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#import "../conf.typ": conf
#show: conf.with(week: "7")

= Vektorraeume

Fuer eine Matrix $A = (a_(i j)) in K^(n times n)$ definieren wir die Reiehen- und Spaltensummen durch

$ R_r (A) := sum^n_(i = 1) a_(r i) quad "und" quad S_s (A) := sum^n_(i = 1) a_(i s) . $

Sei $V$ die Menge aller $n times n$- Matrizen fuer die alle Reiehen- und Spaltensummen gleich sind.
Also

$ V:= {A in K^(n times n):R_r (A) = S_s (A) "fuer alle" r, s = 1, ..., n} $

+ Zeigen Sie, dass $V$ ein Untervektorraum von $K^(n times n)$ ist.

  Seien $v, w in V$.

  Bei der Matrixaddition werden alle Reiehen und Spalten addiert. Dabei gilt:

  $ v_(i j) = c_1, quad w_(i j) = c_2 $

  Also

  $ v_(i j) + w_(i j) = c_1 + c_2 = c => v + w in V $

  $ lambda v = lambda v_(i j) = lambda c_1 = c => lambda v in V $

  

+ Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $V$.

  Wir koennen alle Eintraege von $v in V$ beliebig waehlen, bis auf jeweils die letzen innerhalb einer Zeile oder Spalte. Daraus muss folgen:

  $ dim(V) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2 $

= Einheitsmatrix

Sei $A in K^(n times n)$ mit der Eigenschaft, dass $A B = B A, quad forall B in K^(n times n)$ gilt.

Zeigen Sie, dass $A = lambda E_n$ fuer ein $lambda in K$ ist.

Hier gilt es zu zeigen, dass nur ein Vielfaches der Einheitsmatrix die Kommutativit mit einer beliebigen Matrix $B$ erfuellt.

Sei $B = bb(1)$. Falls $A = bb(1)$ dann waehle $B != bb(1) and B != bb(0)$.

Angenommen fuer $A$ gilt, dass $exists a_(i j): i != j: a = lambda != 0$.

Nach Matrixmultiplikationsvorschrift ist diese nicht kommutativ $arrow.zigzag$.

Wir wissen also, dass $A = mat(a, 0, 0, 0, ...;0, b, 0, 0, ...; 0, 0, c, 0, ...; 0, 0, 0, d, ...; dots.v, dots.v, dots.v, dots.v, dots.down)$ sein muss.

Angenommen $a, b, c, ...$ sind ungleich. Dann laesst sich wieder durch Matrixmultiplikation ein Widerspruch erzeugen.

Falls nun aber $a = b = c = ...$, dann ist $A = lambda E_n$. 

$qed$

= Inverse einer Matrix

Bestimmen Sie das Inverse der Matrix $A = mat(1, -1, 0, 1; 1, 0, -1, 1; 2, 3, -4, 1; 1, 0, 0, 1)$.

Anwenden des Gaussverfahrens mit der Erweiterten Matrix:

$ mat(1, -1,  0, 1, 1, 0, 0, 0;
      1,  0, -1, 1, 0, 1, 0, 0;
      2,  3, -4, 1, 0, 0, 1, 0;
      1,  0,  0, 1, 0, 0, 0, 1; augment: #4) $

= Abbildungsmatrix


Sei $frak(B)_1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ eine Basis von $QQ^3$ und $frak(B)_2 = {(1,1), (-1, 1)}$ eine Basis von $QQ^2$. Sei $phi: QQ^3 -> QQ^2$ gegeben durch die Abbildungsmatrix

$ A = mat(1, 2, 3; 4, 5, 6) $

+ Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $A'$ von $phi$ bezueglich der Basen $frak(B_1)$ und $frak(B_2)$.

+ Nach der Vorlesung gibt es $X in Q^(3 times 3)$ und $Y in QQ^(2 times 2)$, sodass $A = X A' Y$ gilt.
  Bestimmen Sie $X$ und $Y$.