// Main VL template
#import "../preamble.typ": *

// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules

// Main settings call
#show: conf.with(
	// May add more flags here in the future
	num: 4,
	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
	date: datetime.today().display(),
	//date: datetime(
	//	year: 2025,
	//	month: 5,
	//	day: 1,
	//).display(),
)

= Uebersicht

== Potential einer Punktladung

Es gilt 
$
  rho (arrow(x)') = Q delta ^3 (arrow(x)') \ 
  Q = integral rho dif V  = integral rho space  dif ^3 arrow(x)' \
  phi =  (1) / (4 pi epsilon_0 ) Q/(abs(arrow(x) - arrow(x)')) =  1/(4 pi epsilon_0 ) Q/abs(arrow(x))
$

== Greensche Funktion

Die greensche Funktion ist definiert als die Funktion $G$, welche die folgende Gleichung erfuellt 
$
  Delta  _(x) G (arrow(x), arrow(x)') = delta^3 (arrow(x) - arrow(x)').
$
Hier ist $arrow(x)'$ nicht die Ableitung von $arrow(x)$ sondern der Ortsvektor zur derzeitigen Ladung (ueber welche summiert wird).

Es gilt dann 
$
  G = - 1/(4 pi) 1/(abs(arrow(x) - arrow(x)')) = phi (epsilon_0 ) / (Q).
$

Eine Loesung fuer 
$
  Delta phi (arrow(x)') =  - (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ) 
$
ist gegeben durch 
$
  phi (arrow(x)) = 1/epsilon_0 integral dif^3 arrow(x)' G rho (arrow(x)').
$

Dies kann einfach nachgerechnet werden mit 
$
  Delta f =  sum _(alpha) (diff ^2 ) / (diff x_(alpha) ^2 ) f.
$
Es folgt 
$
  phi =  1/(4 pi epsilon_0 ) integral (rho (arrow(x)')) / (abs(arrow(x)- arrow(x)')) dif ^3 arrow(x)'.
$

== Das elektrische Feld einer beliebigen Ladungsverteilung

Es ergibt sich 
$
  arrow(E) &=  - arrow(nabla) phi \ 
  &= 1/(4 pi epsilon_0 ) integral  dif^3 arrow(x)' rho (arrow(x)) (arrow(x) -  arrow(x)') / (abs(arrow(x) -  arrow(x)')^3 ).
$

Die Elektrodynamik muss relativistisch sein, da Aenderungen nicht schneller als Lichtgeschwindigkeit durch den Raum propagieren duerfen.

= Multipolentwicklung

Fuer die Multipolentwicklung wird ein endliches Volumen $V$ mit Groesse $L$ vorrausgesetzt. Ausserdem betrachten wir nur Orte mit $abs(arrow(x)) >> L$. Der Limes $d -> 0 , space q -> oo "und" arrow(p) = "const."$ kann eine Ladungsverteilung erzeugen, welche nur aus einem Dipolterm besteht.

#highlight[TODO: finish entering this]
