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)

= Uebersicht

== Maxwellgleichungen

$
  arrow(nabla) * arrow(E) = rho/epsilon_0 \ 
  arrow(nabla) * arrow(B) =  0 \ 
  arrow(nabla)  times arrow(E) +  (diff arrow(B)) / (diff t)  = 0 \ 
  arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j) +  epsilon_0  (diff arrow(E)) / (diff t) )
$

== Elektrostatik im Vakuum

Ein Inertialsystem in dem alle Ladungen in Ruhe sind. Es folgt dann
$
  arrow(j) = 0 \ 
  rho (arrow(x), t) =  rho (arrow(x)) \ 
  ==> "Felder sind zeitunabhaengig" \ 
  arrow(nabla)  times arrow(B) =  0 , space arrow(nabla)  * arrow(B) =  0 \ 
  ==>  arrow(B) = 0.
$

In der Elektrostatik hat man effektiv nur noch zwei Maxwellgleichungen. Die Aufgabe ist also aus der Ladungsverteilung das elektrische Feld zu bestimmen

$
  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ) 
$

Die Feldlinien sind kontinuierliche Linien tangential zum Vektorfeld.

#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-12-52-14.rnote.svg"),
)

Die Dichte der Linien ist proportiional zu 
$
  abs(arrow(E) (arrow(x))).
$

= Gaussches Gesetz

Wir betrachten ein Volumen $V subset  RR^3$ mit Oberflaeche $partial V$. Wir betrachten
$
  arrow(nabla) * arrow(E) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
  ==> integral.vol arrow(nabla) * arrow(E) dif ^(3) x =  1/epsilon_0 integral.vol d^(3) x rho (arrow(x)) =  1/epsilon_0 underbrace(Q, "in" V "eingeschlossene Ladung") \ 
  ==> ^("Gauss") integral.surf _(partial V) arrow(E) dif arrow(a).
$

Der elektrische Fluss durch die Oberflaeche $partial V$ ist gleich 
$
  1/epsilon_0 * Q_("in") .
$

Konsequenzen 
- Wenn die gesamte Ladung in $Q$ verschwindet, dann auch der Fluss. Das E-Feld muss nicht notwendiger Weise verschwinden, da sich der Fluss kompensieren kann
- Ladungsverteilung vollstaendig in einem Volumen $V$ und $V subset V'$  $==>$ der Fluss durch $partial V "und" partial V'$ ist identisch

#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-13-02-44.rnote.svg"),
)

== Das elektrostatische Gleichgewicht

Q: Kann man eine *zeitunabhaengige* Ladung im Vakuum, durch eine zusaetzliche Ladung, in einem stablilen Gleichgewicht halten?
A: Es ist nicht moeglich.

#theorem[
  Earns Law
]

#proof[
  Angenommen dies waere moeglich. Dadurch gibt es einen Punkt $arrow(r)  ^(star )  $ der stabil ist fuer eine Testladung $q (arrow(r)) > 0$ $==>$ in einer kleinen Umgebung $V$ um $arrow(r)^(star ) $ muss ein $arrow(E)$-Feld existieren, dass die Testladung ueber die Lorentzkraft wieder zurueck treibt. Das Feld muss also in Richtung von $arrow(r)^(star ) $ zeigen


#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-13-13-32.rnote.svg"),
)

  $==>$ Es muss gelten 
  $
    integral.surf dif arrow(a) * arrow(E) < 0.
  $
  $==>$ In $V$ muss eine negative Ladung eingeschlossen sein.

  Widerspruch.

]

Es gibt jedoch Fallen fuer elektrische Ladungen. Zum Beispiel die Paul-Falle. Hier werden zeitunabhaengige Felder genutzt mit einer bestimmten Geometrie.
Bei der Penning Falle wird eine Kombination von elektrischem und magnetischem Feld genutzt.

= Coulomb-Gesetz

Dieses folgt aus den Maxwellgleichungen. Modell fuer eine Punktladung ist eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit Gesamtladung $Q$ innerhalb eines Radius $R$.

Q: Welches Feld wird beim Abstand $r$ erzeugt?

Durch die Kugelsymmetrie koennen wir annehmen, dass 
$
  arrow(E) (arrow(x)) =  E (r) hat(r) 
$

Wir betrachten dafuer die erste Maxwellgleichung
$
  arrow(nabla) * arrow(E) =  (rho) / (epsilon_0 ) ==> integral.vol arrow(nabla) * arrow(E) dif V = Q / epsilon_0 = integral.surf arrow(E) dif arrow(a) = 4 pi r^2 hat(r) * (E (r) hat(r)) = E (r) 4 pi r^2  \ 
  ==> arrow(E) (arrow(r)) =  Q / (4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r).
$

Die Lorentzkraft auf eine feste Ladung $q$  ist daher 
$
  arrow(F) =  (q Q) / (4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r).
$
Daraus folgt dann also das Coulomb-Gesetz.

= Einfache Ladungsverteilung und deren Felder

DIe symmetrie Argumente liefern bereits eindeutige Loesungen aus 
$
  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) = (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
  ==> arrow(nabla) times arrow(E) (arrow(x)) =  0 "ist automatisch erfuellt".
$

#highlight[TODO: Rechne das nach]

== Beispiel einer unendlich ausgedehnten Ebene

Angenommen $sigma$ ist konstant.
Hier nimm die Box mit Tiefe $b$ und Hoehe $h$
$
  Q_("in")  = sigma b^2 \ 
  A = 2 b^2 \ 
  ==> Q_("in")/epsilon_0 = integral.surf arrow(E) dif arrow(a) = A E \ 
  ==> arrow(E) = +- sigma/(2 epsilon_0) hat(z).
$

#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-14-25-31.rnote.svg"),
)
