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#show: conf.with(
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	num: 7,
	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
	date: datetime.today().display(),
	//date: datetime(
	//	year: 2025,
	//	month: 5,
	//	day: 1,
	//).display(),
)

= Uebersicht

Ist $f$ diffbar in $x_0 $, so gilt
$
	exists "lineare Abbildung" L: RR^n -> CC, "sodass" \
	lim_(n -> 0) (f (x_0 + h) - f (x_0 ) -  L h) / (norm(h)) = 0, L =  d f (x_0 ).
$

#theorem[
	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ in $a in U$ differenzierbar. Dann ist $f$ in $a$ in jede Richtung differenzierbar und es gilt
	$
		d f (a) h = partial / (partial n) f (a) =  sum_(i = 1)^(n) partial / (partial i) f (a) h_i .
	$
] <tem2>

#proof[
	Fuer $h$ hinreichend klein schreibe
	$
		f (a + h) =  f (a) + d f (a) h + R (h) "mit" lim_(h -> 0) (R (h)) / (norm(h)) = 0.
	$
	Fuer $h in RR^n $ und $t in RR$ hinreichend klein folgt
	$
		f (a + t h) =  f (a) + d f (a) (t h) + R (t h).
	$
	Fuer $t != 0$ folgt
	$
		d f (a) h = (f (a + t h) - f (a) -  R (t h)) / (t),
	$ <gl1>
	da $f$ in $a$ diffb. ist, gilt $lim_(t -> 0) (R (t h)) / (t) < norm(h) (R (t h)) / (t norm(h)) = 0$
	Mit @gl1 folgt, dass der Grenzwert $lim_(t -> 0) (f (a + t h)- f (a)) / (t) $ existiert und dass gilt
	$
		d f (a) h = partial / (partial h) f (a).
	$ <gl2> 
	Das ist eine wichtige Gleichheit zwischen Differenzial und Richtungsableitung
	Da $ d f (a) h$ eine lineare Abbildung ist, gilt
	$
		d f (a) h =  d f (a) (sum_(k = 1)^(n) e_k h_k ) =  sum_(k = 1)^(n) h_k underbrace(d f (a) e_k, #[@gl2] ).
	$
	Also $d f (a) h =  sum_(k = 1)^(n)  h_k * partial / (partial n) f (a)$.

]

#remark[
	Sei $s in RR$.
	$
		lim_(t -> 0) (f (a + t * s h) - f (a)) / (s t) = partial / (partial s h)  f (a), \
		s lim_(t' -> 0) (f (a + t' h)-f (a)) / (t') = s partial / (partial h) f (a).
	$
	Betrachte
	$
		f: U subset RR^n  -> CC, d f (a): RR^n ->  CC, h |-> d f (a) h =  sum_(k = 1)^(n) h_k partial / (partial k) f (a).
	$
]

#definition[
	Ist $f: U -> CC$ in $a in U$ partiell Differenzierbar, so definieren wir den Gradienten von $f$ in $a$ als
	$
		grad(f) (a) := vec(partial / (partial 1) f (a), partial / (partial 2) f (a), dots.v , partial / (partial n) f (a) ).
	$
	Wir schreiben auch
	$
		arrow(nabla) f (a) =  grad(f)  (a) =  f' (a).
	$
	
]
#example[
	Ist $f (x_1, x_2 )= x_1 ^2 + x_2 ^2 $ so gilt in $(a_1,  a_2)$
	$
		arrow(nabla)  f (a) =  vec(2 a_1 , 2 a_2 ).
	$
]

"Der Gradient gibt die Richtung des starksten Anstiegs an."

#theorem[
	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ in $a in U$ differenzierbar. Ist $arrow(nabla) f (a) =  0$ so gilt
	$
		partial / (partial h) f (a) =  0, forall h in RR^n .
	$
	Ist $arrow(nabla)  f (a) != 0$, so gilt $abs(partial / (partial n) f (a)) <= norm(arrow(nabla) f (a))_(2) forall h in RR^n "mit" norm(h)_(2)  = 1$ und
	Gleichheit fuer $h = (arrow(nabla)  f (a)) / (norm( arrow(nabla) f (a))_(2) ) $.
]

#proof[
	Ist $arrow(nabla) f (a) = 0 "und" h in RR^n $, so folgt nach @tem2, $partial / (partial n) f (a) =  sum_(k = 1)^(n) partial / (partial n)  f (a) h_(k) =  arrow(nabla)  f (a) =  0 $.
	Sei nun $h in RR^n $ mit $norm(h)_(2) =  1$. Mit Cauchy-Schwarz erhalten wir
	$
		abs(partial / (partial n) f (a)) =  abs( sum_(k = 1)^(n) h_k partial / (partial k) f (a)) =  underbrace(norm(h)_(2), =1) norm( arrow(nabla) f (a))_(2)
	$
	und Gleichheit fuer
	$
		h =  (arrow(nabla) f (a)) / (norm( arrow(nabla) f (a))_(2) ) 
	$
]


$
	f: U ->  CC, a in U
$

$
	f "diffbar" ==>^(#[@tem2]) f "ist partiell diffbar".
$

#example[
	Sei $f: RR^2 ->  RR$ gegeben durch 
	$
	f (x,y) =  cases((x ^2 y) / (x^2 + y^2 ) ,0).
	$
	Dann ist $f$ stetig in 0 und fuer jedes $h =  (h_1, h_2 ) in RR^2$ existiert die Richtungsableitung.

	$
		(f (h_1, h_2 ) - f (0,0) -  d f (0) h)/(norm((h_1, h_2 ))_(2) ) =  (h_1 ^2 h_2 ) / (norm((h_1, h_2 ))_(2) ^3)  =  (h_1 ^3 ) / (( 2 h_1 ^2 )^(3/2) )  = +- (1) / (2^(3/2) ) != 0 
		
	$
	Also ist $f$  nicht diffbar in dem Punkt $(0,0)$.
]

#theorem[
	Sei $U subset  RR^n $ offen, $f: U ->  CC$ in jedem Punkt in U partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen $partial / (partial k) f: U ->  CC, 1 <= k <= n "im" a in U$ stetig. Dann ist $f$ in $a$ differenzierbar.
]
