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)

= Uebersicht

Es gilt, dass mit $N$ Atomen $3 N$ verschiedene Eigenfrequenzen existieren. Die Zustandsdichten im $k$-Raum sind 
$
  1 "D": Z (k) =  (N) / (2 pi /a) =  L / (2 pi) \ 
  3 "D": Z (k) = N/Omega =  V/ (2 pi )^3.
$
Die Anzahl der Dispersionszweige ist dann  
$
  D * r' \, space r': ("Atome") / ("Einheitszelle").
$

Die Zustandsdichte im Freuqnezraum $D (omega)$. Gibt es bei bestimmten Frequenzen Schwingungen und wenn ja, wie viele? Sie sind also in $D (omega)$ enthalten.
Fuer grosse $L$ und $N$  sind die Zustaende im $k$-Raum sehr eng gepackt, also kontinuierlich verteilt. 
Wie suchen also die Anzahl der Schwingungszustaende im Frequenzintervall $[omega, omega +  Delta omega]$ fuer die Dispersion $omega (k)$. 
Die Zustandsdichte ist die Anzahl der Zustaende $A$ pro Volumen. Also gilt 
$
  A =  Z (k) Delta k =  D (omega) Delta  omega \ 
  ==> D (omega) Delta omega =  Z (k) integral _(omega = "const.") ^(omega +  Delta k =  "const.") dif ^3 k.
$
Fuer die Integration ergibt sich 
$
  dif ^3 k =  dif S_(k) * dif k_(perp).
$
Hier ist $abs(arrow(nabla) _(k) omega)$ auch senkrecht zur Oberflaeche mit $omega =  "const."$. Dadurch folgt 
$
  Delta  omega =  abs( arrow(nabla) _(k) omega) dif k^(perp) ==>  dif ^3 k =  dif S_(k) (Delta omega) / (arrow(nabla) _(k) omega (k)).
$
Es ergibt sich 
$
  D (omega) Delta omega =  (V) / (2 pi) ^3 integral (dif S_(k) ) / (abs(arrow(nabla) _(k) omega (k)))  Delta omega,
$
als die Zustandsdichte im Frequenzraum. Das Integral ist im $k$-Raum ueber $omega = "const."$. Falls nun also $omega (k)$ bekannt ist, dann kann die Zustandsdichte im Frequenzraum auch berechnet werden. Falls $v_(g) =  arrow(nabla) _(k) omega (arrow(k))$ aber klein ist, dann ist $D (omega)$ gross. Falls aber $v_(g) =  0$, dann ist die Zustandsdichte unendlich gross. Wenn die Zustandsdichte sehr gross ist, dann haben die Schwingungen makroskopischen Einfluss.

#example[
  Zustandsdichte einatomige Basis fuer einen Dispersionszweig, longitudinale Schwingung im langwelligen Grenzfall. es folgt dann fuer die zweiatomige Basis mit $M_(1) =  M_(2) $ 
  $
    omega =  sqrt((C a ^2 ) / (M) ) k ==> v_(g)  =  (diff omega) / (diff k) =  sqrt((C a ^2 ) / (M) ).
  $
  Einsetzen in die integralgleichung liefert dann 
  $
    D (omega) =  (V) / (2 pi) ^3 integral_(omega =  "const.")  (dif S_(k) ) / (abs(v_(g) ))
  $
  eine Kugeloberflaeche mit Radius $k$.
  Dadurch ist dann 
  $
    integral _(omega = "const.") dif S_(k)  =  4 pi k^2.
  $
  Es ergibt sich dann fuer die Zustandsdichte pro Dispersionszweig
  $
    D (omega) =  (V) / (2 pi ) ^3 (4 pi k ^2 ) / (abs(v_(g) ))  = (V) / (2 pi^2 )  (omega^2 ) / (v_(g) ^3 ).
  $
]


== 4.6 Quantisierung der Gitterschwingung und der Impuls von Phononen

=== 4.6.1 Quantisierung 

Gitterschwingungen in harmonischer Naeherung kann Quantenmechanisch beschrieben werden. Dazu kann die Transfomation der Koordinaten um Oszillatoren voellig zu entkoppeln. Das Frequenzspktrum bleibt gleich, die Auslenkungen koennen dann nicht mehr einzelnen Atomen zugeordnet werden. Die dazugehoerigen Schwingungen heissen Normalschwingungen. Eigenwerte von folgendem harmonischen Operator 
$
  H =  T +U^("harm."),
$
mit der kinetischen Energie der Gitteratome und der harmonischen Naeherung des Potentials.

Bei einem Kristall in drei Dimenensionen mit $N$ Atomen $==>$ $3 N$ unabhaengige Oszillatoren, deren Frequenzen muessen denjenigen der klassischen Schwingung entsprechen. Bei einem harmonischen Oszillator sind die Eigenenergiewerte eines der Schwingungszustaende der Frequenz mit $omega_(r) (k)$ mit $r$ als Dispersionszweige 
$
  E_(omega_(r) (k)) =  (n_(k_(r) ) +  1/2) planck.reduce omega_(r)  (arrow(k)).
$
Es gilt fuer die Anzahl der Dispersionszweige 
$
  r =  D * r'.
$
