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)

= Widerholung

== Erhaltungsgroessen in Lagrange II hier also Lagrangeformalismus

Was ist die Lagrangefunktion und wie leite ich aus dieser 
die Bewegungsgleichungen fuer die gen. Koordinaten ab?

Zyklische Koordinate $q_(k) :<=> $ zugehoeriger kanonischer Impuls ist erhalten.

Es gilt also
$
	(partial L) / (partial q_(k) ) =  0 => p_(k) =  (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  "const.".
$

Eine weitere Erhaltungsgroesse ist
$
	(partial L) / (partial t) =0  => sum _(k) dot(q)_(k) p_(k) - L .. "erhalten".
$

Falls die Zwangsbedingungen zeitunabhaengig sind, dann ist diese Erhaltungsgroesse gleich der Gesamtenergie.
Dies bekommt eine tiefere Bedeutung im Hamiltonformalismus.

= Symetrien und Erhaltungsgroessen

Ein Kreis hat eine $2 pi$ Rotationssymetrie. Ein Quadrad hat eine 4-fache Symetrie mit $phi_(n) =  n pi/2$.
Ein Dreieck hat eine 3-fache Symetrie.

== Symetrieoperationen
- Rotation mit Winkel
- Translation im Raum mit Vektor
- Wahl des Inertialsystems mit Vektor
- Zeittranslation mit der Referenz der Zeit
- (Spiegelung)
- (Skalierung)

Jedes mal wenn ich invarianz unter einer 
dieser Operation ist, dann ist dies eine Erhaltungsgroesse.
Es lassen sich also so maximal 10 Erhaltungsgroessen in diesem System finden.
Diese Klasse wird dann als allgemeine Gallileitrafo bezeichnet.

== Galileitrafo in Inertialsystemen

Wir betrachten N MP mit den Ortsvektoren mit $n =  1, ..., N$
$
	arrow(r)_(n) =  vec(r_(n 1), r_(n 2) , r_(n 3)  )_(x y z).
$
Wir bleiben dabei voellig in kartesischen Koordinaten.
Es gelten die Trafos
$
	r'_(n, i) =  sum_(j=1)^(3) D_(i j) r_(j) +  v_("rel", i) t +  a_(i) \
	t' =  t +  t_0.
$
Wobei fuer die Drehung gilt
$
	arrow(r)' =  D arrow(r) \
	det D =  1 , space D D^(T)  =  D^(T) D = E.
$
Skalarprodukte sind also invariant unter einer Drehung.
Wir nehmen uns eine Drehachse
$
	arrow(n) =  arrow(e)_(z).
$
Dieser Vektor $arrow(n)$ legt dann die Drehachse fest.
Es folgt fuer die Drehmatrix
$
	D_(z)  =  mat(
		cos phi, -sin phi, 0;
		sin phi, cos phi, 0;
		0, 0, 1;
	).
$
Es gilt immer, dass die Rotationsmatrix zerlegt werden kann
$
	D =  D_(alpha arrow(n)_(alpha) ) D_(beta arrow(n)_(beta) ) D _(gamma arrow(n)_(gamma) ).
$

= Symetrieinvarianz der Lagrangefkt. unter SYmetrietrafo

Ellipsengleichung
$
	(x^2 ) / (a^2 ) +  (y^2 ) / (b^2 ) = 1.
$

#example[
	Allgemeine Galileitrafos
	- Inertialsystem
	- kart. Koordinaten $==>$ $f =  3 N$
	- Abg. Systeme $(arrow(L), arrow(p), E)$ sind 7 Erhaltungsgroessen
]

Exkurs in die Festkoerperphysik unter dem Blickwinkel der Symetrien und der Betrachtung der Phasenuebergaenge von Materie.

Das Ziel ist hier die Invarianz unter kontinuierlichen Symetrietrafo $==>$ Erhaltungsgroesse.
Die allgemeine Lagrange lautet
$
	L =  sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 - V (arrow(r)_(n), t ) , space  m_(n =  m).
$
Und in abgeschlossenen Systemen ist sie gegeben durch
$
	L_(O)  =  sum _(n) dot(arrow(r))_(n) ^2 m_(n) /2 -  1/2 sum _(n, m) v_(n m ) (arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m) ).
$
Betrachte die Homogenitaet der Zeit
$
	arrow(r)'_(n) =  arrow(r)_(n) => d arrow(r)' =  d arrow(r) \
	t' =  t +  epsilon => d t' =  d t \
	=> dot(arrow(r))'_(n) =  arrow(r)_(n) 
$
Es folgt
$
	L' =  L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n), t' ) =  L' (arrow(r)_(n), dot(arrow(r))_(n) , t +  epsilon ).
$
Fuer eine infinitisimal kleine Symetrietrafo gilt, dass der Parameter $epsilon << 1$.
Dadurch muss bei einer Entwicklung nur die fuehrende Ordnung betrachtet werden.
Es gilt natuerlich auch, dass $L' |_(epsilon =  0) = L $.

Allgemeine Lagrangefunktion Invarianzbedingung
$
	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  0 .. "fuer alle Faelle".
$
Zeittrafo der allgemeinen Lagrangefunktion
$
	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  ((partial L') / (partial t') (dif t') / (dif epsilon) )(epsilon =  0) =  (partial L) / (partial t)  * 1.
$
Fuer abgeschlossene Systeme gilt dann
$
	((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  0.
$
Allgemein gilt nur
$
	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  dif / (dif t)  (sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p) - L).
$
Dann wieder fuer die abgeschlossenen
$
	(partial L_(O) ) / (partial t) =  0 => sum _(n) dot(arrow(r))_(n) * arrow(p)_(n)  - L =  "const." =  E =  T +  V.
$
Es gilt also: Homogenitaet der Zeit $<=> $ Gesamtenergie ist erhalten.
Dies ergibt das Paar $E <--> t_0 $.

= Homogenitaet des Raumes
Es gilt fuer die Transformation der Lagrangegleichung
$
	arrow(r)'_(n) =  arrow(r)_(n) +  epsilon arrow(a) , space arrow(a): "fest, beliebig" \
	t' =  t \
	dot(arrow(r))'_(n)  =  dot(arrow(r))_(n)  \
	=> L' (arrow(r)'_(n) , dot(arrow(r))'_(n) , t') =  L' (arrow(r)_(n) +  epsilon arrow(a), dot(arrow(r))_(n) , t).
$
Wieder betrachte fuer die allgemeine Lagrangefunktion


$
	((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon =  0)  =  ((partial L') / (partial arrow(r)'_(n)) (dif arrow(r)'_(n) ) / (dif epsilon) )(epsilon =  0) =  sum_n (partial L) / (partial arrow(r)_(n) ) *arrow(a) = sum _(n)( dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(arrow(r))_(n) )) * arrow(a) \
	=> ((dif L') / (dif epsilon) )(epsilon = 0) =  dif / (dif t) (sum _(n) p_(n)  * arrow(a)) = dif / (dif t) (arrow(P) * arrow(a)) , space arrow(P): "Gesamtimpuls".
$

Im abgeschlossenen System gilt
$
	((dif L'_(O) ) / (dif epsilon) ) =  0 =>  dif / (dif t)  (arrow(P) * arrow(a)) =  0 => dif / (dif t)  arrow(P) =  0
$
wodurch im raeumlich invarianten System der Gesamtimpuls erhalten ist.
Hier gilt
$
	arrow(r)'_(n) - arrow(r)'_(m) =  arrow(r)_(n) - arrow(r)_(m).
$

=== Nebenrechnungen

Es gilt
$
	dif / (dif t) (a b) =  (dif a) / (dif t) b +  a (dif b) / (dif t) \
	(partial f) / (partial arrow(r))  =  arrow(nabla)_(x y z) f \
	arrow(r ) =  vec(x, y, z).
$
Natuerlich gilt fuer die Lagrangefunktion
$
		(partial L) / (partial t) =  0 => sum_(i=1)^(f) p_(i) dot(q)_(i) - L .. "erhalten".
$
