystems mit $arrow(r)_(1), arrow(r)_(2) , arrow(r)_(3)  $, sind linear unabhaengig.

Es gibt dann also 3 Z.B. der Form $arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) =  "const." , space (i ,j) =  (1,2), (1, 3), (2, 3)$, wodurch es dann $f =  9 - 3 = 6$ Freiheitsgerade.
Das Inertialsystem kann sich gleichfoermig bewegen, Translatiert sein oder sich um eine der Drei achsen gedreht haben.

== 4.2 Starrer Koerper

=== 4.2.1 SP Bewegung

Es gilt fuer den Schwerpunkt
$
	arrow(R) =  1/M sum _(i) arrow(r)_(i) m_(i),
$
was 3 translatorischen Freiheitsgeraden entspricht. Dabei ist $arrow(r)_(i) $ das Inertialsystem und $arrow(r)'_(i) $ das Koerpereigene System.

=== 4.2.2 Traegheitsmoment

Wir betrachten eine Drehung $arrow(omega) =  omega arrow(e)_(z) $. Die Drehung mit dem Winkel kann dann durch die rechte Hand Regel bestimmt werden.
Der Drehwinkel ist hier $phi$. Die Geschwindigkeit auf dem Kreisbogen ist gegeben durch
$
	2 pi rho =  v T \
	=> v =  omega rho,
$
wobei $rho$ der Abstand zum Ursprung ist. Die Kinetische Energie ist gegeben durch
$
	T =  1/2 m arrow(v)^2 =  1/2 m rho^2 omega^2 =  1/2 m rho^2  dot(phi)^2 , space omega =  dot(phi) =  (dif phi) / (dif t).
$
Wir schreiben um zu
$
	T =  1/2 Theta dot(phi)^2  \
	Theta =  m rho ^2,
$
wobei $Theta$ das Traegheitsmoment bei Rotation um die z-Achse ist. Im allgemeinen ist das Traegheitsmoment fuer meherere MP gegeben durch
$
	Theta =  sum  _(i)  m_(i) rho_(i) ^2 \
	Theta =  integral rho ^2 d m.
$

=== 4.2.3 Einschub Beschleunigte Bezugssysteme

Vom IS wird eine raeumliche verschiebung durch den Vektor $arrow(r)_(0) (t)$ in ein KS. Bei einer Koration kann die Rotation aus der Geometrie abgelesen werden.

Falls $O_(I S) =  O_(K S) => "Die Vektoren sind gleich, aber nicht die Koordinaten"$.
Fuer die Geschwindigkeiten folgt dann (wobei $arrow(e)_(i) $ die Basen im IS sind und $arrow(e)'_(i) $ die Basen im KS)

$
	sum _(i)  dot(x)_(i)  arrow(e)_(i)  =  sum _(i)  [dot(x)_(i) arrow(e)_(i) +  x'_(i) dot(arrow(e))'_(i) ] \
	=> arrow(v)_(I S)  =  arrow(v)_(K S) +  sum _(i) x'_(i  dot(arrow(e))'_(i).
$
Eine Drehung $D$ ist gegeben durch eine Drehmatrix mit $D D^(T) =  D^(T) D = E$
$
	arrow(e)'_(i) =  D_(i j)  arrow(e)_(j) => arrow(e)_(j)  =  D_(i j) arrow(e)'_(i)  \
	dot(arrow(e))'_(i)  =  D_(i j)  dot(arrow(e))_(j) +  dot(D)_(i j)  arrow(e)_(j)  = dot(D)_(i j)  arrow(e)_(j).
$
Wir muessen spaeter alles in das gestrichene System zurueckfuehren. Es folgt
$
	dot(arrow(e))'_(i) =  dot(D)_(i j)  underbrace(D_(k j) arrow(e)'_(k), arrow(e)_(j) ) , space A =  dot(D) D^(T).
$
Wir behaupten, dass $A +  A^(T) = 0 => A "ist antisymetrisch"$.
Rechne
$
	dot(D) D^(T) +  (dot(D) D^(T) )^(T) =  dot(D) D^(T) +  D dot(D)^(T) =  dif / (dif t) (D D^(T) ) =  dif / (dif t) E = 0.
$
Die Matrix $A$, gegeben durch 
$
	mat(
		0, A_(1 2), A_(1 3) ;
		- A_(1 2) , 0, A_(2 3) ;
		- A _(1 3) , - A_(2 3) , 0;
	),
$
hat also 3 unabhaengige Zahlen.
Dann kann ein beliebiger Vektor $q$ an die Matrix $A$ multipliziert werden.
Das ergibt ein Ergebnis aehnlich zum Kreuzprodukt.
Waehle dann 
$
	A_(1 2)  =  - omega_(3) , A_(1 3)  =  omega_(2) , A_(2 3) = -  omega_(1)  \
	=> A arrow(q) =  arrow(omega)times arrow(q).
$ 
Damit folgt dann fuer die Geschwindigkeit im IS
$
	dot(arrow(r))_(I S)  =  dot(arrow(r))' _(K S)  +  arrow(omega) times arrow(r)'_(K S)  +  dot(arrow(r))_(0) , space arrow(omega): "instantantane Drehachse" \
	arrow(omega) =  arrow(omega)'.
$

=== 4.2.4 Kinetische Energie

Starrer Koerper: $dot(arrow(r))'_(mu) =  arrow(0)$ in KS.
Wir setzen also in den Ausdruck fuer die Kinetische Energie ein
$
	T =  sum_(i =  1)^(N) m_(i) /2 dot(arrow(r))_(i) ^2 =  sum _(i) m_(i) /2 [dot(arrow(r))_(0) +  (omega times arrow(r)'_(i) )]_(i) ^2 dot(arrow(r))_(0) =  arrow(v)_(0) \
	=  sum _(i) m_(i) /2 arrow(v)_(0) ^2 +  sum _(i) m_(i) arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )+  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )^2   .
$
Wir schreiben 
$
	T =  M/2 arrow(v)_(0) ^2  +  T_("mix")  +  T_("rot") \
	T_("mix") =  arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) ) \
	= sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i)  * (arrow(v)_(0) times arrow(omega)) \
$
Nun kann dieser Term durch die Wahl von $0_(K S) $ vereinfacht werden. 
Falls der Schwerpunkt vom starren Koerper im Ursprung von KS liegt, dann faellt $T_("mix") $ weg. Falls wir einen Punkt des starren Koerpers fixieren, dann ist $v_0 = 0$ wodurch
$
	T =  T_("rot")
$
gilt.

=== 4.2.5 Traegheitstensor

Jetzt wollen wir die Rotationsenergie umschreiben zu
$
	T_("rot")  =  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)times arrow(r)'_(i) )^2 =  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)^2 arrow(r)'^2_(i) - (arrow(omega) * arrow(r)'_(i) )^2  ) \
	=> sum _(j) m_(j) /2 sum  _(i k)  (omega_(i) omega_(i) r'_(j k) r'_(j k) - omega_(i) r'_(j i) omega_(k) r'_(j k)   ) \
	
	= sum _(j) m_(j) /2 sum  _(i k) omega_(i) omega_(k) (delta_(i k)  r'_(j k) r'_(j i) - r'_(j k)   ) =  1/2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) Theta_(i k) \
	Theta_(i k) =  sum _(j) m_(j)  (delta_(i k) (arrow(r)'_(j))^2 - r'_(j i) r'_(j k) ) \
	=> T_("rot")  =  1/2 arrow(omega) ^(T) Theta arrow(omega) .
$
Ein Kreuzprodukt kann quadriert werden
$
	(arrow(a)times arrow(b))^2  =  arrow(a)^2 arrow(b)^2  - (arrow(a) * arrow(b))^2.
$
Mit Nebenrechnung
$
	(arrow(a)times  arrow(b))_(k)  =  epsilon_(k l m) a_(l) b_(m)  \
	=> (arrow(a)times arrow(b)) * (arrow(a)times arrow(b)) =  omega_(k l m)  epsilon_(k r s)  a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
	=  (delta_(l r) delta_(m s)  - delta_(l s) delta _(m r) ) a_(l)  b_(m) a_(r) b_(s)  \
	=  a_(l) a_(l) b_(m) b_(m) -  (a_(l) b_(l)) ^2 .
$

Der Traegheitstensor ist symetrisch und reel, diese ist also diagnonalisierbar. Mit
$
	Theta_(D) =  Lambda ^(T) Theta Lambda \
	Theta_(D) = mat(
		Theta_(1) , 0, 0;
		0, Theta_(2) , 0;
		0, 0, Theta_(3) ;
	).
$
Hier sind dann die $Theta_(i) $ die Haupttraegheitsmomente.

