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)

= Uebersicht

Eigenwertproblem 
$
  Delta v_(n)  =  lambda_(n) a_(n).
$

Waermeleitung in einem Draht in einer Dimension
$
  partial _(t)  u (t, x) =  rho partial _(x) ^2  u (t, x) .. ("W") \ 
   u (t, 0) = u (t, L) =  0 .. ("R") \ 
   u (0, x) =  f (x) \, space f (0) =  f (L) =  0 .. ("A").
$
Loesung durch Speration der Variablen 
$
  u (t, x) =  w (t) v (x) \, space  v in C^2  ([0, L]) \, space  w in C (RR_(+) ) \ 
  ==> v'' (x) +  lambda v (x) =  0 \, space v (0) =  v (L) = 0 \ 
  w' (t) +  lambda w (t) =  0 \ 
  ==>  lambda =  ((pi k) / (L)) ^2 \, space k in NN \ 
  ==>  u_(k)  (t, x) =  e ^(-  ((pi k)/L)^2 t) sin ((pi k x) / (L) ) .. "loest das Randwert-Problem".
$

Fuer $f$ wie oben ist das Anfangs-Randwert-PRoblem wie eine Loesung 
$
   u (t, x) =  sum_(k=1)^(oo) a_(k) u_(k) (t, x) \ 
   a_(k) =  2/L integral_(0)^(L) f (x)sin ((pi k x) / (L) ) dif x.
$
#proof[
  Man zeigt gleichmaessige Konvergenz der Reiehe auf $(0, oo) times [0, L]$ und somit dass auf $[0, oo) times [0, L]$ gliedweise differenziert werden darf. Dann zeigt man, dass die resultierenden Reihen wieder konvergieren.
  #highlight[In der Saaluebung diesen Beweis machen]
]
#remark[
  Auch wenn $f$ nur stueckweise $C$ ist, ist eine Loesung wie oben fuer $t >=  epsilon > 0$.
]

#theorem([Maximums-Prinzip])[
  Sei $Omega =  (0, oo) times  (0, L)$ und zu $T > 0$ sei $H_(T) =  {(t, x) in RR^2 : t <= T}$. Ist $u$ eine auf $overline(Omega)$ stetige Loesung der Waermeleitungs-Gleichung, so gilt 
  $
    min_(H_(T) inter partial Omega  ) u <= u (t, x) <=  max _(H_(T) inter partial Omega) u .. forall (t, x) in H_(T)  inter Omega.
  $
  $u$ nimmt also Maximum und Minimum auf dem Rand an.
]

#proof[
  - Setze zu $epsilon > 0$, $v := u +  epsilon x^2 $ $==>$ $partial _(t)  v -  partial _(x) ^2 v =  -  2 epsilon < 0$. Hier ist $u$ eine Loesung der PDE
  - Sei $(t_0, x_0 )$ eine Maximal-Stelle von $v$ auf $overline(Omega) inter  H_(T) $. Diese existiert, da $v$ stetig und auf $overline(Omega) inter H_(T) $ kompakt ist
  - Dann ist $a_0 :=  (t_0, x_0 ) in partial Omega inter H_(T) $. Angenommen, dann das nicht. Also $0 < t_0 <= T \, space 0 < x_0 < L$,
    dann $grad v (a_0 ) =  0$, falls $t_0 < T$ (Extremum!)
  - Es gilt $partial _(x) u (a_0 ) = 0 and partial _(t) u (a_0 ) >= 0$
  - Zudem ist $partial _(x) ^2  v (a_0 ) <=  0$, da fuer $a_0 $ Maximum gilt, dass die Hessematrix von $v$ in $a_0 $ negativ definit ist 
  - Somit folgte $partial _(t) v (a_0 ) -  partial _(x) ^2 v (a_0 ) >= 0$. Widerspruch
  - Also ist $a_0 in partial Omega inter H_(T) $

  Fuer $u$ folgt nun 
  $
    u (t, x) <=  v (t, x) <=  v (t_0, x_0 ) <=  u (t_0 , x_0 ) +  epsilon L^2 \ 
    ==> sup_(H_(T) inter Omega)  u <=  max_(H_(T) inter partial Omega)  u +  epsilon L^2 .. "weil" a_0 "auf dem Rand liegt" \ 
    ==> "obere Abschaetzung mit Hilfe von" epsilon -> 0.
  $
  Fuer die Abschaetzung nach unten betrachte $- u$ und das selbe Argument.
  Fuer den Beweis muss nichts konkretes ueber $u$ bekannt sein.
]

Daraus laesst sich die Eindeutigkeit nach vorgegebenen Bedingungen folgern.

#proof[
  Sei $u, tilde(u)$ Loesungen der PDE. Dann ist $u -  tilde(u)$ Loesung zu den Randdaten $= 0$. Es folgt also aus dem Maximums-Prinzip 
  $
    0 <= u - tilde(u) <= 0 ==> u =  tilde(u) .. "unter Stetigkeit".
  $
]
#remark[
  Waermeleitung auf dem REchteck oder der Kreisscheibe $==>$  Sperationsansatzh wie bei der Wellengleichung. Hier koennen wir auch beweisen, dass jede Loesung des ARW-Problems sich als Reihe aus den gefundenen Loesungen schreiben laesst.
]

#lemma[
  Betrachte $partial _(t) u -  partial _(x) ^2 u \, space "auf" Omega =  RR_(+) times (0, L) $. Mit 
  $
    u (t, 0) =  alpha \, space  u (t, L )=  beta .. forall t \ 
    u (0, x) =  f (x) \, space  f (0) =  alpha \, space  f (L) =  beta.
  $
  Man kann dann die Loesung schreiben als 
  $
     u (t, x) =  u_0 (x) +  v (t, x),
  $
  wobei $v (t,x)$ Loesung des ARWP ist mit $v (0, x) =  0$ und $u_0 (x)$ die sogenannte stationaere Waermeleitung $u_0 '' =  0$ loest und $u_0 (0) =  alpha \, space u_0 (L) =  beta$.
]

Als Intuition beobachte, dass $v (t, x) ->  0 "fuer" t -> oo$ d.h. $u_0 (x) =  lim_(t -> oo) u (t, x)$. Nach (langer) Zeit kommt das System annaehernd zur Ruhe, fuer $t ->  oo$ wird es stationaer (es findet keine WAermeleitung mehr statt). 
Dieses Verhalten findet man auch in hoeheren raeumlichen Dimensionen.

Explizit im Draht ist die stationaere Loesung leicht zu berechnen. Es ergibt sich 
$
  u''_0 =  0 ==>  u_0 (x) =  c_0 +  c_1 x \ 
  u_0 (0) =  alpha ==> c_0 =  alpha \, space u_0 (L) =  beta ==> c_1 = (beta - alpha) / (L) .
$

#definition([Dirichlet-Problem])[
  Sei $Omega subset RR^(n) $ offen und zusammenhaengend (bei uns meist sogar konvex und beschraenkt) mit glattem Rand. Sei $f in C (partial  Omega)$. Gesucht ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) "mit" Delta u = 0 "in" Omega \, space  u | _(partial Omega) =  f$. Hier ist $Delta  = sum _(i)  partial _(i)^2  $ der Laplace Operator. Man sagt auch, dass $u$ "harmonisch" ist.
]

Als explizites Beispiel kann man die offene Kreisscheibe $Omega subset RR^2 $ betrachten.

Fuer $Omega subset  RR^2 $ offene Kreisscheibe ist (Poisson)
$
  u (x) =  cases(
    (1 -  norm(x)^2 ) / (2 pi) integral _(norm(y)= 1)  (f (y)) / (norm(x - y)^2 ) dif s (y) .. norm(x) < 1 \
  f (x) .. norm(x) = 1
  )\
$
eine Loesung $u in C (overline(Omega)) inter  C^2  (Omega)$ des Dirichlet-Problems $Delta u =  0$ auf $Omega \, space u | _(partial Omega) =  f$ gegeben.

Hier ist das INtegral das Kurven-Integral entalng des Einheitskreises (gegen den Uhrzeigersinn) 
$
  integral _(0) ^(2 pi) (f (gamma (t))) / (norm(x -  gamma (t))^2 )  norm(gamma' (t))  dif t
$
und $ norm(*)$ ist die euklidische Norm.

Q: Wie kommt man darauf?

Man geht anders herum vor und setzt den Sperarationsansatz an. Dann transfomiert man wieder auf Polarkoordinaten und erhaelt 
$
  U_(k) (r, theta) =  (a_(k) cos k +  b_(k) sin k) r ^(k) \ 
  U_0 (r, theta) =  1/2 a_0.
$

Q: Warum duerfen wir die gleichmaessige Konvergenz der Reihe annehmen? Wie wird diese bewiesen?



